Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

625. Геометричним місцем центрів кіл радіуса R, що проходить через дану точку А, є коло із центром в точці А і радіусом R.

626.

Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до сторін даного нерозгорнутого кута, є бісектриса даного кута без його вершини О. ОК — бісектриса.

627.

Геометричним місцем точок С, які є вершинами трикутників з основою AB і заданою висотою h, є дві прямі паралельні AB і віддалені від неї на h. а || AB; b || аb; СК ⊥ АВ, СК = h.

628.

AB — пряма. CD = l; C₁D = l. CD ⊥ AB. C₁D ⊥ AB. Ці точки C і C₁ лежать на серединному перпендикулярі до відрізка AB на відстанях l від нього.

629. 1)

ВА = СВ; ВК — бісектриса кута, АС ⊥ ВK. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута і серединного перпендикуляра до відрізка АС.

2)

ВА ≠ СВ. Шукана точка D лежить на перетині бісектриси кута В (ВК) і серединному перпендикулярі до відрізка АС (l ⊥ АС).

630. 1) прямий кут K;

2) на одній стороні відкладемо відрізок AK = h_а;

3) проведемо частину кола із центром у точці А і радіусом AB = b;

4) від точки В відкладемо відрізок ВС = а, сполучимо точки А і С. ∆ABC — шуканий. AB = b; ВС = а; AK ⊥ ВС; AK = h_a.

631. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, паралельних даній прямій, є діаметр кола, перпендикулярний до даної прямої, без кінців цього діаметра.

632. Геометричне місце середин усіх хорд даного кола, що мають задану довжину, є коло, що дотикається до даних хорд із центром, який збігається з центром даного кола.

633. Геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола з центром О в даній точці А, є пряма ОА без точок О і А.

634.

Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих, що перетинаються, є бісектриси всіх нерозгорнутих кутів, утворених даними прямими; а i b перетинаються в точці О.

635.

Дано дві прямі а і b, що перетинаються, і точка А, яка належить прямій а. О — точка перетину прямих, побудуємо бісектрису кута О. ОР — бісектриса. Із точки А проведемо перпендикуляр AD до перетину з бісектрисою ОР. Побудуємо коло із центром в точці D і радіусом AD. Це коло дотикається до кожної з двох прямих, причому до прямої а в заданій точці А.

636.

Із точки А проведемо перпендикуляр до прямої а. AM ⊥ а. Поділимо AM навпіл. ОА = ОМ. Проведемо коло із центром у точці 0 і радіусом ОА. Коло проходить через дану точку і дотикається до даної прямої.

638. Побудуємо ∆АОВ, в якому AB — дана сторона, а відрізки АО і ВО становлять 2/3 даних медіан. На променях АО і ВО відкладемо відрізки AM і BN, що дорівнюють даним медіанам. Ці медіани перетинаються в точці С.

∆АВС — шуканий. Це трикутник, побудований за стороною та двома медіанами, проведеними до них.

2)

Побудуємо AB — відрізок. Поділимо відрізок AB навпіл. АО = OB. Побудуємо півколо з радіусом ОА і центром О. Із точки А радіусом, що дорівнює одній із висот, проводимо дугу, що перетинає коло в точці О. Із точки В радіусом, що дорівнює другій висоті, проводимо дугу, що перетинає коло в точці Е.

∠АЕВ = 90°; ∠ADB = 90° — кути, що спираються на діаметр. Продовжимо AD і BE до перетину в точці С. ∆ABC — шуканий. Це трикутник побудований за двома висотами та стороною.

639.

Проведемо пряму а, візьмемо на ній точку Н, через цю точку проведемо пряму. HC ⊥ а і відкладемо на ній відрізок НС, що дорівнює висоті трикутника. Із точки С радіусом, що дорівнює медіані трикутника, проведемо дугу кола і знайдемо точку перетину з прямою а. М — точка перетину, CM — медіана. Відкладемо відрізки рівної довжини МА = MB, AB — сторона трикутника до якої проведено медіану і висоту.

∆АВС — шуканий. При побудові можна отримати чотири рівних трикутники.

637.

∠(ab), вершина його недоступна. Побудуємо бісектрису цього кута. Візьмемо на прямій а точку К, проведемо пряму, перпендикулярну а, через цю точку, візьмемо на прямій точку М, проведемо пряму, перпендикулярну b через цю точку. На цих прямих відкладемо рівні відрізки KP = MN, проведемо прямі, паралельні прямим а і b, через точки Р і N; а₁ || а; b₁ || b, знайдемо точку їхнього перетину О. Побудуємо бісектрису кута О — пряму l. Ця пряма l буде бісектрисою кута, вершина якого недоступна.

640.

Коло дотикається до катетів MN і МР в точках А і В відповідно, а центр О лежить на гіпотенузі NP. ОА ⊥ MN, OB ⊥ МР (радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної).

∠NMP = 90°; АО || MB; OB — січна; ∠MBO ≠ ∠AOB = 180°; внутрішні односторонні кути. ∠AOB = 180° - ∠МВО = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 90°.

641.

Нехай вершини А і В ∆ABC лежать на колі із центром у точці О. О лежить на стороні АС. ВК — дотична до кола, проведена через точку В.

∠BAO = 45°; ∆АОВ — рівнобедрений.

∠ОВА = 45°; (AО = ОВ = R) ∠ОВК = 90°; OB —радіус, проведений в точку дотику. ОВ ⊥ ВК.

∠ABK = ∠ОВК - ∠ОВА = 90° - 45° - 45°;

∠АВК = ∠ОАВ — це внутрішні різносторонні кути при прямих АО і ВК і січній AB, отже AС || ВК.

642. а) коло вписане в трикутник;

б) коло описане навколо трикутника;

в) коло описане навколо трикутника;

г) коло вписане в трикутник.

643.

а) ОА = ОB; б) ні; в) так.

644. а) ні; б) так; в) ні.

645. Ці кола можуть мати спільні радіуси і спільний центр, якщо трикутник рівносторонній.

646.

Ці перпендикуляри ділять сторони трикутника навпіл.

647.

Промені AO, BO, СО ділять кути трикутника навпіл.

648.

Навколо рівнобедреного ∆ABC описане коло із центром О. AB = ВС;

а) ∆АОВ = ∆СОВ. 1) ВО — спільна сторона; AB = ВС; АО = ОС — радіус кола. З рівності трикутників маємо: ∠AOB = ∠COB.

б) ∠ABC = 40°, ∠AB - ∠CBO = 40° : 2 = 20°; ∆АОВ — рівнобедрений: ∠BAO = ∠ABO = 20°; ∠AOB = 180° - (20° + 20°) = 180° - 40°= 140°; ∠BOC = ∠AOB = 140°; ∠AOC = 360° = 140° -140° = 360° - 280° = 80°. ∠AOC = 80°.

Відповідь: 80°.

649.

∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, у нього вписано коло із центром О.

а) ∆ABC — рівнобедрений, ∠A = ∠C; ОС і АО — бісектриси кутів ∠C і ∠A, ∠OAC = ∠OCA, тому ∆АОС — рівнобедрений АО = ОС;

б) ∠AOC = 100°; ∠OAC = ∠OCA = (180° - 100°) : 2 = 40°; ∠A = ∠C = 80°; ∆АВС; ∠ABC = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - (80° + 80°) = 180° - 160° = 20°.

Відповідь: 20°.

652.

О — центр кола, описаного навколо ∆АВС. OD — відстань від точки О до сторони AB. AD = 9 см; AB — хорда, OD — відрізок, що належить діаметру і перпендикулярний до хорди, діаметр перпендикулярний до хорди ділить цю хорду навпіл.

AD = DB = 9 см; AB = 18 CM.

Відповідь: 18 см.

653.

Точка О — центр кола, вписаного в ∆АВС. ∠BAC = 100°; АО і ВО — бісектриси кутів трикутника; ∠BAO = ∠OAC;

∠BAO = 1/2∠BAC = 100° : 2 = 50°.

Відповідь: 50°.

654.

О — центр описаного кола навколо ∆АВС. ОА = 8 см; ∠AOB = 60°; О А - OB = 8 см; (радіуси кола).

∆АОВ — рівнобедрений, ОК — висота, медіана і бісектриса. ∠KOB = ∠KOA = 30°. ∆ОВК —прямокутний, ВК — катет, що лежить проти кута 30°, ВK = 1/2OВ = 1/2 ∙ 8 = 4 см; АВ = 8 см.

Відповідь: AB = 8 см.

655.

У трикутнику ABC бісектриси кутів А і С перетинаються в точці О, отже, О — центр вписаного кола. ∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, OB — бісектриса. ∠ABC = 70°. ∠BAC = ∠BCA = (180° - 70°) : 2 = 110° : 2 = 55°.

Відповідь: 55°.

656.

1) Побудуємо відрізок AB = а, на одній із сторін трикутника;

2) Проведемо серединний перпендикуляр до AB;

3) Проведемо кола радіуса R із центром у точці А; AO = R, О — центр кола, описаного навколо ∠ABC, проведемо коло з центром в т. О і радіусом ОА = R.

Із центра А проведемо дугу кола радіуса АС = b, b — друга сторона трикутника, знаходимо третю вершину трикутника. ∆ABC — трикутник, побудований за двома сторонами і радіусом описаного кола.

657.

1) Побудуємо відрізок AB і серединний перпендикуляр до нього;

2) Із точок А і В як із центрів побудуємо дуги радіуса R. АО = OB = R, О — центр кола, описаного навколо ДABC;

3) Проведемо коло (О; R);

4) С — точка перетину кола і серединного перпендикуляра до сторони AB (третя вершина ∆АВС). З’єднаємо точки А і С, В і С. ∆АВС — шуканий.

Побудували рівнобедрений ∆АВС за основою AB і радіусом описаного кола R.

658.

AF = 5 CM; BD = 6 CM; BD = BE 6 CM; AD = AF = 5 CM; CE = CF = 5 CM.

Відрізки рівні за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки.

AB = ВС = 6 + 5 = 11 (см);

АС = 5 + 5 = 10 (см).

Р_∆ABC = AB + ВС + АС = 11 + 11 + 10 = 32 (см).

Відповідь: 32 см.

659.

∆АВС — рівнобедрений, вписане коло дотикається сторін у точках М, N, Р. Бічна сторона ділиться точкою перетину на відрізки NC і BN. ВС = 8 см; АС = 8 см. ВР = BN = 3 см; АР = АМ = 3 см; AB= 6 см. P_∆ABC = BC + АС + AB = 8 + 8 + 6 = 22 (см).

Відповідь: 22 см.

660.

Проведемо відрізок AB, що дорівнює стороні. Центр описаного кола лежить на серединному перпендикулярі до сторони AB. Проведемо серединний перпендикуляр до AB. Знайдемо центр кола, описаного навколо ∆ABC. Для цього із точки А проведемо дугу радіуса R. Знайдемо точку перетину радіуса із серединним перпендикуляром до сторони AB. На відстані h від AB проведемо паралельну пряму l; l || AB, PK = h. Ця пряма перетинає коло в точках С або С₁.

∆ABC або ∆АВС₁ — шукані.

∆АВС = ∆АВС₁

661.

1) Побудуємо прямий кут;

2) на одній із сторін відкладемо АН = h. Із точки А радіусом AM = m проводимо дугу. AM — медіана, АН — висота;

3) через точку М проводимо серединний перпендикуляр МР. На ньому лежить центр описаного кола. Із вершини А радіусом AO = R знаходимо т. О — центр кола. OB = ОС = ОА = R. ∆АВС — шуканий трикутник.

662.

Точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону рівнобедреного ∆ABC у відношенні AM : MB = 3 : 4. AM = АР = 3х; PC = NC = 3х; MB = NB = 4x; AB = BC = 7x; АС = 6x.

Рівняння: 7x + 7x + 6x = 220; 20x = 220; x = 11. AB = BC = 7 x 11 = 77 см; AC =3 x 11 = 33 CM.

б)

AM : MB = 4 : 3; AM = АР = 4х; NC = PC = 4х; MB = AB = 3х. Відрізки рівні за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки.

АС = 8х; AB = ВС = 7х. Рівняння: 8х + 7х + 7х = 220; 22х = 220; х = 10. AB = ВС = 70 (см), АС = 80 (см).

Відповідь: 11 см; 77 см; 33 см або 70 см; 70 см; 80 см.

663. а)

∆ABC, у трикутника вписано коло. FC = CF; DB = BE; AD = AF, за властивістю дотичних до кола, проведених з однієї точки поза колом.

FC = АС - AF; BD = AB - AD; ВС = EC + BE = FC + BD = AC - AF + AB - AD = AC + AB - 2AD; BC = AC + AB - 2AD; 2AD = AC + AB - BC; що і треба довести;

б)

∆ABC — прямокутний; ∠C = 90°; а і b — катети; С — гіпотенуза; r — радіус вписаного кола; AB = с; BN = BP = b - r; AN = АМ = b - r; СР = r; АС = с або АС = b — r + а - r; с = b — r + а - r; с = b+ а — 2r; 2r = а + b — с; що і треба довести.

664.

∆ABC — прямокутний. Центр описаного кола — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін ∆ABC. ON ⊥ АС; ON || ВС; CN = NA, за теоремою Фалеса, О — середина гіпотенузи.

Аналогічно ОМ ⊥ ВС, ОМ — середня лінія. ОМ || АС, О — середина AB.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4

1.

Через точку А кола із центром О проведено хорду AB і діаметр АС. АО = ОС; ∠BOC = 70°; ∠BOC — зовнішній кут ∆АОВ. ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA. ∆АОВ — рівнобедрений, AO = OB = R; ∠A = ∠B = 70° : 2 = 35°.

Відповідь: ∠CAB = 35°.

2. СА і CB — дотичні до кола із центром у точці О. ∆АОС = ∆ВОС. ∠OAC = ∠OBC = 90°; ОА ⊥ АС; OB ⊥ ВС, проведені в точку дотику радіуси перпендикулярні до дотичної . ОА = OB — радіуси; ОС — спільна сторона. ∆АОВ = ∆ВОС. Отже, ∠AOC = ∠BOC, ОС — бісектриса ∠AOB.

3. a)

OA = 32 CM; AB = 12 CM; OB — відстань між центрами. OB = OA + AB = 32 CM + 12 CM = 44 CM;

б)

OA = 32 CM; BA = 12 CM;

OB = OA - BA = 32 - 12 CM = 20 CM.

Відповідь: 44 см або 20 CM.

4.

∆ABC — рівносторонній. AB = BC = АС. M, N, P — точки дотику вписаного кола. Нехай сторона трикутника а. Тоді периметр трикутника За. АР < Р_∆АВС на 15 см.

АР = PC = CN = NB = MB = АМ = x;

P_∆ABC = 6x; x + 15 = 6x; 5х = 15; х = 3;

АС = ВС = АВ = 2х =2 x 3 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

5.

Проведемо пряму а, через точку M — проведемо пряму l перпендикулярно прямій а. Від точки М на прямій l відкладемо відрізок МА, що дорівнює заданій бісектрисі. Центр описаного кола лежить на бісектрисі AM. Шуканий трикутник рівнобедрений. Знайдемо центр описаного кола. Від точки А відкладемо відрізок AO = R, O — центр кола. Проведемо коло з центром в точці О і радіусом ОА. З’єднаємо А і В; А і С. ∆ABC — шуканий.

6.

AB ⊥ CD; BK = CK = 4 см;

AB = CD; AK = KD = 16 см.

Проведемо діаметр MN LAB. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.

AN = NB = 10 см; (AB = AK + KB = 4 + 16 = 20 (CM). NK = NB - KB = 10 - 4 = 6 (CM). NK — радіус кола; NK = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

665.

а || b, а дотикається кола в точці А, b дотикається кола в точці В. Відстань між цими прямими — AB; OA ⊥ a; OB ⊥ b; AB = 2R.

Відповідь: 2R.

666.

AB — діаметр кола; АС і BD — хорди. АС || ВD; CD — січна; ∠ACO = ∠BDO — внутрішні різносторонні кути. ∠CAO = ∠OBD; ∠AOC = ∠DOB; вертикальні кути, АО = OB — радіуси кола; СО = ОD — радіуси кола. CD — діаметр кола.

667. Якщо АВ < 6 см — дві точки, якщо AB = 6 см — одна точка, якщо AB > 6 см — жодної точки.

668.

Пряма перетинає концентричні кола.

AB = CD; ОА = OD = R; OB = ОС = r; AB = OA - OB = R - r;

CD = OD - OC = R - r; ⇒ AB = CD.

669.

l || AB, C — точка дотику; ОС ⊥ l — радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить хорду навпіл (АК = KB; l || AB; ОС ⊥ l; OC ⊥AB. ∆АСК і ∆ВСК — прямокутні; ∆АСК = ∆ВСК за двома катетами; АС = ВС. ∆ABC рівнобедрений.

670.

∆FBO = ∆F₁B₁О₁ (за гіпотенузою OB = R і FB = Р₁B₁ = 1/2AB = 1/2А₁В₁). Із рівності трикутників ∠ABK = ∠A₁B₁K₁. ∠A = ∠B₁; ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за двома сторонами і кутом між ними (AB = A₁B₁ i BC= B₁C₁; ∠B = ∠B₁).

671.

1) ∆АВС = ∆A₁B₁C₁; ∠ACO = ∠A₁C₁O₁; ∠KAO = ∠K₁A₁O₁;

2) ∆АОС = ∆А₁O₁С₁; (AC = A₁C₁; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 => OC = O₁C₁;

3) ∆KOC = ∆K₁O₁С₁; (OC = O₁С₁; ∠K = ∠K₁ = 90°; ∠3 = ∠4). З їхньої рівності маємо: OK = O₁K₁.

672.

∆АВС — рівносторонній трикутник. Р_∆ABC = 3а; MN — дотична до кола, вписаного в ∆АВС. АС = а; АР = АЕ; КС = ЕС; АС + АР + КС = а + а = 2а.

Р_∆MBN = MB + BN + DN + MD (MDB = MP, DN = KN).

P_∆MBN = MB + BN + MN = a.

Відповідь: а.

673. Якщо на колі будують послідовно точки: першу довільно, а кожна наступна точка віддалена від попередньої на відстань, що дорівнює радіусу кола, то найбільша кількість різних точок, побудованих в такий спосіб, — шість точок.

674.

∆ABC — рівнобедрений, якщо центр кола, вписаного у трикутник, лежить на одній із його висот, CK ⊥ AB; АС = ВС; СК — бісектриса і висота.

∠A = ∠B = х, ∠C = 3х; х + х + 3х = 180°; 5х = 180°; х = 180° : 5; х = 36°; ∠A = ∠B = 36°; ∠C = 108°.

Відповідь: 36°; 36°; 108°.

Або

Відповідь:

675.

Центр О кола, описаного навколо ∆ABC, лежить на медіані ВМ. ∠AOB = 140°; ВМ — медіана і висота; ∠ABM = ∠CBM; ВМ — бісектриса. ∆АОВ — рівнобедрений. АО = ОB — радіус описаного кола.∠OAB = ∠OBA = (180° - 140°): 2 = 40° : 2 = 20°; ∠ABC = 40°; ∆ABC — рівнобедрений; AB = ВС. ∠A = ∠C = (180° - 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.

Відповідь: 70°; 70°; 40«.

676.

а) ∆ABC = ∆ADC; AB = AD; ВС = DC; АС — спільна сторона; ∆ABD — рівнобедрений; ∠BAO = ∠DAO, АО — бісектриса, медіана і висота; AO ⊥ BD; OB = OD. АО — серединний перпендикуляр до відрізка BD. АС — геометричне місце точок, рівновіддалених від точок В і D;

б) якщо кути ВАС і DAC не гострі, то промінь АС не є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута BAD.

677.

Точка, однаково віддалена від гіпотенузи і другого катета, лежить на бісектрисі кута А. Це точка D. DK = DC; DK ⊥ AB; DC ⊥ AC.

678.

∆ABC — рівнобедрений, AB = ВС, АС — основа; ∠A = ∠C = 70°; ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 70° - 70° = 180° - 140° = 40°.

∆BKM; ∠B = 40°, ∠K = 90°. Точка M лежить на серединному перпендикулярі МК до відрізка AB. Точка М рівновіддалена від кінців відрізка AB, MB = АМ. ∆АБМ — рівнобедрений; ∠ABM = ∠MAB = 40°; ∠MAC = ∠BAC - ∠BAM = 70° - 40° = 30°.

Відповідь: 30°.

679.

Точки D, Е, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами трикутника ABC. AE, BD, CF — бісектриси кутів трикутника ABC. Із точки А до кола проведені дві дотичні AF і AD, AF = AD; OF ⊥ AB; OD⊥ АС — радіуси проведені в точки дотику.

∆AFK = ∆ADK, AF = AD; АК — спільна сторона; ∠FAK = ∠DAK. З їх рівності FK = KD.

∆FOD — рівнобедрений OF = OD (радіуси кола), ОК — медіана, ОК — висота; OK ⊥ FD; FD ⊥ АО, аналогічно FE ⊥ OB; DE ⊥ CF.

680.

Два кола із центрами O₁ і O₂ перетинаються в точках А і В. О₁О₂ — відстань між центрами кіл. O₁О₂ — відрізок, що належить діаметрам кола.

ОА₁ = O₁B — радіуси кола із центром O₁. Точка О₁ рівновіддалена від кінців відрізка AB. АO₂ = ВО₁ — радіуси кола з центром O₂. Точка O₂ рівновіддалена від точок А і В.

Точки O₁ і O₂ рівновіддалені від кінців відрізка AB, отже, O₁O₂ — серединний перпендикуляр до відрізка AB. Тобто AB ⊥ O₁O₂, що і треба довести.

681.

Точка А лежить поза колом з центром О. Побудуємо коло з діаметром АО, В — середина АО є центром кола. Ці кола перетинаються в точках М і N, ці точки є точками дотику. АМ і AN — дотичні до кола; ОМ і ON — радіуси, проведені в точки дотику; ОМ ⊥ AM, ON ⊥ AN. ∠AMO і ∠ANO — кути, що спираються на діаметр АО прямі.

682.

У трикутник ABC вписано коло. AB = с; ВС = а; АС = b. Р, М, N — точки дотику кола до сторін ∆ABC. D — точка дотику дотичної KL.

Р_∆KBL = KB + KL + BL; BK = KD; DL = LM. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки. ВМ = РВ; MC = NC; PA =AN.

Отже, P_∆KBL = а + c - b.

Відповідь: a + c - b.