Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 29. Поняття об’єму

1121.

Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда.

Об’єм паралелепіпеда дорівнює: V = 250 × 120 × 65 = 1 950 000 мм³ = 1,95 дм³.

1122.

Для того, щоб знайти скільки кубометрів ґрунту перевернули, треба знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда з площею основи 5 га і висотою 35 см.

V = 50 000 м² × 0,35 м = 17 500 м³.

1123.

Нехай а — сторона куба.

а) Площа грані куба S = а², а² = Q,

Об’єм куба

б) Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, а — сторона куба.

З ΔABD:

З ΔB₁BD: B₁D²= а² + 2а²; d² = 3а²,

Об’єм куба

Відповідь: а) б)

1124.

Нехай сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює а, тобто

AB = BC = CD = AD = а. Площа основи S = а², 49 = а², а = 7 (см).

Площа бічної грані S₁ = а × CC₁, 56 = 7CC₁, CC₁= 8 (см).

V_призми = S_oсн. × H = 49 × 8 = 392 (см³).

Відповідь: 392 см².

1125.

Нехай ABCDA₁В₁C₁D₁ — куб. V — об’єм куба.

Нехай а — сторона куба. V = а³,

3 ΔABD:

З ΔB₁BD:

Відповідь:

1126.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— правильна чотирикутна призма,

B₁D — діагональ, B₁D = d, ∠B₁DB = α, а — сторона основи.

V _призми = S _oсн. × BB₁.

З ΔBB₁D: BD = B₁D × cos α = d × cos α. B₁B = B₁D × sin α = d × sin α.

З ΔABD: BD² = AB² + AD², d² cos² α = 2а²,

Підставимо у формулу значення d = 37 см, α = 58°.

Відповідь: 6 дм³.

1127.

Знайдемо об’єми кожного з кубів: V₁= 1³ = 1 см³, V₂ = 6³ = 216 см³, V₃ = 512 см³.

Отже, об’єм трьох переплавлених кубів, а також отриманого куба дорівнює

729 см³. Звідси отримаємо: V = а³, де а — ребро куба, 729 = а³, а — 9 (см).

Відповідь: 9 см.

1128.

Спочатку знайдемо об’єм класної кімнати V: V = 10 × 6 × 3,5 = 210 м³.

Оскільки на кожного учня припадає не менше як 6 м³ повітря, то отримаємо, що

кімната розрахована на 210 : 6 = 35 (учнів).

Відповідь: 35 учнів.

1129.

Нехай V₁ — об’єм паралелепіпеда, V₂— об’єм куба, а — ребро куба.

Об’єм паралелепіпеда V₁ = 15 × 36 × 50 = 27 000 (дм³).

Об’єм куба V= а³, а³ = 27 000, а = 30 (дм).

Відповідь: 30 дм.

1130.

Нехай а — ребро куба, тоді об’єм V= а³. Збільшимо ребро на 3 см, Отже, ребро куба дорівнює а + 3, тоді об’єм V = (а + 3)³, (а + 3)³ = а³ + 315,

а³ + 9а² + 27а + 27 = а³ + 513, 9а² + За — 54 = 0, а² + 3а - 54 = 0, а = 6 (см). Відповідь: 6 см.

1131.

Нехай ребро першого куба х см, ребро другого куба 3х.

Об’єм першого куба V₁ = x³, об’єм другого куба

Відповідь:

1132.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— прямокутний паралелепіпед,

BB₁= 3х, AB = 4х, AD = 12х, B₁D = 39 см.

З прямокутного ΔABD: BD² =AB² + AD² = 16х² + 144x² = 160x².

З прямокутного ΔB₁BD: B₁D² -B₁B² + BD², 1521 = 9х² + + 160x²,

169x² = 1521, x² = 9, x = 3.

Отже, отримали: BB₁ = 9 (см), AB = 12 (см), AD = 36 (см).

Об’єм V = AB ×AD × BB₁ = 9 × 12 × 36 = 3888 (см³).

Відповідь: 3888 см³.

1133.

Нехай x, 2x і 4x — виміри прямокутного паралелепіпеда,

S_повн. = 112 см². S_повн = 2S _oсн. + S_бічн. S _oсн. = x × 2x = 2x²;

S _бічн. = 2(x + 2x) × 4x = 24x².

S_повн = 2х² + 24x² + 2x² = 28x². Отже, маємо: 28x² = 112 см², x² = 4, x = 2.

Звідси маємо виміри прямокутного паралелепіпеда 2, 4 і 8.

Отже, V = 2 × 4 × 8 = 64 (см³).

Відповідь: 64 см³.

1134.

Нехай ABCBA₁B₁C₁B₁прямокутний паралелепіпед, у якого AB = a, AB = b, ∠B₁BB = а. Об’єм V паралелепіпеда дорівнює V = AB × AD × BB₁ =ab × BB₁,

З ΔABD:

З ΔBB₁B:

Отже,

Відповідь:

1135.

Нехай ABCBA₁B₁C₁B₁— прямокутний паралелепіпед, V = 38 дм³.

Діагональна площина ділить прямокутний паралелепіпед на дві рівновеликі призми. Отже, V ₁ призми дорівнює:

Відповідь: 19 дм³.

1136.

Нехай ABCBA В C₁B — прямокутний паралелепіпед.

∠B₁CB = 30°, ∠B₁AB - 60°, BB₁ = x.

З ΔAB₁B:

З ΔB₁BC:

x²+ 9х² + 3х² = 39, 13х² = 39, x²= З,

Звідси маємо

Об’єм

Відповідь:

1137.

Нехай ABCBA₁B₁C₁B₁— прямокутний паралелепіпед,

B₁B = d, ∠B₁DB = β. ∠B₁BC₁ = α.

З ΔB₁DB: BB₁= B₁B sin β = d sin β, BD = B₁B cos β = d cos β.

3 ΔB₁C₁D: BC = B₁D sin α = d sin α = BC.

3 ΔBCD:

Для об’єму прямокутного паралелепіпеда маємо:

Відповідь:

1138.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ —прямокутний паралелепіпед,

B₁D = d, ∠B₁DA₁ = α, ∠B₁DC₁ = β.

З ΔAB₁D: A₁B₁ = B₁D × sin α = d × sin α = АВ.

З ΔB₁DC₁: B₁C₁ = B₁D × sin β = d sin β = BC.

З ΔB₁BD: BD² = AB² + BC² = d² sin² α + d² sin² β.

3 ΔB₁BD:

Для об’єму V прямокутного паралелепіпеда маємо:

Відповідь:

1139.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— прямокутний паралелепіпед,

A₁D = 5 см, C₁D = = 3 см, AB = х, BС = у, BB ₁ = z.

З прямокутного ΔABD: BD² = AB² + AD² = x² + у ², 22 = x² + у².

З AA₁AD: A₁D² = AA₁² + AD² = z² + у²; 25 = z² + у².

З AC₁CD: C₁D² = C₁C² + CD² = z² + x², 9 = z² + х².

Отримаємо систему:

Додавши всі рівняння, отримаємо: 2(x + у² + z²) = 56; x² + у² + z² = 28,

тоді з першого рівняння отримаємо: 22 + z² = 28; z²= 6;

З другого рівняння отримаємо: x² + 25 = 28; х² = 3;

З третього рівняння отримаємо: у² + 9 = 28; у² = 19;

Для об’єму паралелепіпеда V маємо:

Відповідь:

1140.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед,

A₁D = 5 см, C₁D = 8 см, ∠A ₁DC ₁ = 60°, А₁B₁ = x, B₁C₁ = у, ВВ₁ = z.

З ΔA₁C₁D за теоремою косинусів:

З ΔA₁B₁C₁: 49 = x² + у².

З ΔA₁AD: A₁D² = A₁A² + AD² = z² + y², 20 = z² + у².

З ΔC₁CD: C₁D² = C₁C² + CD² = x² + z², 64 = х² + z².

Отримаємо систему:

Додавши всі рівняння, отримаємо: 2(х² + у² + z²) = 138; х² + у² + z² = 69. Підставимо перше рівняння системи в отримане: 49 + z² = 69, z² = 20, Підставимо друге рівняння системи в отримане: х² + 25 = 69, x²= 44,

Підставимо третє рівняння системи в отримане: 64 + у² - 69, у² = 5,

Для об’єму прямокутного паралелепіпеда маємо:

Відповідь:

1141.

Нехай в прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁. AB = 3 см,

Проведемо площини AB₁C і A₁C₁D і розглянемо переріз паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною BB₁D₂D. Тоді BD₁┴ B₁O₁і BD₁ ┴ DO₂і BM = 2,4 см.

Оскільки BO₁ = O₁D і O₁M ‖ DK, то за теоремою Фалеса BM = Мk.

Оскільки B₁O₂ = O₂D₂ і B₁M ‖ O₂K, то за теоремою Фалеса MK = KD₁.

Тоді BM = MK = KD₁, Отже, BD₁ = 3 × BM = 3 × 2,4 = 7,2(см).

Оскільки AB² + BC² + BB₁ = BD₁² або 9 + 7 + BB₁² = 7,2², то

BB²₁ = 7,2² — 16 = 51,84 —16 = 35,84, звідси

Тоді

Відповідь:

1142.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— прямокутний паралелепіпед,

AB : BC = 5 : 12, P_BB1D1D = 78 см.

Позначимо AB = 5x, BC = 12x. ·

З ΔABD за теоремою Піфагора:

P_B1BDD1 = BB₁ + B₁D₁ + D₁D + BD = BB₁ + BD + BB₁ + BD = 2 (BВ₁ + BD).

З другої сторони P_B1BDD1 = 78 см.

Отже, маємо 2(ВВ ₁ + BD) = 78; BB₁ + BD = 39;

BB₁ = 39 — BD = 39 — 13x.

Тоді V = 60x²(39 — 13x) = 780x²(3 - x).

Знайдемо найбільше значення функції V = 780x²(3 — x), де x ϵ [0; 3].

V^′ = (2340x² — 780x³)′ = 4680x — 2340x² = 2340x(2 - x).

Знайдемо критичні точки; V′ = 0; 2340x(2 — x) = 0; x = 0 або x = 2.

V(0) = 0; V(2) = 780 × 2² × (3 — 2) = 3120: V(3) = 0.

Отже,

Таким чином, найбільший об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнюватиме 3120 см³.

Відповідь: 3120 см³.

1143.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— закритий ящик, в якого AB = BC = х.

За умовою задачі S _повн = S, тоді 2x² + 4x × АА ₁. = S, звідси

Тоді об’єм ящика

Знайдемо найбільше значення функції

де x ϵ [0; +∞);

Знайдемо критичні точки функції V(x): S — 6х² = 0;

Точка не входить в проміжок x ϵ [0; +∞).

Оскільки — єдина критична точка на проміжку [0; +∞),

то з’ясуємо зростання (спадання) функції на проміжках

і Якщо то V(x) > 0; якщо то V′(x) < 0.

Отже, точка — точка максимуму. Оскільки функція V(x) на проміжку

[0; +∞) має єдину точку максимуму, то при об’єм буде найбільший.

Отже, розміри ящика

Відповідь:

1144.

Нехай ABCDA₁B₁C_iD₁— куб. Куб ABCDA₁B₁C₁D₁ складається з шести пірамід, вершина якої — середина діагоналі куба, а основа — його грань. Оскільки об’єм куба V, то об’єм піраміди дорівнює

Відповідь:

1145.

Нехай SABCD — задана піраміда, SO ┴ (ABC), SO = 5 см,

AB = AD = CD = BC = 10 см. Об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1146.

Нехай PABCD — задана піраміда, PA ┴ (ABC), PA = a, AB = BC = CD = AD = а. Об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1147.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — призма. AB = BC = CD = AD = a. ∠B₁DB + ∠B₁DC = 135.

Нехай ∠B ₁DB = α, тоді ∠B₁DC = 135° - α.

З ΔABD:

З ΔB₁BD:

З ΔB₁CD:

З ΔB₁BD:

Прирівняємо праві частини:

2 cos α = sin α; tg α = 2.

Отже, об’єм V призми дорівнює:

Відповідь: