Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 13. Третя ознака рівності трикутників

529. Відповідні рівні елементи: сторони AB і ОМ, АС і MN, BC i ON. ∆АВС = ∆MON за третьою ознакою рівності трикутників.

530. Ні, трикутники не рівні.

531.

∆ABC = ∆DBC.

532. Мал. 300. ∆BOA = ∆COD, оскільки AO = DO, BA = CD, BO = СО.

Мал. 301. ∆АВС = ∆CDA, оскільки АВ = CD, AD = CB, AC — спільна сторона.

Мал. 302. ∆ABC = ∆ADC, оскільки AB = AD, ВС = DC, АС — спільна сторона.

533. Мал. 303. ∆АВЕ = ∆СВЕ, оскільки AB = СВ, АЕ = СЕ і BE — спільна сторона.

∆ADE = ∆CDE, оскільки AD = CD, AE = СЕ, DE — спільна сторона.

∆ADB = ∆CDB, оскільки AB = CD, AD = CD, BD — спільна сторона.

Мал. 304. ∆АВС = ∆ADC, оскільки AB = CD, ВС = DA, АС — спільна сторона.

∆ABD = ∆CDB, оскільки AB = CD, ВС = DA, BD — спільна сторона.

534. Нехай ∆АВС = ∆А₁В₁С_І, тоді АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁.

Р_∆ABC = АВ + АС + ВС = А₁В₁ + А₁С₁ + В₁С₁ = Р_∆A1B1C1.

535. ∆АВС = ∆EFD за трьома сторонами, тому ∠A = ∠E, ∠B = ∠F, ∠C = ∠D.

536.

537.

Нехай ∆АВС і ∆A₁В₁С₁ — рівносторонні (AB = ВС = АС і А₁В₁ = B₁C₁ = AjC,) і AB = A₁B₁, тоді ВС = B₁C₁, АС = A₁C₁. Отже, ∆АВС = ∆А₁B₁С₁ за третьою ознакою рівності трикутників.

538. 1) ∆ADC = ∆АВС за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки AD = AB (за умовою), DC = СВ — за умовою, АС — спільна сторона.

2) Із рівності цих трикутників випливає, що ∠DAC = ∠BAC, тобто АС — бісектриса кута BAD.

539. ∆ANC = ∆АМС за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки AN = CM (за умовою), AM = CN (за умовою), АС — спільна сторона. Із рівності трикутників випливає: ∠A = ∠C, отже, ∆АВС — рівнобедрений, тоді АВ = ВС.

540. Оскільки ∆ABC і ∆ABD — рівнобедрені з основою АС, то AB = BC, AD = DC.

1) ∆ABD = ∆CBD за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = ВС, AD = DC, BD — спільна сторона. Із рівності трикутників випливає, що ∠BAD = ∠BCD.

2) Із рівності трикутників ABD і CBD випливає, що ∠ADB = ∠CDB.

∆AOD = ∆COD за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AD = DC, DO — спільна сторона, ∠ADO = ∠CDO (за доведеним). Із рівності трикутників маємо АО = ОС.

541. 1) ∆ACD = ∆DBA за трьома сторонами, оскільки AB = CD, АС = BD, AD — спільна сторона. Із рівності трикутників випливає, що ∠ABD = ∠DCA = 85°.

2) Із рівності трикутників ACD і DBA випливає також, що ∠BDA = ∠CAD, тоді ∆АОВ — рівнобедрений за ознакою рівнобедреного трикутника, отже, AO = OD.

542. 1) ∆АВС = ∆СDA за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = CD — за умовою, AD = ВС — за умовою, АС — спільна сторона. Із рівності трикутників маємо: ∠BAC = ∠ACD = 35°.

2) Із рівності трикутників ABC і CDA випливає, що ∠ABC = ∠CDA. Оскільки BE і DF — бісектриси, то ∠ABE = ∠CDF = ∠CBE = ∠ADF.

∆АВЕ = ∆CDF за другою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = CD (за умовою), ∠BAE = ∠CDF (за доведеним), ∠ABE = ∠CDF (за доведеним). Із рівності цих трикутників маємо: AE = CF = 3 см.

3) ∆ВСЕ = ∆DAF за першою ознакою рівності трикутників, оскільки: ВС = AD (за умовою): BE = DF (за доведеним), ∠CBE = ∠ADF (за доведеним).

543.

Нехай у трикутників ABC і А₁В₁С₁: AD і A₁D₁ — бісектриси, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ i AD = A₁D₁. Доведемо, що ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, ∆ABD = ∆A₁B₁D₁ — за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки за умовою задачі AB = А₁В₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁.

Із рівності трикутників маємо: ∠B = ∠B₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.

∠BAC = ∠B₁A₁C₁ оскільки АD і А₁D₁ — бісектриси рівних кутів. ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ — за другою ознакою рівності трикутників, оскільки АВ = А₁В₁, ∠B = ∠B₁, ∠A = ∠A₁.

544.

Нехай у трикутниках ABC і A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, АС = A₁C₁, BM = B₁M₁, BM, B₁M₁ — медіани. Доведемо, що ∆АВС = ∆А,В,С,.

∆АВМ = ∆А₁В₁M₁ — за трьома сторонами, оскільки AB = А₁В₁ (за умовою), ВМ = В₁M₁ (за умовою), AM = А₁M₁ (як половини рівних сторін).

Із рівності цих трикутників ∠A = ∠A₁. Тоді ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = A₁B₁, АС = А₁С₁, ∠A = ∠A₁.

545.

Нехай у трикутниках ABC і A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = А₁С₁, АМ, А₁М₁ — медіани (ВМ = МС, B₁M₁ = M₁C₁): AM = A₁M₁. Доведемо, що ∆АВС = ∆А₁В₁С₁. Виконаємо побудову: на променях AM i A₁M₁від точок М і М₁ відкладемо відрізки МК = AM, M₁K₁ = A₁M₁.

∆АВМ = ∆КСМ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AM = KM, ВМ = MC, ∠BMA = ∠CMK — як вертикальні кути.

Із рівності цих трикутників маємо КС = АВ.

∆A₁B₁M₁ = ∆K₁C₁M₁ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки A₁M₁ = K₁M₁, B₁M₁ = C₁M₁, ∠B₁M₁C = ∠C₁M₁K₁ — як вертикальні кути.

Із рівності цих трикутників маємо: K₁C₁ = A₁B₁.

∆АКС = ∆A₁K₁С₁ за трьома сторонами, оскільки АС = A₁C₁, AK = A₁K₁, KC = K₁C₁.

Із рівності цих трикутників маємо: ∠KAC = ∠K₁A₁C₁.

∆АМС = ∆А₁М₁C₁ запертою ознакою рівності трикутників, оскільки АМ = А₁М₁, АС = A₁C₁, ∠MAC = ∠M₁A₁C₁.

Із рівності цих трикутників маємо: MC = M₁C₁, тоді ВС = 2MC, 2B₁M₁ = 2M₁C₁, а значить, ВС = В₁С₁.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за трьома сторонами, оскільки AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ВС = B₁C₁.

546.

На промені AM від точки М відкладемо відрізок МК, що дорівнює AM.

∆АВМ = ∆КСМ за першою ознакою рівності трикутників, тоді AB = КС.

Запишемо нерівність трикутника для трикутника АКС: АК < АС + КС. Враховуючи, що АK = 2AM, КС = АВ, маємо: 2АМ < АС + АВ, тоді