Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 20. Призми

701.

Ні, не існує. 100-кутна призма має 300 ребер, 200 вершин.

703.

Нехай дано правильну п’ятикутну призму, ∠ABC — двогранний кут при бічному ребрі ВВ₁.

∠ABC — лінійний кут двогранного кута при бічному ребрі. ВВ₁.

Відповідь: 108

704.

Нехай дано призму, бічне ребро якої АА₁ = l, нахилене до площини основи під кутом α. ∠Α₁ΑΟ = α. А₁O ┴ (ABC).

А₁О — висота.

A₁Ο = l × sin α.

Відповідь: l sin α.

705.

Діагональні перерізи правильної чотирикутної призми рівні.

Діагональні перерізи правильної п’ятикутної призми не рівні між собою.

706.

Нехай дано правильну чотирикутну призму, висота якої дорівнює h.

АА₁ = h.

AB = ВС = CD = AD = а.

S_бічн. =P_осн × h = 4 × a × h

_. де S_AA1C1C = AC × C₁C,

707.

Нехай дано діагональ правильної чотирикутної призми. BD₁ = d.

Діагональ ВD₁ нахилена до площини основи під кутом ∠D²BD = φ.

BD₁ похила, BD — проекція BD₁ на площину ABCD.

ΔBDD₁ — прямокутний.

DD₁ = d × sin φ; BD = d × cos φ.

ABCD — квадрат.

Відповідь:

708.

Нехай дано правильну чотирикутну призму, площа основи S_ABCD = 144 см²; AA₁=10 см.

S_ABCD = a²; a² =144; а = 12 см.

Відповідь:

709.

Нехай дано правильну чотирикутну призму.

S_{поверхні} = 40 см;

S_бічн. = 32 см²;

2S_основи = S_{поверхні} — S_бічн. = 40 - 32 = 8 (см ²);

Відповідь: 4 см.

710.

Грані призми AΒA₁Β₁, ВСС₁B₁, СDD₁С₁ - квадрати.

Грані МВС і NB₁C₁ — рівносторонні трикутники.

АВСА₁В₁С₁ — призма.

S_бічн. = 2 × 3 × 2=12 (см²).

711.

Нехай дано призму АВСА₁В₁С₁ — пряма трикутна призма.

АВ = ВС = АС = А₁В₁ - A₁C₁ = АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = а

S_бічн. 27 см².

S_бічн. = Р_осн. × l, P_осн. — периметр основи, l — бічне ребро.

27 = 3 × а × a , 3а² =27; а² =9; а = 3.

Відповідь:

712.

Нехай дано правильну чотирикутну призму, площа діагонального перерізу дорівнює S.

S_AA1C1C = S.

Нехай АВ = а; тоді

Відповідь:

713.

Нехай дано призму, основа якої ромб ABCD, ∠А = 60°,

АВ = ВС = СD = AD = а, бічні грані: ΑΑ₁Β₁Β; BB₁C₁C; DD₁С₁С;

AA₁D₁D — квадрати.

А₁С і D₁S — діагоналі призми.

DD₁В₁В і АА₁С₁С — діагональні перерізи призми.

ΔАВD — рівносторонній.

BD = AD = АВ = a; ΔАОВ — прямокутний; AO ┴ ОВ.

ΑΑ₁Β₁Β — квадрат. А₁А = АВ = а.

S_{перерізу DD1B1B} = BD × АА₁ = a × а = a ².

ΔАА₁С — прямокутний.

А₁С² = АА₁² + АС² = а² + 3а² = 4а².

А₁С = 2а;

ΔDD₁B — прямокутний.

D₁B² = DD₁² + BD²= a² + a² = 2а²;

Відповідь: 2а; а².

714.

Нехай дано призму, у якої діагональні перерізи А₁С₁СА і DD₁Β₁Β перетинаються і мають спільний відрізок ОО₁. АА₁С₁С—паралелограм,

DD₁B₁B — паралелограм.

АА₁ ‖ С₁С; DD₁ ‖ В₁В. ОО₁ — спільний відрізок. ОО₁ ‖ АА₁; ОО₁ ‖ DD₁.

ОО₁ = АА₁ = С₁С = D₁D = В₁В, що й треба довести.

715.

Нехай АВСА₁В₁С₁ — призма. ΔMNP — перпендикулярний переріз призми.

PN = 13 см; PM = 7 см; MN = 8 см.

ΔΡΜΝ — найбільший кут при ребрі призми.

PN²= РМ + MN²— 2РМ × NM cos ∠Μ за теоремою косинусів.

169 = 49 + 64 — 2 × 7 × 8 × cos ∠M;

169 = 113 - 112 cos ∠Μ ;

112cos ∠M = -56;

∠Μ = 120°.

Відповідь: ∠Μ = 120°.

716.

Нехай дано призму АВСА₁В₁С₁, відстань між бічними ребрами MN = 18 см;

МР = 20 см; NP = 22 см; S_бічн._призми = S_ΔMNP

S_бічн = P_ΔMNP × C₁C

Відповідь:

717.

Нехай основою призми є трапеція ABCD, у якої AD = 21 см; ВС = 11 см;

АB = CD = 13 см. Через ребра AD і B₁С₁ проходить переріз АB₁С₁D .

P_{перерізуАА1С1С} = 58 см.

AA₁

СА ┴ AD. СК — висота трапеції АВСD.

KD = (AD - ВС) : 2 = (21 - 11) : 2 - 5 (см).

ΔАСА —· прямокутний.

ΔС² = АK² + СK². АK = 21 - 5 = 16 (см).

ΔCKD — прямокутний.

СK² = СD² -KD² = 169 - 25 = 144. СK = 12 см.

ΔАСK: АС² = 16² +12² = 256 + 144 = 400 (см²).

АС = 20 см.

P_{перерізуАА1С1С} = 2AA₁ + 2A₁C₁;

58 = 2 × AA₁ + 2 × 20;

58 = 2 × ΑΑ ₁ + 40; 2AA₁ = 18; AA₁ = 9 см.

S_{поверхні} = S_бічне + S_основи.

S_бічне = P_ABCD × AA₁ = (13 + 11 + 13 + 21) - 9 = 522 (см²).

S_повн. = 2 × 96 + 522 = 714 (см²).

ΔAA₁B₁ — прямокутний.

AВ₁² = AА₁² + А₁В₁²; = 169 + 81 = 250.

ΔAB₁F— прямокутний.

B₁,F² = h² = AB² - AF² = 250 - 25 = 225.

h = B₁F = 15.'

Відповідь: 714 см²; 240 см².

718.

Нехай дано правильну трикутну призму, всі бічні грані якої квадрати, площа бічної поверхні 12 см²; площа однієї грані 12 : 3 = 4 (см²), сторона квадрата 2см.

АВ = АС = ВС = 2 см.

ВВ₁ = АА₁ = СС₁ = 2 см.

∠BMP — кут між площиною основи і площиною, проведеною через ребро основи і середину протилежного ребра.

Відповідь:

719.

Нехай через середини двох сторін основи правильної трикутної призми під кутом α до основи проведено площину, яка перетинає два бічних ребра в точках M₁і N₁.

МР ┴ М₁N₁, KР ┴ АС; МK ┴ АС.

∠BMP = а — кут нахилу площини MM₁N₁N до площини основи ABC.

MN — середня лінія ΔАВС. M₁N₁ ‖ MN ;

M₁N₁ ‖ АС. M₁N ₁ = AC=a.

ΔМРK — прямокутний.

ΔАМK — прямокутний.

∠KAM = 60°;

720.

Нехай дано правильну шестикутну призму, площа бічної грані якої дорівнює S. S_AA1B1B = S — площа бічної грані правильної шестикутної призми. Переріз MM₁N₁N перпендикулярний до більшої діагоналі АD і ділить цю діагональ навпіл.

R = ОВ = ОС; r = ОМ.

S_{бічної грані} = a × l, де l = B₁B.

ΜΜ ₁ = l.

Відповідь:

721.

Нехай дано - правильну трикутну призму AВСA₁В₁С₁. Через сторону основи АВ проведено площину АМВ, яка перетинає грань B₁BСС₁ по прямій ВМ, а грань AA₁С₁С по прямій AM, ∠AMB = α.

МС ┴ ABC; СK ┴ АВ; АK = KВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри

МK ┴ AB.

∠МКС — кут між площиною ΔАМВ і площиною ΔАВС.

Нехай АВ = ВС = АС = а, тоді

ΔМВK: МK ┴ ВK;

ВМ = AM із рівності прямокутних трикутників. ΔBMC = ΔАМС.

ΔМKС — прямокутний.

Відповідь:

722.

Нехай дано пряму трикутну призму, в· основі якої лежить прямокутний трикутник ΔABC.

— гіпотенуза.

Діагональ грані AA₁С₁С дорівнює 10 см.

Діагональ грані CC₁B₁B дорівнює

Діагональ грані ΑΑ₁Β₁Β дорівнює

Нехай сторони основи АВ = с; АС = а; ВС = b; ВВ₁ = AA₁ = СС₁ = l.

ΔАСС₁ — прямокутний.

а² + l² = 100;

ΔВСС ₁ — прямокутний.

b² +1² = 261;

ΔАВВ₁ — прямокутний.

с² + l² = 325 ;

с² - b² = 325 - 261; с² - b² = а²; а² = 64; а = 8 см.

64 + l² =100; l² = 100 - 64 = 36; l = 6 см.

b² =261 - 36 = 225; b = 15 см.

с² = а² + b² = 64 + 225 = 289; с = 17 см.

S _бічн. = Р_осн. × l = (АС + ВС + АВ) × АА ₁ = (8 +15 +17) × 6 = 240 (см²).

S _повн. = S_бічн. + 2S_основн = 240 +120 = 360 (см²).

Відповідь: 360 см².

723.

Нехай дано правильну чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D_1i, у якої діагоналі А₁С і B₁D, B₁D ┴ BD₁, кут між діагоналями А₁С і B₁D дорівнює 60°.

∠A₁ΟΒ₁ — кут між діагоналями B₁D і А₁С. За умовою B₁D ┴ BD₁

отже BB₁D₁D — квадрат. Тому BD = DD₁. Нехай BD = DD₁ = а,

тоді ΔABD — прямокутний. AB² + AD²=a²; 2АВ² = а²;

ΔBB₁D — прямокутний. Β₁D² = ВВ₁² + BD²; Β₁D² = а² + а² = 2а ;

отже АА₁ОВ₁ — рівносторонній.

∠A₁OB₁ — 60°, що й треба було довести.

724.

Нехай дано правильну чотирикутну призму, діагональ BD₁ = d, діагональ призми утворює з бічною гранню кут α. ∠D₁ВС₁ = α (кут між прямою BD₁ і її проекцією BC₁ на площину).

a) ∠D₁BD — кут між діагоналлю призми і площиною основи.

ΔВD₁С₁ — прямокутний. D₁С₁ = d × sin α; BC₁ = d × cos α ;

б) ΔDD₁В: DD₁ = BD₁ × sin ∠DBD₁; або

в) площа бічної поверхні:

725.

Нехай дано правильну шестикутну призму, кожне ребро якої дорівнює а.

АВ = ВС = DC = ED = EE = a. AΑ₁ = BB₁ = СС₁ = DD₁ = EE₁ = FF₁ = a.

Через сторону нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи проведено переріз ABD₁E₁.

S_{перерізу} = АВ × АЕ₁. ABD₁E₁ — прямокутник. E₁F ┴ площині основи. ЕА ┴ АВ .

Е₁А ┴ АВ за теоремою про три перпендикуляри.

ΔЕОА — рівнобедрений трикутник. ОЕ = ОА = R = а.

ΔЕОР — прямокутний. ∠ΕΟΡ = 60°;

ΔЕ₁ЕА — прямокутний, Е₁Е ┴ АЕ.

Ε₁A² = Ε₁Ε² + АЕ² = а² + 3а² =4а²; Е₁А = 2а.

S_{перерізуABD1E1} = a × 2а = 2а ².

Відповідь: 2а².

726.

Нехай дано пряму призму, в основі якої лежить трапеція ABCD.

АВ = ВС = СD= 0,5AD.

A₁С ₁СА — діагональний переріз призми.

S_{перерізу} = АА₁ × АС

Нехай АВ = ВС = CD = а, тоді AD = 2а;

ΔАВK — прямокутний,

ΔACF — прямокутний,

АС² = CF² + AF²;

S_бічн. = Р_AВСD × АА ₁; S = (а + а + а + 2а) × l; S = 5al;

Відповідь:

727.

Нехай дано АВСА₁В₁С₁ — правильну трикутну призму.

∠BA₁C = α.

ΔΒA₁С —рівнобедрений, А₁М ┴ ВС. Нехай ВС = а.

ΔΑ₁ΑΒ — прямокутний,

Відповідь:

728.

Нехай дано правильну трикутну призму AВСА₁В₁С₁, у якої кут між прямими Α₁B і АС, дорівнює α. Бічне ребро АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = b. А₁В і АС₁ — мимобіжні прямі. Проведемо CD ‖ АВ, BD ‖ АС, ABCD —і ромб. Через D проведемо DD₁ ‖ ВВ₁.

B₁D₁ ‖ BD; C₁D₁ ‖ CD. ABDCA₁B₁D₁C₁ — чотирикутна призма, в основі якої ромб ABCD. У грані CC₁D₁D проведемо C₁D ‖ A ₁B, ∠AC ₁D = α.

Нехай АВ = BD = a; ΔOBD — прямокутний.

∠B = 120°, ΔAC₁D —рівнобедрений, АС₁ = DC₁ = х.

За теоремою косинусів маємо:

ΔАА₁С₁ — прямокутний,

S_бічн. = 3а × b;

729.

a)

Нехай дано похилу призму АВСА₁В,С₁, основою якої є правильний трикутник ΔABC, AB = АС = ВС = а. Вершина B₁ проектується на середину сторони АС. Бічні ребра утворюють із площиною основи кут 60°.

В₁В₂ ┴ АС; ∠B₁ΒB₂ = 60°.

ΔАВВ₂ — прямокутний, В₁В₂ ┴ ВВ₂.

ΔВВ₁В₂ — прямокутний.

Із ΔАВВ₂ за теоремою Піфагора:

ΔВ₁ВВ₂ — прямокутний:

У площині (В₁ВВ₂) проведемо В₂K ┴ ВВ₁. АK ┴ ВВ₁; KС ┴ ВВ₁.

ΔАKС — перпендикулярний переріз призми АВСА₁В₁С₁.

Із ΔВKВ₂

Із ΔАKВ₂

б)

Нехай дано похилу призму, основою якої є правильний ААВС зі стороною a.

В ₁ проектується на середину сторони АС, точку В₂. Двогранні кути при ребрах AB і ВС дорівнюють 60°.

В₁В₂ ┴ АС , отже, В₁В₂ ┴ площині ААВС.

Проведемо В₂D ┴ АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри B₁D ┴ АВ, отже, ∠B₁DB₂ = 60° — лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ.

Аналогічно В₂Р ┴ ВС, В₁Р ┴ ВС, ∠В₁РВ₂ — лінійний кут двогранного кута при ребрі ВС.

∠В₁РВ₂ = ∠Β₁DΒ₂ = 60°.

Δ AB₂D — прямокутний, ∠A = 60°;

Δ B₂DB₂— прямокутний.

S_ABB1A1 = B₁D × АВ = АР × ВВ₁, де АР ┴ ВВ₁.

АР і B₁D — висоти бічної грані — паралелограма ABB₁A₁.

АР = PC.

730.

Нехай дано похилу призму АВСА₁В₁С₁, усі ребра якої дорівнюють а.

АВ = АС = ВС = А₁В₁ = А₁С₁ = В₁С₁ = а. ВВ₁ = АА₁ = СС₁ = a.

∠ Β₁ΒΑ = ∠ B₁BC = α.

S_{поверхні} = 2S_основи + S_бічн.

ΔАВС — рівносторонній.

Проведемо АР ┴ ВВ₁; CP ┴ BВ₁,

ΔАРС — перпендикулярний переріз призми AВСA₁В₁С₁.

ΔАВР: AP = AB × sin α = a × sin α.

Р_ΔАВС = АР + РС + АС.

Р_ΔАВС = a × sin α + a × sin α + a = 2asin α + a = a(2sin α + 1)

S_бічн.= BB₁ × P _ΔАPС = a²(2sin α +1).

Відповідь:

731.

Нехай дано трикутну призму АВСА₁В₁С₁, у якої кожна сторона основи дорівнює а. АВ = ВС = АС = а; А₁В₁ = В₁С₁ - А₁С, = а. Проекцією вершини А₁ основи

А₁В₁С₁ є точка О — центр основи ΔАВС.

ΔАВС — рівносторонній. АВ = ВС = АС = а;

ОB — радіус описаного кола.

∠А₁АО = а. ΔAΑ₁Ο — прямокутний.

АА₁ — ребро призми.

ОК ┴ АА₁. ΔАKО — прямокутний.

OK = АО sina;

ВK ┴ АА,

Проведемо ВK ┴ AΑ₁, ВK² = АВ² - АK².

S_{бічн.ABCA1B1C1} = P_ΔBKC =(ВK + KС + ВС) × АА₁.

732.

Нехай дано правильну трикутну призму АВСА₁В₁С₁. Площа основи S_ΔABC = S₁.

Переріз проходить через ребро нижньої основи АВ і протилежну вершину С1 верхньої основи ΔА₁В₁С₁. S_{ΔBC1 =} S₂.

S_ΔАВС ⁼ S₁. Нехай АВ = ВС = АС = а,

а — ребро основи.

ΔВСK — прямокутний. СК ┴ ВС .

ВС = а;

S_ΔABC1 = S₂;

ΔС₁СK —прямокутний; С₁С ┴ (ABC), С₁С ┴ KС.

S_{бічн.АВСА1В1С1} = P_основи × CC₁.

Відповідь:

733.

Нехай дано правильну чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D₁, у якої сторона основи АВ = ВС = DC = AD = а; бічне ребро АА₁ = ВВ₁ = СС₁ = DD₁ = b. Через середину відрізка O₁O, який з’єднує центри О² і О основ і середини двох суміжних сторін, основи AD і АВ, проведено площину PMN. AN = BN; АР = PD; O₁М = ОМ.

MO ┴ ABCD; AO ┴ BD; PN — середня лінія ΔABD.

PN ‖ BD, PN ┴ АО; за теоремою про три перпендикулярі MF ┴ АО,

отже, ∠MFO — кут між площиною перерізу APMN і площиною основи.

ОО₁ = СС₁ = b.

Відповідь:

734.

Нехай дано правильну трикутну призму ABCA₁B₁C₁, у якої сторона основи

АВ = ВС = АС = 2а; бічні ребра АА₁ = ВВ₁ = СС₁, = b . Через сторону АВ нижньої основи під кутом α до неї проведено площину ABN.

NC ┴ ABC; CM ┴ АВ; NM ┴ АВ. ∠NMC = α — кут між площинами ABC і ABN.

АРKВ — переріз.

АРKВ — трапеція.

РK ‖ A₁В₁; АВ ┴ A₁В₁, отже, РK ‖ АВ₁. СМ ┴ AB; NM ┴ AB; ∠NMB = α, кут між площиною ААВС і площиною трапеції ΔВРК. ΜΝ — висота трапеції.

735.

Нехай дано правильну чотирикутну призму. Через середину більшої діагоналі перпендикулярно до неї проведено переріз. Висота призми в 2 рази більша за сторону основи, площа бічної поверхні 48 см². Висота призми АА₁ = 2АВ. Нехай АВ = а, тоді АА₁ =2а.

AA₁D₁D — діагональний переріз призми, в якому AD = 2а, АА₁ = AD, отже,

ΑΑ₁D₁D — квадрат, AD₁ — діагональ призми.

Через середину діагоналі АD₁ точку О проведено перпендикулярний переріз.

S_{бічної поверхні} = P_основи × h = P_АBCDEF × АА₁ = 6a × 2a = 12a²;

12a² = 48; а² = 4; а = 2, отже, АВ = 2 см; АA ₁ = 4 см.

S_{перерізу} = 2а × а = 2a² = 2 × 2² = 8 (см²).

736.

Місце центроїда всіх вершин правильної призми — точка перетину діагоналей цієї призми.

737.

Нехай дано призму, в основі якої трапеція ABCD. Основи призми ABDCA₁B₁D₁C₁ — рівні трапеції ABCD і A₁B₁C₁D₁, паралельні сторони AB і CD, непаралельні — AD і ВС.

ΑΒ = Α₁Β₁= 8,8 дм:

DC = D₁C₁ = 5,6 дм:

AD = ВС = 3,4 дм.

АА₁С₁С — діагональний переріз, перпендикулярний до основи, і є ромбом.

AA₁C₁C — ромб.

АА₁ = АС = СС₁ = А₁С₁; ∠A₁AC = 45°.

Розглянемо трапецію ABCD.

Проведемо BF ┴ AD; CM ┴ AD.

ΔABF = ΔDCM (АВ = CD; BF = CM).

ΔABF — прямокутний.

BF² = АВ² — AF² = 3,4²-1,6² = 9;

BF² = 9 (дм²). BF = 3 дм.

ΔACM — прямокутний.

АС² = АМ² + МС²; АМ = AF + FM = 1,6 + 5,6 = 7,2.

АС² = 7,2² + 9 = 60,84.

AA₁C₁C — ромб.

A₁K ┴ AС; А₁K — висота ромба, А₁K — висота похилої призми ABDCA₁B₁D₁C_1.

ΔΑΑ₁K — прямокутний.

Отже, висота призми

Діаметр призми АС₁ — діагональ призми. Розглянемо ромб АА₁С₁С.

∠A = 45°; ∠A₁ =135°.

Із ΔAА₁С₁ за теоремою косинусів маємо:

Відповідь: