Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 26. Конус і зрізаний конус

983.

Нехай дано конус, твірна якого AM = l, і нахилена до площини основи під кутом ∠MAO = α.

а) ΔAMO — прямокутний. OM — висота, OM = l × sin α;

б) AO — радіус основи конуса. AO = l × cos α;

в) ΔAMB — осьовий переріз;

г) площа основи конуса — площа круга. S_кр. = π × R²= π × AD².

S_кр.= π × l² cos²α.

984.

Нехай дано конус, площа основи — S. Площа поверхні 3S.

∠MAO — кут нахилу твірної до площини основи.

S_б. = πRL, S_п. = S_б. + S_ocн. = πRL + πR²; πR(L + R) = 3S. S_кp. = πR².

3S = πRL + πR²; πR(L + R) = 3πP²; L+ R = 3R; L = 2R.

ΔMAO — прямокутний. AO = R; AM = 2R отже, катет, що лежить навпроти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. ∠MAO = 60°.

Відповідь: 60°.

985.

Нехай дано конус, висота якого MO = h, OB = r — радіус основи конуса.

ΔMBC — переріз, який проходить через вершину конуса і хорду основи, що стягує дугу 60°, це означає, що центральний кут ∠BOC = 60°.

ΔBOC — рівносторонній. OB = OC = BC = r.

ΔMBC — рівнобедрений, MK ┴ BC; BK = KС.

ΔOBK — прямокутний, OK ┴ ВС;

ΔMOK — прямокутний.

Відповідь:

986.

Нехай дано конус, в якому через вершину M проведено площину МАВ, що відтинає від кола дугу AB = 90° (∠AOB = 90°) і нахилена до площини основи під кутом ∠MKO = 60°. MO ┴ пл. основи, OK ┴ AB, отже, MK ┴ АВ, ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребріAB.

ΔAMB — кут при вершині перерізу.

Нехай AO = R, тоді з ΔАОK:

ΔМОK — прямокутний.

ΔMAK — прямокутний. AM² = MK² + AK²;

Відповідь:

987.

Нехай дано розгортку бічної поверхні конуса — круговий сектор з дугою 90°. ∠AOB = 90°. Нехай OA = OB = R — радіус сектора:

а) l — довжина дуги АВ. AO = OB = L — твірна конуса, l довжина кола основи конуса. l = 2πR₁, де R₁— радіус основи конуса.

AO₁ = R₁;

ΔAOO₁— прямокутний.

б) дуга дорівнює 180°. Довжина дуги 2πR₁ = πL;

∠AOO₁ = 30°; ∠AOB = 2 ∠AOO₁ = 60°;

в) дуга дорівнює 270°.

Відповідь: а) б) 60°; в)

988.

Нехай дано конус з висотою MO = 3м і діаметром AB = 4м.

S_б. = πRl; S _б. = π × 2 × l.

ΔMOA — прямокутний.

989.

Нехай дано зрізаний конус, O₁A = 3 дм; O₂B = 6 дм; AB = 5 дм.

a) AF — висота; BО₂ — A₁O₁ = BF = 6 - 3 = 3 (дм).

ΔAFB: AF² = AB² - BF²; AF² = 25 - 9 = 16; AF = 4. Висота AF = 4;

б) ΔBCD — осьовий переріз конуса — трапеція.

в) ∠B = а — кут нахилу твірної до площини основи.

Відповідь: 4 дм; 36 дм²; arcsin 0,8.

990.

Нехай дано зрізаний конус, радіуси основ конуса R і r, а твірна AB утворює кут α з площиною основи.

S_{бічн. зр. конуса} = πl(R + r).

BK = O₂B - O₁A = R - r

Відповідь:

991.

а) Нехай прямокутний ΔMOB обертається навколо катета MO = 3 см;

S_б. = πRl. S_осн. = πR². S_{поверхні} = πRl + πR² = πR(l + R);

S_{поверхні} = π × 4(5 + 4) = 36π (см²);

б) Нехай прямокутний ΔMOB обертається навколо катета MO = 4 см

S_{поверхні} = πR(R + l). S_{поверхні} = π × 3(5 + 3) = 24π (см²);

в) Нехай прямокутний трикутник обертається навколо гіпотенузи

S_{поверхні} = S_{б. конуса1} + S_{б. конуса2}. S_{б. конуса1} = π × MO × KО.

S_{б. конуса2} ⁼ π × OB × KО.

S _{поверхні} = π × MO × KO + π × OB × KO = π × KО(МО + ОВ),

де MO = 3 см; OB = 4 см;

S _{поверхні} = π × 2,4(3 + 4) = 16,8π (см²).

992.

Нехай рівнобедрений прямокутний ΔABC обертається навколо, прямої І, проведеної через вершину прямого кута, паралельно гіпотенузі. BC = AC = а.

Площа поверхні тіла обертання дорівнює сумі площі бічної поверхні циліндра з радіусом OA і твірною AB та площі бічної поверхні двох, конусів з радіусом OA і твірною АС.

S _{поверхні} = 2πRl + 2πRl₁, де R = OA, l = АВ, l₁ = ВС,

З прямокутного трикутника ABC: BC = AC = а;

AB² = а² + а² = 2а²;

Відповідь:

993.

Нехай ABCD прямокутна трапеція з основами AB = 2 см і DC = 6 см; AD = 3 см.

а)

Нехай прямокутна трапеція обертається навколо меншої бічної сторони. Поверхня тіла обертання дорівнює:

S_{бiчн.зріз.конус.} + 2S_осн. × S _{поверхні}= πl(R + r) + πR² + πr²;

S _{поверхні} = 5π(2 + 6) + 4π + 36π = 40π + 4π + 36π = 80π (см²).

б)

Нехай прямокутна трапеція обертається навколо більшої основи.

AD = 6 см; BC = 2 см; DC = 5 см; AB = 3 см; OD = 4 см.

Площа поверхні дорівнює сумі бічної площі поверхні конуса і бічної поверхні циліндра та площі основи циліндра.

S _{поверхні} = π × OC × DC + 2π × OC × BC + π × OC²= π × OC(DC + 2 BC + ОС) =

= π × 3(5 + 2 × 2 + 3) = 3π ×12 = 36π(см²).

в)

Площа поверхні дорівнює сумі площ бічної поверхні циліндра, площі основи циліндра і бічної поверхні конуса.

S_пов. = 2π × AB × AD + π × AB² + π × AB × CD = 2π × 3 × 6 + π × 9 + π × 3 × 5 =

= 36π + 9π + 15π = 60π (см²).

Відповідь: a) 80π; 6) 36π; в) 60π.

994.

ΔAMB — осьовий переріз конуса. P_ΔAMB = AM + MB + АВ. P_ΔKMN = KM + NM + KN.

AB — діаметр — найбільша хорда, отже з усіх перерізів конуса площинами, які проходять через вершину, найбільший периметр має осьовий переріз.

995.

3 усіх перерізів конуса площинами, які проходять через вершину, найбільшу площу має осьовий переріз.

996.

Нехай твірні, двох конусів нахилені до площини основи під рівними кутами.

ΔMОA. MO = AM × sin α. ΔM₁A₁O₁. M₁O₁ = A₁M₁ × sin α.

отже, якщо твірні двох конусів нахилені до площин основ від рівними кутами, то висоти цих конусів відносяться як твірні, що й треба було довести..

S_1бічн. = πR₁L₁; S_2бічн. = πR_1; L₁ = R ₁ cos α; L₂ = R₂ × cos α·

Площі бічних поверхонь відносяться як квадрати радіусів основ конусів.

997.

Нехай дано конус, в якому MO₁ — відстань січної площини від вершини конуса. O₂M — відстань від площини основи до вершини конуса.

Нехай O₂K₂= R₂,

Отже, доведено, що площі основи конуса і його перерізу площиною, паралельною основі, відносяться як квадрати відстаней цих площин від вершини конуса.

998.

Нехай висота конуса MO₁= h. S_пер. = πr², S_осн. = πR².

Нехай O₂ B = r; O₁A = R.

ΔBMO₂ — ΔAMO_1.

Відповідь:

999.

Нехай дано конус, AM — твірна, MO — висота, MA - MO = a, ∠AMO = α.

Нехай твірна AM = l, тоді AO = l sin α; OM = l cos α.

За умовою l - l cos α = а; l(l - cos α) = а;

ΔАМО.

Площа бічної поверхні конуса:

Відповідь:

1000.

Нехай дано конус, радіус основи якого 2 см, площа бічної поверхні конуса дорівнює сумі площ основи осьового перерізу.

S _б.к. = S_осн. + S _ΔABM

Нехай MO₂ = h. S _осн. = π · r² = 4π;

(h + 2π)² = π²(h² + 4);

h² + 4πh + 4π²= π²h² + 4π²; π²h²- h²= 4πh; h²(π² - 1). = 4πh;

h(π² - 1) = 4π;

Відповідь:

1001.

Нехай дано конус, висота якого 20 см, радіус основи 25 см. Через вершину конуса проведено площину (МАВ) на відстані OP = 12 см від центра основи.

OP ┴ (МАВ), OP ┴ МK.

ΔMPO — прямокутний. MP² = MO² - OP² = 400 - 144 = 256; MP = 16.

MO²= MK × МР, 400 = MK × 16;

OK²= MK²= MO² = 625 - 400 = = 225, OK = 15.

ΔOKB — прямокутний. BK² = OB² - OK² = 625 - 225 = 400; BK = 20; AB = 40.

Відповідь: 500 см².

1002.

Нехай дано конус, через дві твірні конуса проведено площину (AMB), яка утворює з площиною основи ∠MPO = β. MO ┴ пл. основи; OP ┴ АВ, MP ┴ AB,

∠MPO — лінійний кут двогранного кута при ребрі AB. ∠AMB = α, кут між двома твірними конуса. S_ΔAMAB = S. MO — висота конуса.

ΔMAP — прямокутний.

Нехай MP = х,

ΔMOP — прямокутний. ∠MOP = 90°;

Відповідь:

1003.

Нехай дано конус, осьовий переріз якого ΔАМВ. Через вершину конуса проведено площину (AMC) під кутом 60° до його площини основи.

MO ┴ площині основи. OK ┴ АС, MK ┴ AC. ∠MKO = 60° (лінійний кут двогранного кута АС).

Нехай OM = h, тоді AO = R;

ΔMOK.

ΔАОK.

.

6R²= 2R² - h²; 4R² =h²;

ΔАМО. MO = h;

Відповідь:

1004.

Нехай дано конус, через вершину конуса M проведено переріз конуса площиною МАВ. MO ┴ площині, основи. OK ┴ АВ, MK ┴ АВ. ∠MKO = α. ∠MKO — кут між площиною перерізу (МАВ) і площиною основи.

∠MAO = φ —^: кут, який утворює похила MA з площиною основи. MA — твірна конуса. Повна поверхня конуса Q. S_повне = πR² + πR × 4 = πR(R + L), де R — радіус основи конуса, L — твірна конуса.

Нехай AO = R, тоді

ΔAOM — прямокутний.

ΔMOK — прямокутний.

ΔAKO — прямокутний.

1005.

Нехай дано конус, AM і MB — твірні, AM ┴ MB, ∠AMB = 90°.

AO = OB = r — радіуси основи конуса.

S₁ : S1 : 2 — площі бічної поверхні конуса, на які вони діляться твірними.

S _б. = π × R × L. 360°; 3 = 120°; ∠AOB = 120°.

ΔAOB — рівнобедреник. AO = OB = r; ∠AOB = 120°;

ΔAMB — прямокутний рівнобедрений. ∠AMB = 90°.

AM² + BM² = AB²; 2AM² = 3r²;

ΔAOM — прямокутний. OM² = AM² - AO²за теоремою Піфагора.

Відповідь:

1006.

Нехай круг поділили на 2 сектори.

N₂ = Зn₁; n₁ + 3n₁ = 360°; 4n₁ = 360°; n₁ = 90°; n₂ = 270°.

— довжина кола основи першого конуса.

— довжина кола основи другого конуса.

R = l — твірні конусів. У даних конусів твірні рівні.

де r₁ — радіус основи першого конуса.

де r₂ — радіус основи другого конуса.

І = І.

Відповідь:

1007.

Нехай дано зрізаний конус, твірна якого K₁K нахилена до площини основи під кутом α. K₁K = l. ∠K₁KO = α. K₁P ┴ площині основи. K₁K — похила, KO — її проекція.

S₁ : S₂ = 1 : 4, де S₁ — площа першої основи, S₂— площа другої основи конуса.

де r₁ = O₁K₁; r₂= ОK;

ΔKK₁P — прямокутний. K₁P = K₁K × sin α = l × sin α; KP = K₁K × cos α = l × cos α.

r₂ = 2PK = 2l cos α;

S_повна = S_{основи1} + S_{основи2} + S_{бічн. зріз. конуса}

S_{основи1} = π × r₁² =πl² cos² α; S_{основи2} = π × r₂² =πl² cos² α;

S _{повна конуса} = πl² cos²α + 4πl² cos²α + 3πl² cos α = 5πl² cos²α + 3πl² cos α =

= πl² cos α × (5 cos α + 3).

Відповідь: πl² cos α(5 cos α + 3).

1008.

Нехай дано зрізаний конус, в якого діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні.

AC ┴ BD. Твірна AB = l і утворює із площиною кут BAO = α.

Площа бічної поверхні дорівнює:

S_{бічна зрізаного кола} = πl(R + r), де l = AB, r = AO, r = O₁B ,

Нехай ABCD — осьовий переріз конуса. BD і AC — діагоналі.

BD ┴ AC; O — точка перетину діагоналей конуса.

Нехай OB = OC = x, AO = OD = y.

ΔBOC — прямокутний. OB² + OC² = BC²; BC² = 2x²,

ΔAOD — прямокутний. AO = OD = у, AO² + OD²= AD².

AD²= у² + у²; AD² = 2у²;

Проведемо BE ┴ AD; CK ┴ AD;

або з ΔABE: AE = AB × cos α = I × cos α.

Отже:

Із ΔABE: BE = AB × sin α; BE = l × sin α.

Відповідь:

1009.

Нехай дано зрізаний конус. Площа нижньої основи конуса— S₁.

Площа верхньої основи конуса — S_2.

S₃— площа бічної поверхні конуса.

S₁ : S₂ : S₃ = а : b : с.

Нехай K₁K — твірна конуса. ∠K₁KO = α,

K₁KO — кут між твірною конуса та площею його нижньої основи.

де R₁ =KO; де R₂ = K₁O₁;

S_{бічна конуса} = π(R₁ +R₂) ×l, де l = K₁K, KF = ОK.

ΔKK₁F — прямокутний.

Відповідь:

1010.

Нехай ромб ABCD обертається навколо прямої І, що містить його сторону.

AB = BC = CD = AD = a. ∠DAB = 60°. AO і DK — висоти ромба. DK ┴ АВ.

З ΔADK:

CF ┴ AB. ΔADK = ΔЕСВ. BF = AK.

S _{поверхні} = S _{б. цил.ADNM} — S _{б. к.ABM} + S _{б. к. DCN}. S _{б. к.ABM} = _{б. к. DCN}

Oтже, S _{поверхні} =S _{б. цил.ADNM} — S _{б. цил.} = 2πR× L. де R = DK, L = AD.

Відповідь:

1011.

а) Нехай дано Δ ABC. AB = 7 см, BC — 8 см. AB найменша сторона ΔABC.

Δ ABC. За теоремою косинусів маємо: AC² = AB² + BC²— 2AB × BC × cos 120°.

OC — висота Δ АВС, проведена до сторони АВ.

ΔOBC - прямокутний.

б) Нехай дано ΔABC. AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 13 см.

Нехай ΔABC обертається, навколо найбільшої сторони AC = 13 см.

S _{поверхне обертання} = S _{б. к.ABD} = S _{б. к.CBD.}

OB — висота AABC, проведена до сторони АС.

Відповідь:

1012.

Нехай дано ΔАВС, AB = 6 см, AC = 10 см, ∠BAC = 120°.

∠C — найменший кут трикутника ABC. CK ┴ AB,

CK — висота ΔABC, проведена до найменшої сторони.

S _{поверхні обертання} = S _{бічна конуса BCB1} = S _{бічна конуса ACA1}

S _{к. BCB1} = π × BK × BC + π × AK × АС.

ΔАВС: за теоремою BC² = AB² + AC²— 2АВ × AC × cos 120°;

BC = 14 (см).

ΔСАК — прямокутний. ∠CAK = 60°.

S _бічна = π × 11 × 14 + π × 5 × 10 = 154π + 50π = 204π (см ²).

Відповідь: 204π см².

1013.

Нехай дано тупокутний ΔАВС, ∠A = α, ∠B = β.

BC — сторона, що лежить проти кута α.

∠C = 180° — (а + β), h — найменша висота, проведена до найбільшої сторони. Найбільша сторона ΔABC, сторона AB, що лежить навпроти тупого кута С.

CK ┴ AS, CK = h.

S _{тіла обертання} = S _{б. кон. ABA1} + S _{б. кон. ACA1}

S _{поверхні} = π × AO × AB + π × AO × AC = π × AO(AB + АС).

ΔACK — прямокутний.

AB = AK + BK = h ctg α + h ctg β = h(ctg α + ctg β). ΔAOC — прямокутний.

∠CAO = 90° — α.

Відповідь:

1014.

Через середину висоти конуса проведено пряму, якa утворює з висотою кут φ і перетинає бічну поверхню конуса в точках А і В. DP = l. PK — твірна конуса, ∠PKO = α. α — кут нахилу твірної до площини основи.

PO = l × sin α; DO = l × cos α. PO = PM + MO; AB= AM + MB,

∠OPC = ∠DPO = 90° — α.

ΔOPB. За теоремою синусів

ΔАМР:

Відповідь:

1015.

Нехай через вершину конуса проведено площину МАВ, яка ділить його бічну поверхню на дві частини. Розгорнули ці частини на площину і дістали 2 сектори з кутами α і β. MA = MA₁ = I = R_сект.

Довжина дуги кола І сектора

Довжина дуги кола II сектора

AM — твірна конуса.

C = 2π × R_1, C — довжина кола, R₁— радіус основи кола.

∠AMB — кут при вершині у проведеному перерізі.