Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Тригонометричні функції
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

1. cos x = a

Розв’язки рівняння шукатимемо, спираючись на рисунок 1 або на рисунок 2.

Якщо , розв’язків немає.

, , .

, , .

, , .

Рис. 2

Загальний випадок : , x = ±arccosa + 2πn,.

У випадках, коли , , теж можна користуватися загальною формулою, але це не так раціонально.

Розв’язки, які описуються загальною формулою, можна поділити на дві серії:

x1 = arccosa + 2πn, n Є Z;

x2 = -arccosa + 2πn, n Є Z.

2. sin x = a

Розв’язки шукатимемо, спираючись на рисунок 1 або на рисунок 2.

Якщо , розв’язків немає.

, , n Є Z.

, , n Є Z.

, , n Є Z.

Загальний випадок :

, k Є Z.

Рис. 1

Рис. 2

Множина розв’язків розбивається на дві серії:

k = 2n, x1 = arcsina + 2πn, n Є Z;

k = 2n + 1, x2 = π – arcsina + 2πn, n Є Z.

3. tg x = a

Розв’язки запишемо, спираючись на рисунок зліва або на рисунок справа нижче.

, n Є Z.

4. ctg x = a

, n Є Z.

Якщо a = 0, , n Є Z.

Якщо , можна звести дане рівняння до рівняння .

Приклади

1)  ;

;

, k Є Z;

, k Є Z;

, k Є Z;

, k Є Z.

Множину розв’язків можна розбити на дві серії:

, n Є Z;

, n Є Z;

, n Є Z;

, n Є Z.

2)  ;

;

, n Є Z;

, n Є Z;

, n Є Z;

, n Є Z.