Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Нерівності
Властивості числових нерівностей

a, b, с, d — довільні числа.

1. Якщо і , то .

2. Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність.

3. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число, то дістанемо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме від’ємне число й змінити знак нерівності на протилежний, то дістанемо правильну нерівність.

4. Якщо , то .

5. Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. На­приклад, якщо і , то .

6. Нерівності з однаковими знаками, у яких ліві й праві частини — додатні числа, можна почленно перемножувати. Наприклад, якщо a, b, с, d — додатні й , , то . Із цього випливає, що коли , n ∈ N, то .

Приклади

Відомо, що , . Вико­ри­сто­ву­ючи властивості числових нерівностей, з’ясуйте, яких значень можуть набувати наведені вирази.

а)  .

     (за умовою),

    , ;

б)  .

     (за умовою),

    ;

в)  .

    , (за умовою),

    ;

г)  .

    Якщо (за умовою), то ,

     (за умовою),

    , ;

д)  xy.

    , (за умовою),

;

е)  .

  Якщо (за умовою), то , (за умовою), .