Розв’язання вправ та завдань до підручника «МАТЕМАТИКА» О. М. Афанасьєва 11 клас - 2011 рік

Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

1.

Обчисліть:

1)

2)

3)

2.

Спростіть вираз:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

3.

Послуговуючись калькулятором, обчисліть з точністю до 0,01:

2^3,14 ≈ 8,82

2^3,15 ≈ 8,88

2^3,141 ≈ 8,82

2^3,142 ≈ 8,83

4.

Послуговуючись результатами, отриманими при розв’язуванні задачі 3, знайдіть значення 2^π з точністю до 0,01, 2^π ≈ 8,82.

5.

Використавши графік функції у = 2^х знайдіть наближено:

1) значення функції в точках 1,5 і (-1,5):

2^1,5 ≈ 4,2^-1,5 ≈ 0,6;

2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0,4:

х — ? 2^х = 0, х ≈ - 0,7;

3) абсцису точки його перетину з прямою у = 1,5;

х — ? 2^х = 1,5, х ≈ 0,4.

6.

Користуючись графіком функції у = 2^х, побудуйте графіки функцій:

1) у = 2^х-2, у > 0;

2) у = 2^2-х, у > 0;

3)

4) у = 2^х - 1, у > -1

5) у = 2 ^|х|, у ≥ 1

Графік симетричний відносно осі Оу.

6) (Графік дивись п. 5).

7.

1) Область визначення функції у = 3^2х - 1-, х ϵ (-∞; +∞),

Область значень функції у > -1, у ϵ (-1; +∞);

2) у = 1

Область визначення функції х ϵ (-∞; +∞).

Множина значень — одна точка у = 1;

3)

х — ? 2^х -1 ≥ 0, 2^х ≥ 1, х ≥ 0

Область визначення функції х ϵ [0; +∞).

Множина значень функції у ϵ [0; +∞).

8.

у = 3^х-1, х ϵ [2; 4].

Найменше значення функції на проміжку [2; 4] дорівнює 3, якщо х = 2,

найбільше значення функції дорівнює 27, якщо х = 4;

2)у = 2^х-1, х ϵ [-1; 2].

Найменше значення функції на проміжку [-1; 2] дорівнює якщо х = 2;

найбільше значення дорівнює 2, якщо х = -1;

3) у = 3^{1- 2x}, х ϵ [-1; 1].

Найбільше значення функції на проміжку [-1; 1] дорівнює 27, в точці х = -1;

найменше значення функції дорівнює в точці х = 1;

4) х ϵ [-2; 2]; y = 2^x-2.

Найбільше значення функції на проміжку [-2; 2] дорівнює 1 в точці x = -2; найменше значення дорівнює в точці х = -2.

9.

у = 0,3 ×- (1,5)^{2x- 1} = 0,45

1) х ϵ [-3; 3] t = 0,5

2)

3) А(0; -0,25), B(1; 0);

4) х ϵ (-∞; 0].

10.

ν = 2,5 × (1 — 2,7 ^-1,5t)

1) t₁ = 10 с, v(10) = 2,5 × (1 — 2,7^-15) = 2,50 м/с;

t₂ = 20 с, v(20) = 2,5 × (1 — 2,7^-30) = 2,5 м/с;

v(0) = 2,5 × (1 - 2,7⁰) = 0;

2) v(0) = 0, v(10) - v(0) = 2,50 м/с;

v(20) — v(10) = 0,00 м/с.

11.

1) v = 2,5 × (1 - 2,7^1,5t) t = 10 с, v = 2,5 × (1 - 2,7^-15)

12.

1) x — ?

2) x — ? x = 2;

3)

х² — 6х — 2,5 = 4,5; х² — 6х — 7 = 0; х₁ = -1; х₂ = 7.

13.

1) х — ? (0,5)^x > 1, х < 0, x ϵ (-∞; 0);

2) х — ? 3^x < 9; 3^x < 3², х ϵ (-∞; 2);

3) 2^3x ≥ 2^-1; 3х ≥> -1;

4) 3^-x+1 ≤ 3¹; -х + 1 ≤ 1; -х ≤ 0; х ≥ 0 х ϵ [0; +∞).

14.

1) f(х) = (2^х + 2^-2х)² — (2^x — 2 ^-2x)² = (2^х + 2^-2x + 2^х — 2^-2х) × (2^х + 2 ^-2х — 2^x + 2^-2х) =

= 2 × 2^x × 2 × 2^-2x = 2² × 2^x × 2^-2x = 2^2+x-2x = 2^2-x; f(х) = 2^-x+2;

f(1) = 2^{-1 + 2} = 2¹; f(-1) = 2¹⁺² = 2³ = 8;

3) вісь у має вид х = 0, f(0) = 4. А(0; 4); вісь x має вид у = 0, 2^-x + 2 ≠ 0,

графік функції не перетинає вісь х; 2^-х + 2= 2¹; -х + 2 = 1, x= 1. В(1; 2);

4) Область визначення функції у = 2^{-x +2}, x ϵ (-∞; +∞),

множина значень функції, у ϵ (0; +∞)

5) Найбільше значення функції у = 2 ^{-х + 2},на проміжку [-1; 2] дорівнює 2^{1+ 2} = 8 в точці х = -1; найменше значення функції на проміжку [-1; 2] дорівнює 2^-2+2 = 2⁰ = 1 в точці х = 2;

6) x — ?

х — ?

7) x —? 2 ^—x+2 = (а -1) × 2 ^-1.

а ≤ 1 розв’язків не існує; а > 1, розв’язки існують, а ϵ (1; +∞);

8) у = -3 f(2х - 1); y = -3 × 3^-(2x-1)⁺² = -3 × 2^-2x+4; у = -3 × 2^-2х+4, у ϵ (-∞; 0).

15.

f(х)=(3^x + 3^-2x)² - (3^х — 3^-2x)² — 3-x

1) f(х) = (3^х + 3^-2х + 3^х — 3^-2x) × (3^х + 3^-2x — 3^х + 3^-2x) - 3^-х = 2 × 3^х × 2 × 3^-2х — 3^-х =

= 4 × 3^х-2x - 3^-x = 4 × 3^-x - 3^-х = 3 × 3^-х = 3^-х+1, F(_х) = 3^-х+1.

2) f(-2) = 3^-(-2)+1 = 3²⁺¹ = 3³ = 27;

3) х =- 0, y(0) = 3⁰⁺¹ = 3; A(0; 3).

у = 0, 3^-x+1 ≠ 0 не існує точок перетину графіка функції з віссю х.

х — ? -х + 1 = -1, х = 2;

4) Область визначення функції f(х) = 3^-x+1, х ϵ (-∞: +∞).

Множина значень функції у ϵ (0; +∞).

5) х ϵ [-2; 1], y_найб.= 27 при х = -2; y_найм. = 1 при х = 1.

6) х —?

х —?

7) а—? існує розв’язок цього рівняння?

а ϵ (1; +∞);

8) f(х) = -2f(-х) + 1 = -2 × 3^-9-x+1) + 1 = -2 × 3^x + 1. f(x) < 1.

Множина значень функції(-∞; 1).

16.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

17.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

18.

1)

2) 3^-21 > 4^-21;

3)

19.

1)

2)

3)

4)

5)

20.

1) log₂16 = log₂2⁴ = 4 × log₂2 = 4 × 1 = 4;

2) log₂ 1 = 0;

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

21.

22.

1)

2) 10^lg3 = 3;

3) e^ln5 = 5;

4)

5)

23.

1)

2)

3)

4)

24.

1)

2)

3)

4)

25.

1) x — ? log_x3 = 2,x² = 3, x > 0; О.Д.3.

2) x —? х = 5² = 25;

3) x —? х = 7;

4) x —?

26.

1) log₆ x = 3, x = 216;

2) log₂(5 — х) = 3, x = 5 - 2³ = 5 - 8 = -3, x = -3;

3) log₃(x + 2) = 3, x = -2 + 3³ = -2 + 27 = 25, x = 25;

4) х= 16,5.

27.

1) log₃ 2,7 + log₃10 = log₃ 2,7 × 10 = log₃ 27 = 3;

2)

3) log_а а⁵ = 5, якщо а > 0, а ≠ 1;

4)

5)

6) якщо а > 0, а ≠ 1.

28.

1) або

2)

3)

4)

5)

29.

1) lg 17 ≈ 1,23;

2) lg 127 ≈ 2,10;

3) ln 2,9 ≈ 1,06;

4) ln 0,72 ≈ -0,329;

5) log₃ 12 ≈ 3,402;

6) log₀₂₅ 6,2 ≈ -1,316.

30.

1) х — ? 2^x = 5, х= log₂ 5 ≈ 2,322;

2) х — ? 1,2^x = 4, x = log_1,2 4 ≈ 7,604;

3) х — ? 1 + е^0,25x = 5, е^0,2x = 4,

0,2x = ln 4, х = 5 ln 4 ≈ 6,931;

4) х — ? 2^3х-1 = 5, 3х - 1 = log ₂ 5;

3х = 1 + log₂ 5 = log₂ 2 + Іog₂5 = log₂10;

5) х — ?

6) х — ? 3^x2-2 = 2; x² -2 = Іоg₃ 2;

х² = 2 + log₃ 2 = log₃ 9 + log₃ 2 = Іоg₃18;

31.

1) х — ?

тоді

2)

х = 1,21, тоді

3)

32.

1) f(x) = 7 lg x + 10;

2) х = 0,01; f(0,01) = 7 × lg 0,01 + 10 = -7 × 2 + 10 = -14 + 10 = -4;

x = 1,2; f(1,2) = 7 lg 1,2 + 10 ≈ 10,55;

3) x —? 7 lgx + 10 = 3, 7 lg x = -7, lgx = -1, x = 0,1.

33.

v = 2,5 × (1 — 2,7^-1,5t)

1) t — ? 2,5 × (1 — 2,7^-1,5t) = 2,2;

-1,5t = log_2,7 0,12; t ≈ 1,42 c;

2) t — ? 0,95 × 2,5 = 2,5 × (1 — 2,7^-1,5t);

1 — 2,7^-1,5t = 0,95; 0,05 = 2,7^-1,5t;

-1,5t = log_2,70,05; t ≈ 2,01c,

34.

x — ? x = 152.

35.

X —? (1,08)^x = 2; x = 9.

36.

h — ?

37.

1) f(x) = log₃(x + 3), x + 3 > 0, x ϵ (-3; +∞);

2) f(x) = lg(x² + 1), x ϵ (-∞;+∞);

3) f(x) = log_0,2(1 — x²), x - x² > 0, x² < 1, |x| < 1, x ϵ (-1; 1);

4) f(x) = lg(2^x - 1), 2^x — 1 > 0, 2^x > 1, x > 0, x ϵ (0; +∞);

5) 0 < x < 1, x ϵ (0; 1];

6) f(x) = a^logx, x > 0, x ϵ (0;+ ∞)

7) f(x) = lg(lg x), lg x > 0, x > 0, x ϵ (1; +∞).

38.

1) log₅ 3 > 0;

2) log₃ 0,9 < 0;.

3) log_0,7 8 < 0;

4) log_0,3 0,6 > 0.

39.

1)

2)

3)

4)

40.

1) a = 2^-0,5; c = Iog_0,1 2; b = 0, c = Iog_0,1 2 < 0, c < b < a;

2) c = Iog₂5; b = -1, c = Iog₂ 5 > 2 ,b < a < c.

41.

1) log₅ x > log₅ 3, x > 3, x ϵ (3; +∞);

2)

3) Iog₃ x < Iog₃ 2, 0 < x < 2, x ϵ (0; 2);

4) x > 4, x ϵ [4; +∞);

5) Iog₉ х² > 1, x² > 9, |x| > 3, x ϵ (-∞; 3) (3; +∞);

6) x ≠ 0,

42.

1) x — ? 2^log2x = x, x > 0, x ∞ (-∞; 0) (0; +∞)

2) х — ? 10^lgx2 = x², x² = х²; x² ≠ 0, х ϵ (-∞; 0) (0; +∞);

3) x — ? Iog_x2 3 = 0,5 Iog_|x|3; 2Iog_x2 3 = Iog_|x|3; |х| ≠ 1, х ≠ 0.

x ϵ (-∞; 1) (-1; 0) (0; 1) (1; +∞);

4) х — ? x > 0, x ≠ 1. x ϵ (0; 1) (1; +∞).

43.

1) x ϵ [1; 4].

2) f(x) = Iog₃x,

f(х) _найб. =Iog₃1 = 0;

44.

у = Iog₃ x

1) y = Iog₃x

y = 2log₃ x

2) y = Iog₃ х + 3

3) у = log₃ (х + 3), x > -3

4)

5) у = 1 + Iog₃(-x) x < 0

45.

у = lоg₂(х +1)

1) х + 1 > 0, x ϵ (-1, +∞) - область визначення: у ϵ (-∞·; +∞) — область значень;

2) x= 0, у = 0, A(0; 0);

3)

4) A(3; 2), графік функції проходить через т. А(3; 2), не проходить через

т.

5) Рівняння log₂(x + 1) = х - 1 має 2 розв’язки.

46.

1) х² + 2х — 1 = 0;

2) x² + 6 = 7x — 4; x² — 7x + 10 = 0; x₁ = 2; x₂ = 5;

3)

47.

1) х —? 2х - 3 < 0;

2) x —? 3х² — 2х — 1 < 0;(3х + 1)(х - 1) < 0;

3) х — ?

4) |1 + 2x| > 1; x ϵ (~∞; -1) (0; +∞).

48.

1) Областю визначення функції є такі значення х, що

x > -1, x ϵ (-1; +∞);

2) Областю визначення функції є такі значення х, що

x ϵ (-∞; 0] (2; +∞);

3) Областю визначення функції є такі значення х, що

(-x² + 3х — 2) ≥ 0; -(х² — 3х + 2) ≥ 0; х² — 3х + 2 ≤ 0; (х - 1) × (х — 2) ≤ 0; 1 ≤ х <≤ 2.

49.

1) x —? 4^x-3x-4 =1; x² — 3х — 4 = 0; (x + 1)(x - 4) = 0; x₁ = -1, х₂ = 4;

2) x — ? 64^x = 4^x+2; (4³)^x= 4^x+2; 4^3x =4^x+2; 3x = x² + 2; x² — 3x + 2 = 0;x₁ = 2,x₂ = 1;

3) x — ? x² - 3x - 3 = 1; x² — 3x — 4 = 0; x₁ = -1, x₂ = 4;

4) 4^x-x+1 = 8^x. (2²)^x-x+1 = (2³)^x; 2х² — 2х + 2 = 3х; 2х² — 5x +2 = 0; x₂ = 2;

5) 2^x+1 × 5^x = 200; 2^x+1 × 5^x = 25 × 8; 2^x+1 × 5 = 5² × 2³| : 5² × 2³; 2^x+1-3 × 5^x-2 = 1;

2^x-2 × 5^x-2= 1; (10)^x-2 = 1; x — 2 = 0, x = 2;

6) x = 2.

50.

1) x— ? 3^x = 2^x; x = 0;

2) x — ? 5 ^-2x = 4^-x; (5²)^-x = 4^-x | : 4^-x; x = 0;

3) x —? 3^-x+4 — 25 × 5^2-x = 0; 3^-x+4 - 5^2+2-x = 0; 3^4-x -5^4-x = 0; х = 4.

4) x — ? 81× 8^x-3 — 9^x-1 = 0; x — 3 = 0, x = 3.

51.

x —?

1) 2^2x — 2^x -12 = 0, 3аміна 2^x = t > 0;t² - t -12 = 0; не підх. t = 4, 2^x = 4, x = 2;

2) 16^x — 4^x — 2 = 0, 4^x = t, t > 0; t² — t — 2 = 0; не підх. 4^x = 2, 2^x = 2, 2х = 1,

3) 3^x + 3^1-x = 4; (3^x)² — 4 × 3^x + 3 = 0; 3^x = t, t > 0, t² — 4t + 3 = 0

x₁ = 0; x₂ = 1;

4) 3^2x+1 +10 × 3^x +3 = 0; 3(3^x)² +10 × 3^x + 3 = 0, 3^x = t, t > 0; 3t² + 10t + 3 ≠ 0, оскільки t > 0. Розв’язків не iснує.

5) 2 × 9^x - 5 × 6 ^x - 3 × 4 ^x = 0| : 6 ^x;

t > 0; 2t ² — 5t — 3 = 0; t₁ = 3, не підх.

52.

1) х — ?; 5 ^x+1 -5 ^x-1 =24;

2) x —? 2^3x × 3 ^x — 2^3x-1 × 3^x+1 + 288 = 0;

(8 × 3) ^x = 576; 24 ^x = 24²; х = 2;

3) x — ?

9 ^x = ^9-2; x =-2.

53.

1) x — ?

Відповідь: 1. Найменший корінь

2) x — ?

не підходить. Найменший корінь х = -1.

54.

1) x — ?; 0 = 3 ^x-1 - 6^х × 2^-х × 3 ^x+1;

3^x — 3^2x+2 = 0; 3 ^x = 3^2x × 3²; 3^x = 3^2x+2;

x = 2^x + 2, x = -2. A(-2; 0);

2) x —?

k ϵ Z.

3) x — ? 0 = 2^x + 2^x-1 + 2^x-2 — 3 ^x + 3^x+1 - 3 ^{x- 2};

х = 2. А(2 ;0).

55.

1) (x, у) — ? 3^x-1 ×2^3x-7 = 12^9-x;

3 ^x × 2^{3 x} = (2² × 3)⁹ × (2² × 3)^{- x} × 3 × 2⁷;

3^2x × 2^5x = 3¹⁰ × 2²⁵; (9 × 2⁵) ^x = (9 × 2⁵)⁵ → x = 5,

у = 12⁴. А(5; 20736);

2) (x, у) — ? 9 ^x+1 + 9^2x-1 = 54 × 27 ^{x -1};

81 + 9 ^x = 2 × 3 ^x × 9;

9 ^x — 18 × 3 ^x + 81 = 0; 3 ^x = t, t > 0;

t² - 18t + 81 = 0; (t - 9)² = 0; t = 9, 3 ^x = 3²

x = 2, y = 54 × 27 = 1458; А(2; 1458);

3) (x, у) — ? у = 3 × 4^x + 2 × 9^x i y = 5 × 6^x.

x — ? 3 × 4 ^x + 2 × 9 ^x = 5 × 6^x;

t > 0;

2t² — 5tί + 3 = 0; t₁ = 1,

x₁ = 0; X₂ =1. А(0; 5),B(1; 30);

4) (x, у) — ? у = 4x і у = 24 - 2 ^{x + 1}

x — ? 4 ^x = 24 — 2 ^{x +1}; 2^{2 x} + 2 ^x × 2 - 24 = 0, 2 ^x = t, t > 0;

t² + 2t — 24 = 0; t₁ = 4, t₂ = -6 не підходить.

2 ^x = 4, 2 ^x = 2², x = 2, у = 4² = 16; А(2; 16).

56.

1) x — ? 2^3-6x > 1; 3 — 6x > 0 | : 3; 1 — 2x > 0;

2)

(x — 2) (x — 1) < 0; 1 < x< 2, x ϵ (1; 2)

3) x —?

(x + 1) — цілі значення і (х + 1) > 0.

немає розв’язків;

4) 3^x > 2, x > log₃ 2, x ϵ (Iog₃ 2;+ ∞);

5) x — ?

x² — 6x — 2,5 > 4,5;

x² — 6x — 7 > 0; (x + 1)(х — 7) > 0; x ϵ (-∞; -1) (7; + ∞),

57.

1) x — ? 5^{2 x +1} > 5 ^x + 4; 5^2x × 5 - 5 ^x - 4 > 0; 5 ^x = t, t > 0;

5t² — t — 4 > 0; (t —1)(5t + 4) > 0; t > 0, t > 1, 5^x > 1, x > 0. x ϵ (0; ∞);

2) x — ?

2^х = t, t> 0;

3) x — ? 2^2х+2 + 6^x — 2 × 3^{2x+ 2} > 0;

2^2x × 4 + 2^x × 3^x — 2 × 3^2x × 9 > 0 : (2^x × 3^x);

t > 0

t — ? 18t² — t — 4=0.

t — ?

x < Iog₁₅ 0,5; або x ϵ ( -∞; Iog_l,5 0,5).

4) x — ? 3^{x+ 1} — 5 × 2^x ≤ 2^x+2 — 3^x; 3^x × 3 + 3× ≤ 2^x × 2² + 5 × 2^х; 3^{x x} 4 ≤ 2^x × 9 |: 9, : 4

x - 2 ≤ 0, x ≤ 2, x ϵ (-∞; 2].

58.

1) (x, у) — ?

3аміна 2^х = t, 3^y = z, t > 0, z > 0.

2^2x = t², 3^2у = z². в квадрат

Відповідь: (log₂3; Iog₃ 4), (2; 1).

2) (х, у) — ?

(Iog₅ 36 + Iog₅ у) × Iog₅ 6 = 2+ Iog₅ у;

(Iog₅ 6²) × log₅ 6 + (log₅ 6) × Iog₅ у — 2 — Iog₅ у = 0;

(2 Iog₅ 6 — 2) + Iog₅ у × (Iog₅ 6 — 1) = 0;

2 × (Iog₅ 6 — 1) — (Iog₅ 6 + 1) + Iog₅ у × (Iog₅ 6 — 1) = 0;

Поділимо рівняння на число (log₅ 6 — 1) ≠ 0.

Маємо 2 × (Iog₅ 6 + 1) + log₅ у = 0;

Iog₅ у = -2 × (Iog₅ 6 + Iog₅ 5);

log₅ у = -2 × Iog₅ 30 = Iog₅ 30^-2 = log₅ 900^-1;

x — ? 5^x = 5^-2, xχ = -2.

3) (х,у) —?

(2^x)² — 12 × 2^x + 32^x = 0;

y₁ = 3, y₂ = 2(2; 3), (3; 2).

4) (х, у) — ? (5y)³ = 10y;

59.

1) x =0; y = ?

y = 0, x — ?

3 = (3^x)²,

3 = 3^2x, 1 = 2х, В(0,5; 0),

2) х — ?

3 - (3^x)²= -2 × 3^x;

3) х —?

3 — (3^x)² < -2 × 3^x; (3^x)² — 2 × 3^x - 3 > 0;

(3^x + 1) × (3^x — 3) > 0; 3^x — 3 > 0, 3^x > 3^x, x >1, х ϵ (1;+ ∞).

4) х — ?

1 ≥ 2х, x ϵ (-∞; 0,5).

60.

500 = 100 × e^k-12, 5 = е^12k, е^{12k т}= 5.

100 × е^48k = 100 × (e^12k)⁴ = 100 × 5⁴ = 100 × 625 = 62500.

62.

1) х — ?

2х² + 3х + 1 = 1; x₁ = 0,

2) x— ? Iog₂ (х - 7) = Iog₂ (4 - х);

немає розв’язків.

3) x —?

x = 3², x = 9.

4) x —? log₂(x — 2) = log₂(x² — x — 17);

x ² — 2x -15 = 0, x₁ = -3, не підходить. x₂ = 5; x = 5.

5) x —? Iog_5-x (x² — 2x + 65) = 2;

25 —10х + х² = х² — 2х + 65;

x = -5.

63.

1) x —? Iog₃ (х + 1) + Iog₃ (x+ 3) = 1.

x = 0.

2) x —? Ig² x = 4 — 3 Ig х.

Ig x = t, t² + 3t — 4 = 0;

x₁=10, x₂ = 10^-4.

3) x —? 6log_x 2 — 6log₄x + 7 = 0;

Iog₂ x = t, 3t² — 7t — 6 = 0.

x₁ = 8;

4) x —?

4 = 3 + 2 Ig x — Ig² x; Ig² x - 2 Ig x + 1= 0; (lg x -1)² = 0; Ig x = 1, x = 10.

64.

1) x —? 100^lg(x+20> = 1000.

2) x —? 5^4lgx = 62,5x;

Ig x × (lg 5⁴ — Ig 10) = Ig 62,5;

Ig x = 1, x = 10.

3) x—? х^lgx+2=1000.

x₁= 10, x₂= 10³.

4) x —?

(Igx² — 3) × Igx = 2; (2lgx — 3)lgx — 2 = 0;

2 Ig² x — 3 lgx — 2 = 0; Igx = t, 2t² — 3t - 2 = 0;

t₁ = 2,

x₁ = 100,

65.

1)

2lg²x — lgx —1= 0;

Найменший корінь

2) x — ?

9 × 2^х - (2x)² = 8; (2^x)² - 9 × 2^x + 8 = 0;

Маємо Найменший корінь

66.

1) y = x(1 — Ig 5), у = lg(4^x - 12);

x — ? y₁ = y₂

x × Ig 2 = lg(4^x — 12); lg(2^x) = lg(4^x - 12); 2^х = 4 ^x = 12; 4^х — 2^х — 12 = 0; 2 ^x = t, t > 0;

t² — t — 12 = 0; it₁ = 4, t₂ = -3 — не підходить; 2 ^x = 4; 2 ^x = 2²; x = 2.

x = 2; y = 2 Ig 2 = Ig 2² = Ig 4. А(2; Ig 4).

2) y₂ = 6 — Iog₂(x + 1)²;

x — ? y₁ = y₂; y₁ = Iog₂ |x + 1|; y₂ = 6 - 2 Iog₂ |х + 1|; x ≠ -1;

Iog₂ |x + 1| = 6 - 2 log₂ |х + 1|; 3 log₂ |x + 1| = 6; log₂ |x + 1| = 2; |x + 1| = 4;

А(3; 2), В(-5; 2).

3) x — ? y₁ = y₂; y₁ = lg(35 - x³), y₂ = 3 lg(5 - x);

lg(35 - x³) = 3 lg(5 - x);

35 — x³ = 5³ — 3 × 5² × x + 3 × 5 × x² — x³; 15x² — 75x + 125 — 35 = 0 | :5;

3x² — 15x + 18 = 0;

x₁ = 3,... y₁ = 3 Ig 2; x₂ = 2, y₂ = 3 Ig 3. А(3;· 3 Ig 2), 5(2; 3 Ig 3).

4) x — ? y= 4 - Ig x і перетинаються?

t² + 3t - 4 = 0;

Igx = 1, x =10, y = 3. А(10; 3).

67.

1) log₂x = -x + 1.

y₁ = log₂ x

y₂ = -x + 1

А(1; 0)

2) x — ?

y ₂ = 4 x ²;

68.

1) х — ? log₅(3x — 1)< 1; 1 < 3х < 6;

2) x — ? Iog(x² — 2х) — 3 > 0;

x є (-∞; -2) (4; +∞).

3) x - ? (Iog₂ x)² ≤ 4; x > 0; |log₂ х| ≤ 2;

4) x — ?

Iog₂(x - 2) = t;

x ϵ (2; 3) [6; +∞).

69.

1) x — ? lg(x² - 3) > lg(a + 3);

x ϵ (-3; -2) u (3; +∞),

2) x — ? lg²x — 2lgx — 8 ≤ 0, x > 0; lgx = t; t² — 2t — 8 ≤ 0; t₁ = 4, t₂ = -2; (t — 4)(t + 2) ≤ 0;

-2 ≤ t ≤ 4; -2 ≤ Ig x ≤ 4; 10^-2 ≤ x ≤ 10⁴;

3) x — ?

x — ? 3x² + 10x + 3 = 0; a = -3,

4) x — ? -log₉(x² — 3a + 1) > 0;

log₉(x² — 2 + 1) < 0; 0 < x² — 3x + 1 < 1;

x² — 3x + 1 = 0;

70.

1) (x × y) — ?

Ig x = 6, x = 10⁶; lgy = -1; у = 10^-1. A(10⁶; 10^-1).

2) (x,y) — ?

90у = 900; у = 10; х = 1000; А(1000; 10).

3) (x,y) — ?

(4 - Ig х) × Ig x = 3; Ig² x — 4 Ig х + 3 = 0;

y₁ = 10³ — 1000; у₂ = 10. А(10; 1000), В(1000; 10).

4) Iog₃ x = t, Iog₃y = 2;

(3; 3),

71.

f(x) = log₃x + 3log₃x, x > 0

1) x — ? 0 = Iog_зx +3Iog₃x₁, x > 0; Iog₃х × (Iog₃х + 3) = 0;

A(1; 0),

Графік функції не перетинається з віссю Oy.

2) x — ? f(x) = -2;

log₃ x = t; t³ + 3t + 2 = 0; t₁ = -1; t₂ = -2;

3) x — ? f(x) < 2;

t² + 3t + 2 < 0; (t + 1)(t + 2) < 0; -2 < t <-1; -2 < log₃х < -1;

4) x — ? f(x) > 0;

Iog₃ x × (Iog₃ x + 3) ≥ 0; t × (t + 3) ≥ 0;

72.

m — ?

73.

p — ?