Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 3. Кути та їх вимірювання

70. ∠PAS, ∠PAR, ∠SAR.

71. 1) ∠COD, ∠DOB, ∠DOA; 2) ∠COB, ∠COA; 3) ∠BOD, ∠BOC, ∠BOA; 4) ∠DOA, ∠COA.

72.

73.

74.

75.

BD — бісектриса кута ABC.

76.

77. 1) Чотири: ∠EAD, ∠EAC, ∠DAB, ∠CAB; 2) чотири: ∠CBA, ∠ABK, ∠NBK, ∠CBN; 3) вісім: ∠FCM, ∠MCB, ∠BCA, ∠ACF і чотири розгорнутих кути.

78. Так, у них спільна вершина, оскільки кути мають спільну сторону — промінь, отже початки променів співпадають.

79.

Ні, наприклад ∠KOM і ∠NOL мають спільну вершину О, проте сторони цих кутів не мають спільної сторони.

80.

Утворилися кути: ∠ABM, ∠ABN, ∠ABC, ∠MBN, ∠MBC, ∠NBC.

81. 1) ∠B < ∠A < ∠C; 2) ∠A = ∠B < ∠C; 3) ∠A = ∠B < ∠C.

82.

1) ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 23° + 47° = 70°

2) ∠AOC = ∠AOВ - ∠BOC = 82° - 41° = 41°

83.

∠MOF = ∠MON - ∠NOF= 180° - 25° = 155°.

84. Рівняння α = β + γ.

1) α = 90°; β = 2n°; γ = n°. 90 = 2n + n; 3n = 90; n = 30.

Отже, γ = 30°, β = 2 х 30° = 60°.

Отже, α = 100°, γ = 100° : 2 = 50°.

3) α = 120°; β = n°; γ = n° + 40°.

120 = n + n + 40; 120 = 2n + 40; 2n = 80; n = 40.

Отже, β = 40°, γ = 80°.

Отже, α = 180°, β = 60°.

Відповідь: 1) β = 60°, γ = 30°; 2) α = 100°, γ = 50°; 3) β = 40°, γ = 80°; 4) α = 180°, β = 60°.

85.

Якщо промінь ОС проходить між сторонами кута ЛОВ, то ∠АОВ = ∠AOC + ∠COB.

1) Оскільки 10° ≠ 45° + 35°, то промінь ОС не проходить між сторонами кута АОВ.

2) Оскільки 79° = 23° + 56°, то промінь ОС проходить між сторонами кута AОВ.

3) Оскільки 49° ≠ 92° + 43°, то промінь ОС не проходить між сторонами кута AОВ.

86.-

1) Від променя СА в один бік від нього можна відкласти тільки один кут даної градусної міри.

2) Від доповняльних променів у точці в один бік від них можна відкласти два кути даної градусної міри — по одному від кожного променя.

87.

1) Якщо ∠AOC = 36°, то ∠AОВ = 2∠АОС = 2 х 36° = 72°.

2) Якщо ∠АОВ = 174°, то

3) Якщо ∠ВОС = 65°, то ∠AОВ = 2 х ∠ВОС = 2 x 65° = 130°.

4) Якщо ∠AОВ = 82°, то

88.

Утворилося шість розгорнутих кутів: два кути KOL, два кути MON, два кути POR.

89.

∠АВС не може бути розгорнутим, тоді б точки A, В, С лежали на одній прямій.

1) Нехай ∠АОС = х°; тоді ∠ВОС = х° + 20°, і за властивістю вимірювання кутів маємо: ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС, 62 = х + х + 20; 2х = 42; х = 21. Отже, ∠АОС = 21°, ∠ВОС = 21° + 20° = 41°.

2) Нехай ∠ВОС = х°, тоді ∠АОС = х° + 60°. За властивістю вимірювання кутів маємо: ∠АОВ = ∠АОС + ∠ВОС, 80 = х + 50 + х; 2х = 30; х = 15. Отже, ∠ВОС = 15°, ∠АОС = 65°.

Відповідь: 1) 41°; 2) 15° і 65°.

91.

1) ∠COD = ∠AOB - (∠AOC + ∠BOD) = 180° - (60° + 70°) = 180° - 130° = 50°.

2) ∠AOC = ∠AOB - (∠COD + ∠BOD) = 180° - (41° + 69°) = 180° - 110° = 70°.

3) ∠BOD = ∠AOB — ∠AOD = 180° - 110° = 70°. ∠COD = ∠BOC - ∠BOD = 130° - 70° = 60°.

Відповідь: 1) 50°; 2) 70°; 3) 60°.

92.

1) ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 85° - 46° = 39°.

2) ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 85° - 31° = 54°.

3) ∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 46° - 31° = 15°.

Відповідь: 1) 39°; 2) 54°; 15°.

93. Дві інші сторони можуть утворювати кут або 90°, або 10°.

а)

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 40° + 50° = 90°;

б)

∠AOC = ∠COB - ∠AOB = 50° - 40° = 10°.

Відповідь: 90° або 10°.

94. а)

∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 45° + 60° = 105°;

б)

∠AOC = ∠BOC - ∠AOB = 60° - 45° = 15°.

Відповідь: 105° або 15°.

95.

∠EOF = ∠AOB - ∠AOE - ∠BOF =120° - 25° - 45° = 50°.

Відповідь: 50°.

96.

∠MON < 180°, OK — бісектриса, ∠MOK = 1/2∠MON < 90°.

1) Кут МОК не може бути прямим.

2) Кут МОК може бути гострим.

3) Кут МОК не може бути тупим.

97. 1) Мал. 61. Оскільки ∠AOC = ∠BOD, то ∠AOC - ∠BOC = ∠BOD - ∠BOC, тоді ∠AOB = ∠COD.

2) Мал. 62. Оскільки ∠AOC = ∠BOD, то ∠AOC + ∠BOC = ∠BOD + ∠BOC, тоді ∠AOB = ∠COD.

98. Оскільки ∠AOC = ∠BOC, TO OC — бісектриса кута AOВ і ∠AOD = ∠BOF — за умовою, тоді ∠AOC - ∠AOD = ∠BOC - ∠BOF або ∠COD = ∠FOC, тобто OC — бісектриса кута DOF.

99. Оскільки ∠DOB = ∠AOF і ∠DOC = ∠COF, тоді ∠DOC - ∠DOB = ∠COF - ∠AOF або ∠COB = ∠COA, тобто OC — бісектриса кута AOB.

100. 1)

∠AOD = ∠DOC = ∠COB = 90° : 3 = 30°.

∠BON = ∠COB : 2 = 30° : 2 = 15°, ∠CON = ∠BON= 15°, ∠AOM = ∠AOD : 2 = 30° : 2 = 15°, ∠MOD = ∠CON = 15°.

∠MON = ∠MOD + ∠DOC + ∠CON = 15° + 30° + 15° = 60°.

2)

∠AOD = ∠DOC = ∠COB = 180° : 3 = 60°.

∠AOM = ∠MOD = ∠CON = ∠NOB = 60° : 2 = 30°.

∠MON = ∠MOD + ∠DOC + ∠CON = 30° + 60° + 30° =120°.

Відповідь: 1) 60°; 2) 120°.

101.

∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 30° = 60°;

∠KOA = ∠AOB - ∠BOK = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 30° і 60°.

102.

∠KOD = ∠KON : 2 = 100° : 2 = 50°.

∠COK = ∠MOK : 2 = 46° : 2 = 23°.

∠COD = ∠COK + ∠KOD = 23° + 50° = 73°.

Відповідь: 73°.

103.

Нехай ∠NOK = x°, тоді ∠MOK = 5x°; x + 5x = 60; 6x = 60; x = 10.

Отже, ∠NOK = 10°, ∠MOK = 10° x 5 = 50°.

Відповідь: ∠NOK = 10°; ∠MOK = 50°.

104.

∠COD = ∠COB - ∠DOB = 55° - 33° = 22°.

∠AOC = ∠AOD - ∠COD = 80° - 22° = 58°.

105.

∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 120° - 80° = 40°.

∠DOC = ∠BOD - ∠BOC = 60° - 40° = 20°.

Відповідь: 20°.

106.

Якщо промені розбивають кут а на 2n рівні частини, то градусна міра кожної з них Бісектриси сусідніх кутів утворюють кут, який складається з двох половин кутів, поділених бісектрисами, тобто дорівнює одному куту. Отже, кут між бісектрисами сусідніх кутів

1) якщо α = 180°, кут дорівнює

2) якщо α = 90°, кут дорівнює

3) якщо α = 120°, кут дорівнює

4) якщо α = 60°, кут дорівнює

Відповідь: 1) 90° : n; 2) 45° : n; 3) 60° : n; 4) 30° : n.

107. Розглянемо різні випадки розміщення точок А, В, О на прямій.

1. Точка О лежить на прямій між точками А і В. У цьому випадку промінь OB проходить між сторонами кута COD, тоді: ∠COD = ∠СОВ + ∠DOB, ∠СОВ = ∠АОВ - ∠АОС; ∠СОВ = 180° - 120°; ∠СОВ = 60°. ∠DOB = ∠АОВ - ∠AOD; ∠DOB = 180° - 140°; ∠DOB = 40°. Тоді ∠COD = 60° + 40°; ∠COD = 100°.

2. Точка В лежить на прямій між точками А і О. Ні промінь ОА, ні промінь OB не проходять між сторонами ∠COD. ∠COD = 100° (розв’язання проведіть самостійно за аналогією до 1-го випадку).

3. Точка А лежить на прямій між точками О і B. Ні промінь ОА, ні промінь OB не проходять між сторонами ∠COD. ∠COD = 100° (дивись 1-й випадок).

Застосуйте на практиці

108.

Відповідь: 45°.

109.

1) До Києва і Одеси. 2) Або до Києва, або до Одеси.

110.

1) АС = 4,1 км. 2) AD = 6,6 км.

111. Один край аркуша паперу прикладають до сторони кута так, щоб вершина кута співпала з краєм аркуша і на аркуші відмічається точка, в якій друга сторона кута перетинає суміжну сторону. Аналогічну процедуру виконують з іншим кутом. Якщо відмічені точки не співпадають, то більшим кутом буде той кут, мітка від якого знаходиться вище.

112.

Кут між сусідніми цифрами циферблата дорівнює 180° : 6 = 30°. Оскільки хвилинна стрілка показує цифру 6, то годинна стрілка знаходиться між цифрами 2 і 3 або між цифрами 9 і 10. Отже, зараз 14 год 30 хв (або 2 год 30 хв) чи 21 год 30 хв (або 9 год 30 хв).

Тестові завдання

1. Б; 2. Г; 3. Б; 4. В; 5. Г.