Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§8. Застосування векторів

269.

5(х - 2) + 0 × (у + 1) - 3(z - 4) = 0; 5x - 10 - Зz + 12 = 0;

5x - Зz + 2 = 0 - рівняння шуканої площини.

270.

3(x - 1) - 4(y - 2) + 7(z + 3) = 0; 3x - 3 - 4у + 8 + 7z + 21 = 0;

3x - 4у + 7z + + 26 = 0 — рівняння даної площини.

271.

a(x -0) + b(y - 0) 4 - c(z - 0) = 0; ax + by + cz = 0

272.

Якщо площина α паралельна площині 2х - Зу + z + 10 = 0, то

тоді площина α задається рівнянням: 2(х - 1) - 3(у + 3) + 1(z - 5) = 0;

2х - 2 - Зy + 9 + z - 5 = 0; 2х - Зу + z - 16 = 0.

273.

Щоб знайти кут між прямими і

достатньо знайти кут α між векторами і

274.

Знайдемо кут між векторами і

Цей кут дорівнюватиме куту між площинами.

275.

Оскільки площина дотикається до сфери (х - 1)² + (у + 1)² + (z - 2)² = 6

у точці (0; 0; 0), то дана площина перпендикулярна і проходить

через точку (0; 0; 0). Ця площина задається рівнянням:

1(х - 0) - 1(y - 0) + 2(z - 0) = 0 або х - у + 2z = 0.

276.

Добудуємо тетраедр ABCD до паралелепіпеда AKBLNDMC, провівши через протилежні ребра пари паралельних площин. За умовою AB ┴ CD, тоді KL ┴ AB, бо KL ┴ DC. Звідси: у паралелограма AKBL діагоналі перпендикулярні, тому AKBL — ромб. Тоді АВ² + KL² =АВ² + DC² = а² (а — сторона ромба).

Аналогічно AD² + ВС² = а² і АС² + BD²= а² (всі грані паралелепіпеда — ромби). Звідси AD² + ВС² = АС² + BD² = АВ² + DC².

277.

О — точка перетину медіан ΔАМL.

О₁ — точка перетину медіан ΔCNK:

Оскільки то

Отже, О і О₁ збігаються.

278.

K — середина АА₁; S — середина ВВ₁; М — середина СС₁;

N — середина DD₁

Звідси або

Аналогічно

Оскільки AB ‖ DC і А₁ В₁ ‖ D₁ С₁, то і

— колінеарні, тобто KS ‖ NM, аналогічно SM ‖ KN.

Звідси KSMN — паралелограм.

279.

ABCDA — неплоска замкнена ламана.

М — середина AD; Р — середина ВС.

280.

а ┴ α; с — похила; b — проекція - на а.

, d ┴ b. Доведемо, що с ┴ d.

оскільки то

Тобто

Оскільки то

Тому

Якщо то і (доведення аналогічне:

281.

Опустимо A₁M ┴ (АВС).

Якщо ΔАВС — рівносторонній і ∠A₁ AB = ∠А₁АС, то М — основа перпендикуляра лежить на бісектрисі AK. АK — бісектриса, медіана і висота Δ АВС.

A₁M ┴ (ABC), тому A₁M ┴ ВС, тоді

тоді

оскільки лежить на

бо — висота ΔАВС.

тоді тому

або

282.

ABCD — тетраедр.

Μ₁ — точка перетину медіан ΔABD. М₂ — точка перетину медіан Δ ACD.

ВK — медіана ΔABD:

СK — медіана ΔACD:

Звідси

Отже, або М₁М₂ ‖ ВС.

283.

тоді

284.

∠ ADB = ∠DBC = ∠CDA = β.

Отже,

Отже, ребро тетраедра перпендикулярне до протилежного.

285.

Розмістимо тетраедр в системі координат як показано на рисунку.

а — ребро тетраедра.

Тоді A(0; 0; 0);

Отже,

286.

а — ребро тетраедра. DK ┴ ВМ — мимобіжні медіани граней тетраедра,

φ — кут між ними.

(див. задачу № 285).

Отже,

287.

О — центроїд тетраедра. М — довільна точка сфери.

тоді

288.

тому

Звідси

Оскільки то

Аналогічно можна довести, що

Тому AD = DD₁ = DC.

Отже, AВСDA₁В₁С₁D₁ — куб.

289.

Нехай а, b, с — виміри прямокутного паралелепіпеда.

Розмістимо паралелепіпед в системі координат, як показано на рисунку.

Тоді А(а; 0; 0); В(0; 0; 0); С(0; 6; 0); D(a; b; 0);

А₁(A; 0; с); В₁ (0; 0; с); С₁ (0; b; с); D₁(а; b; с).

O(х; у; z) — довільна точка простору.

Звідси:

290.

Пряма АВ:

_:— площина.

х + 2у - z + 3 = 0,

291.

а) Множина точок, рівновіддалених від площин 2х - у + Зz - 5 = 0 і 2х - y + 3z + 3=0 утворюють площину, паралельну даним площинам, яка проходить між даними площинами на однаковій відстані. Ця площина задається рівнянням 2х - у + Зz - 1= 0.

б) Множина точок, рівновіддалених від площин 2х + у — 2z + 5 = 0 і х - 2у + 2z - 1 = 0 утворює бісекторну площину для даних площин і задається рівнянням:

292.

AD₁ і BC₁ — мимобіжні діагоналі суміжних граней куба; а — ребро куба.

Проведемо через AD₁ і DC₁ площини, паралельні між собою.

Це (AB₁D₁) і (C₁BD). Ці площини перпендикулярні до діагоналі А₁С

і ділять її на три рівні частини.

Відстань між площинами d дорівнює

293.

Нехай М ϵ AB, N ϵ CD i MN — відстань між АВ і CD.

і

Тому

Звідси

Оскільки і бо і

то

Тоді

294.

Введемо вектори

Найбільшого значення 10 функція набуває, коли

cos φ = 1, тобто φ = 0°, тоді а і b співспрямовані.

або

Звідси

Отже, найбільше значення функції дорівнює 10 і досягається при