Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Координати, вектори, геометричні перетворення у просторі

§ 9. Векторний добуток векторів

Завдання 7

1.

Векторний добуток векторів є вектором, а скалярний — числом.

Векторний та скалярний добуток мають однакові властивості (крім комутативності).

2.

За означенням модуля векторного добутку

а отже, оскільки то

3.

1) За означенням

У нашому випадку

Скористаємось основною тригонометричною тотожністю:

Тоді

2) За означенням

У нашому випадку

Скористаємось основою тригонометричною тотожністю:

Тоді

Оскільки

3) Рівність виконується, якщо

Тобто якщо кут між векторами дорівнює 45°.

4. За означеннями

Маємо:

Порівняємо ці співвідношення.

5.

Скористаємось тим, що тоді маємо

Геометричне тлумачення: площа діагонального перерізу прямого паралелепіпеда менша за суму площ двох його суміжних граней. Рівність виконується, якщо

6.

1) — одиничні вектори, що йдуть від центра правильного трикутника до його вершин, отже, кути між векторами становлять 120°.

де φ — кут між векторами і , а κуτ між ними становить 0°, а отже, sin 0° = 0. Тоді і векторний добуток дорівнює 0.

2)

3)

Оскільки вектори і колінеарні

7.