Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§11. Поворот і симетрія відносно прямої

373.

Із т. А опустимо перпендикуляр AD ┴ l. Відкладемо ∠ΑΟΛ, = α, А₁O ┴ l.

Виконано поворот т. А навколо прямої l на кут α. Аналогічно вчинимо з т. В.

Відрізок АВ у результаті повороту на кут α навколо прямої l відобразиться у відрізок.

374.

Таких поворотів безліч.

375.

Точка А(1; 2; 0) відобразиться на т. A₁ (1; 0; 2).

376.

У результаті повороту відрізок АВ відобразиться на відрізок A₁B₁,

A₁(4; 3; 0), В₁(0; 6; 0).

377.

ΔАВС відобразиться на ΔА₁В₁С₁ A₁(0; a; 0), B₁(-а; 0; 0), С₁(0; 0; а)

у результаті повороту навколо осі z на кут 90°.

378.

Куб має 7 осей симетрії; прямокутний паралелепіпед, відмінний від куба —

3 осі симетрії.

379.

Якщо n — непарне, осей симетрії немає, якщо n — парне, то вісь симетрії одна, правильний тетраедр має З осі симетрії.

380.

Сфера має безліч осей симетрії. Осі симетрії проходять через центр сфери.

381.

Правильна шестикутна призма має 4 осі симетрії.

382.

Правильна п’ятикутна призма має вісь симетрії.

383.

Правильний тетраедр має 3 осі симетрії; пряма КМ, пряма PN; пряма ZO,

де K — середина АВ; М — середина CD; Р — середина АВ; N — середина ВС;

Z — середи на АС; О — середина BD.

384.

АС — вісь симетрії фігури.

385.

Ця фігура має осі симетрії: SS₁; АС; BD.

386.

Sabcd — правильна чотирикутна піраміда.

SO — висота. SO — вісь симетрії піраміди.

ΔBSD —- рівнобедрений BD ┴ SO; BO = OD.

Отже, у випадку симетрії відносно SO т. В відобразиться у т. D,

т. S відобразиться сама у себе.

Тоді відрізок SB відобразиться у відрізок SD.

Аналогічно у ΔASC: відрізок SA відобразиться у відрізок SC.

При симетрії відносно SO піраміда відобразиться сама в себе.

Отже, SO — вісь симетрії піраміди.

387.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — паралелепіпед.

N — точка перетину діагоналей грані ΑΑ₁Β₁Β;

Р — точка перетину діагоналей грані DD₁C₁C.

МР — вісь симетрії паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁, бо:

ΑΒ₁C₁D — прямокутник, NP — вісь його симетрії, бо:

В₁, відобразиться в А, С₁— в D.

Аналогічно з прямокутником A₁D ₁CB.

При симетрії відносно NP паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁,

відобразиться в себе.

Отже, NP — вісь симетрії паралелепіпеда.

388.

Середина відрізка АB — точка О₁.

або O₁(2; 0; 0) — лежить на осі ОХ

Тому Отже, АВ перпендикулярний до осі ОХ і віссю ОX ділиться навпіл.

Тому A і В симетричні відносно осі ОХ.

А₁ —симетрична А відносно осі OY: А₁(-2; -3; - 1).

А₂ —симетрична А відносно осі OZ: А₂(-2; 3;1).

В₁ — симетрична В відносно осі OY: В₁(-2; 3; 1).

B₂ — симетрична В відносно осі OZ; В₂ (-2; -3;-1).

389.

Віссю симетрії двох мимобіжних прямих є спільний перпендикуляр.

390.

а) Віссю симетрії фігури, яка є об’єднанням двох прямих,

що містять ребра AA₁ і CD, є їх спільний перпендикуляр AD.

б) Віссю симетрії фігури, яка є об’єднанням двох прямих,

що містять ребра ВВ₁ і АС, є пряма BD.

в) Віссю симетрії фігури, яка є об’єднанням прямих,

що містять АВ₁ і CD₁, є пряма KM, K — середина АВ₁, М — середина DC .

391.

SABC —- правильна трикутна піраміда. SO — висота.

При повороті SABC навколо SO на 180° піраміда SABC

відобразиться в піраміду SA₁B₁C₁.

392.

ABCD — тетраедр, у якого АВ = DC; ВС = AD; АС = BD.

K — середина AD; Р — середина ВС; КР —вісь симетрії тетраедра.

При симетрії відносно KР т. С відобразиться в т. В; т. D відобразиться в т. А.

Таким чином ΔАОС відобразиться в ADAB, а тетраедр ABCD відобразиться

сам у себе. Таких осей симетрії 3: КР; SZ; NE.

393.

а — серединний перпендикуляр до АА ₁; b — серединний перпендикуляр до BB₁;

а і b перетинаються в т. О.

Поворот навколо т. О на ∠ΑΟΑ, або на кут 360° - ∠ΑOΑ₁

відобразить АВ на A₁B₁.

Можна провести серединні перпендикуляри до відрізків

АВ₁ і A ₁В аналогічно (вищевказаному способу).

394.

AО ┴ B₁D; С₁О ┴ B₁D.

При повороті куба на кут А₁ОС, навколо прямої Β₁D куб відобразиться сам в себе.

Із ΔA₁B₁D — прямокутного, у якого

Аналогічно (із ΔA ₁C₁D).

Розглянемо ΔA ОС₁:

Тоді ∠A ₁OC ₁ = 120°. 120° = 360° : 3. Отже, B₁D — вісь симетрії третього порядку.

Таких осей 4: Β₁D; BD₁; А₁С; АС₁.

395.

При повороті навколо DO на ∠ΑΟΒ тетраедр ABCD відобразиться сам в себе.

∠AОВ = 360° : 3, тому DО — вісь симетрії третього порядку.

396.

Правильна чотирикутна піраміда не має осі симетрії третього порядку,

бо не існує такого повороту (на 120°), щоб піраміда відобразилась сама в себе.

398.

а)

Повороти навколо висоти SO на ±120°; ±240°; ±360° відобразять піраміду

SABCD саму на себе;

б)

Повороти навколо висоти SO на ± 0°; ±180°; ±270° відобразять піраміду

SABC саму у себе;

в)

Повороти навколо висот SO; CK; AN; ВР на ±120°; ±240°; +360° відобразять

тетраедр сам у себе.

Також повороти навколо прямих, що проходять через середини протилежних

ребер (наприклад XY) на ±180° відобразять тетраедр у себе.

399.

При повороті тетраедра ABCD навколо висоти DO на 60° тетраедр відобразиться

на тетраедр A₁Β₁C₁D₁. Перерізом цих тетраедрів є піраміда DMNPFEQ.

Фігура, зафарбована кольором, є об’єднанням цих тетраедрів.

400.

Див. рис.

401.

Нехай l і l₁ — дві перпендикулярні осі симетрії, які перетинаються.

F — точка деякої фігури. При симетрії відносно l₁ т. F перейде в т. F₁,

а відносно l т. F₁ перейде в т. F₂. ΔFO₁O = ΔF₂O₂O, тому т. F може

перейти т. F₂ відносно т. О, або відносно прямої l₂, яка перпендикулярна площині, проведеній через І і l₁, і проходить через т. О.