Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» М. І. Бурда 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 7. Паралельні прямі

212. 1) На мал. 134 прямі с і d перетинаються. 2) на мал. 135 прямі p i q паралельні p i q.

213.

214.

215. 1) ∠1 і ∠2 — внутрішні односторонні кути. 2) ∠1 i ∠3 — внутрішні різносторонні кути. 3) ∠3 і ∠4 — внутрішні односторонні кути. 4) ∠2 і ∠4 — внутрішні різносторонні кути.

216.

1) Відрізку AB паралельні промені: MN і NM. 2) Променю MN паралельні відрізки: AB, АС, ВС.

217.

Пряму а не перетинає пряма b, пряму а перетинає пряма с. Через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній.

218.

219.

220.

∠1 = 180° - 36° = 144°. ∠2 = 180° - 46° = 134°. Внутрішні односторонні кути: 46° і 144°; 36° і 134°.

∠2 = 104° — як вертикальні кути; ∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 104° = 76° — як суміжні кути; ∠3 = 180° - 114° = 66° — як суміжні кути. Внутрішні односторонні кути: 104° і 66°; 76° і 114°.

221.

1) Якщо ∠4 = 50°, ∠6 = 45°, TO ∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 50°= 130°; ∠5 = 180° - ∠6 = 180° - 45° = 135°.

Отже, внутрішні односторонні кути дорівнюють: 50° і 135°; 45° і 130°.

2) ∠2 = ∠6 = 60°. Тоді ∠4 = ∠2 = 60°; ∠3 = 180° - ∠4 = 180° - 60° = 120°; ∠5 = 180° - 60° = 120°. Отже, внутрішні односторонні кути дорівнюють: 60° і 120°; 60° і 120°.

3) Якщо ∠3 = ∠5 = 110°, то ∠4 = ∠6 = 180° - 110° = 70°. Отже, внутрішні односторонні кути дорівнюють: 70° і 110°; 70° і 110°.

222. 1) АВ || DC; AD || ВС. 2) DN || CM; DN || BG; BK || DO. 3) AD || CG; DC || BK.

223.

Прямі a i c перетинаються згідно з наслідком аксіоми паралельних прямих.

224. 1)

∠2 = 43°, ∠1 = ∠3 = 180° - 43° = 137°. ∠5 = 127°, ∠4 = ∠6 = 180° - 127° = 53°.

2)

∠1 = 165°, ∠2 = ∠3 = 180° - 165° = 15°; ∠6 = 15°, ∠4 = ∠5 = 180° - 15° = 165°.

3)

∠1 = 95°, ∠2 = ∠3 = 180° - 95° = 85°; ∠6 = 95°, ∠4 = ∠5 = 180° - 95° = 85°.

225.

Якщо внутрішні різносторонні кути дорівнюють а, то ∠2 = ∠6 = α, ∠1 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 180° - α.

1) Якщо α = 30°, то ∠2 = ∠6 = 30°, ∠1 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 180° - 30° = 150°.

2) Якщо α = 150°, то ∠2 = ∠6 = 150°, ∠1 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 180° - 150° = 30°.

3) Якщо α = 80°30’, то ∠2 = ∠6 = 80°30', ∠1 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 180° - 80°30' = 99°30’.

4) Якщо α = 99°30', то ∠2 = ∠6 = 99°30’, ∠1 = ∠3 = ∠4 = ∠5 = 180° - 9°30’ = 80°30’.

226.

Нехай ∠1 = ∠2. Доведемо, що ∠2 + ∠3 = 180°. Дійсно, ∠3 = 180° - ∠1, тоді ∠2 + ∠3 = ∠2 + 180° - ∠1 = 180°. (Оскільки ∠2 = ∠1).

227.

Нехай ∠2 + ∠3 = 180°. Доведемо, що ∠1 = ∠2. Дійсно, оскільки ∠2 + ∠3 = 180°, TO ∠2 = 180° - ∠3. За властивістю суміжних кутів маємо: ∠1 = 180° - ∠3. Отже, ∠1 = ∠2.

228.

Нехай а || с, b || с. Доведемо, що а || b. Припустимо, що а і b не паралельні, тобто вони перетинаються в деякій точці А. Отже, через т. А проходить дві прямі а і b, які паралельні прямій с, що суперечить аксіомі паралельних прямих. Отже, наше припущення неправильне, прямі a і b паралельні.

229.

230.

Нехай ∠1 + ∠2 ≠ 180°. Доведемо, що ∠2 ≠ ∠3. Припустимо, що ∠2 = ∠3, тоді за теоремою про суму суміжних кутів маємо: ∠1 = 180° - ∠3 = 180° - Z2. Тоді ∠1 + ∠2 = 180° - ∠2 + ∠2 = 180°, що суперечить умові задачі. Отже, припущення неправильне, а правильне, що ∠2 ≠ ∠3.

231.

Нехай ∠1 : ∠5 = 2 : 1, ∠4 + ∠5 = 135°. Нехай ∠5 = х°, ∠1 = 2х°, ∠4 = 180° - 2х°, тоді 180° - 2х + х = 135°; x = 180° - 135° = 45°. Отже, ∠5 = ∠7 = 45°, ∠6 = ∠8 = 180° - 45° = 135°. ∠3 = ∠1 = 45° х 2 = 90°, ∠2 = ∠4 = 180° - 90° = 90°.

Відповідь: 90°, 90°, 90°, 90°, 45°, 135°, 45°, 135°.

232. 1)

∠2 = α, ∠1 = ∠3 = 180° - α, ∠5 = β, ∠4 = ∠6 = 180° - β.

2)

∠1 = α, ∠2 = ∠3 = 180° - α, ∠5 = β, ∠4 = ∠6 = 180° - β.

3)

∠1 = α, ∠2 = ∠3 = 180° - α, ∠4 = β, ∠5 = ∠6 = 180° - β.

4)

∠2 = α, ∠1 = ∠3 = 180° - α, ∠4 = β, ∠5 = ∠6 = 180° - β.

5)

∠2 = α, ∠1 = ∠3 = 180° - α, ∠6 = β, ∠4 = ∠5 = 180° - β.

233.

Доведемо, що a ⊥ c, b ⊥ c. Із умови маємо: 2∠1 = ∠3 + ∠4. Враховуючи, що ∠1 = ∠3, маємо 2∠3 = ∠3 + ∠4, звідси ∠3 = ∠4. Із умови маємо 2∠2 = ∠3 + ∠4. Оскільки ∠3 = ∠4, то маємо 2∠2 = ∠4 + ∠4, 2∠2 = 2∠4, ∠2 = ∠4. Враховуючи, що ∠2 і ∠4 суміжні і рівні, маємо Отже b ⊥ с. Оскільки ∠3 = ∠4 і ∠4 = 90°, TO ∠3 = 90°. Отже, а ⊥ с.

234.

Вулиця b, паралельна вулиці а, проходить в напрямку з північного сходу на південний схід (або навпаки). Вулиця с, перпендикулярна вулиці а, проходить у напрямку з північного заходу на північний схід (або навпаки).

235. 1) Прямі АР і BО паралельні, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 135° + 45° = 180°. Отже, АР || ВО.

2) Прямі а і b не паралельні, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 45° + 136° = 181° ≠ 180°.

236. 1)

a || с, а — січна.

2)

b || с, а — січна.

237. 1) Прямі не паралельні, оскільки 25° + 125° = 150° ≠ 180°.

2) Прямі паралельні, оскільки 38° + 142° = 180°.

3) Прямі не паралельні, оскільки 61° + 117° = 178° + 180°.

4) Прямі паралельні, оскільки 56° + 124° = 180°.

238. Проводимо довільну пряму а, прикладаємо косинець до прямої, а лінійку до косинця. Утримуючи лінійку в тому самому положенні, переміщуємо косинець вздовж лінійки до точки М і проводимо другу пряму b. Прямі а і b паралельні, бо відповідні кути рівні.

239. 1) Прямі не паралельні, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 18° + 118° = 136° ≠ 180°.

2) Прямі не паралельні, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 130° + 102° = 232° + 180°.

3) Прямі не паралельні, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів 37° + 87° = 124° ≠ 180°.

240. Оскільки внутрішні різносторонні кути рівні, то згідно наслідку 1 прямі a i b паралельні.

241. 1) Прямі не паралельні, оскільки внутрішні різносторонні кути не рівні 45°+55°.

2) Прямі паралельні, оскільки внутрішні різносторонні кути рівні 168° = 168°.

3) Прямі паралельні, оскільки внутрішні різносторонні кути рівні 91° = 91°.

242. Оскільки внутрішні кути є відповідними і вони рівні, то згідно наслідку 2 прямі а і b паралельні. Отже, a || b.

243. 1) Прямі паралельні, оскільки відповідні кути рівні 117° = 117°.

2) Прямі не паралельні, оскільки відповідні кути не рівні 63° ≠ 163°.

3) Прямі не паралельні, оскільки відповідні кути не рівні 48° ≠ 84°.

244. Кути 71° і 112° — внутрішні односторонні кути при прямих c i d і січній а. Оскільки їх сума 71° + 112° = 183° ≠ 180°, то прямі с і d не паралельні.

Кути 112° і 68° — внутрішні односторонні кути при прямих а і b і січній d. Оскільки їх сума 112° + 68° = 180°, то прямі а і b паралельні.

245.

246.

Нехай ∠2 = 2 х ∠1. Прямі а і b паралельні, якщо ∠1 + ∠2 = 180°, тоді маємо ∠1 + 2∠1 = 180°, 3∠ = 180°, ∠1 = 180° : 3 = 60°, ∠2 = 2 х 60° = 120°. Отже, прямі а і b паралельні, якщо різниця внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 60°.

1) ні; 2) ні; 3) так; 4) ні.

247.

Нехай ∠2 = 3 х ∠1. Прямі а і b паралельні, якщо ∠1 + ∠2 = 180°, тоді маємо ∠1 + 3 х ∠1 = 180°, 4∠1 = 180°, ∠1 = 45°, a ∠2 = 135°. Отже, прямі a i b паралельні, якщо різниця внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 135° - 45° = 90°.

1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) так.

248.

1) Оскільки α - β > 0, то α > β. Оскільки внутрішні різносторонні кути не рівні, то прямі не паралельні.

2) Оскільки β - α = 0, то β = α. Оскільки внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні.

3) Прямі можуть бути паралельними у випадку α - β = 90°, у всіх інших випадках прямі не паралельні.

4) Прямі можуть бути паралельні у випадку α - β = 45°, у всіх інших випадках прямі не паралельні.

249.

1) Оскільки α : β = 1 : 1, то α = β. Оскільки відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

2) Оскільки α/β < 1, то α < β. Оскільки відповідні кути не рівні, то прямі не паралельні.

3) Оскільки α/β = 3/2, ТО 2α = 3β, α ≠ β. Оскільки відповідні кути не рівні, то прямі не паралельні.

4) Оскільки α - β = 90°, то α ≠ β. Оскільки відповідні кути не рівні, то прямі не паралельні.

250.

251.

Нехай АК — бісектриса кута ВАМ, ∠BAM = 2∠BAK; ВК — бісектриса кута АВР, ∠ABP = 2∠ABK. За умовою ∠BAK + ∠ABK = 90°. Доведемо, що а || b.

Знайдемо суму внутрішніх односторонніх кутів: ∠BAM + ∠ABP = 2∠BAK + 2∠ABK = 2(∠BAK + ∠ABK) = 2 x 90° = 180°. Оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі а і bпаралельні.

252. Нехай α і β — внутрішні односторонні кути і α < β.

1) За умовою α + β/2 = 100°; 2α + β = 200°.

Для того, щоб прямі були паралельними, треба щоб α + β = 180°, тоді 2α + β = α + α + β = α + 180°. Отже, α + 180° = 200°, звідси α = 200° - 180° = 20°.

2) За умовою α + β/2 = 135°; 2α + β = 270°.

Для того, щоб прямі були паралельними, треба щоб α + β = 180°, тоді 2α + β = α + α + β = α + 180°. Отже, α + 180° = 270°, звідси α = 270° - 180° = 90°.

Відповідь: 1) 20°; 2) 90°.

253.

Нехай ∠CAB = ∠ABD, AF — бісектриса кута САВ, ∠FAB = ∠CAB/2, BP — бісектриса кута DВА, ∠ABP = ∠DBA/2, ТОДІ ∠FAB = ∠ABP — як половини рівних кутів. Розглянемо прямі FA і ВР та січну AB:∠FAB = ∠ABP — внутрішні різносторонні кути і рівні. Отже, FA || ВР.

254.

1) ∠1 = α/3 і β : α = 2 : 1, тоді α = 3∠1 і β = 2α = 2 х 3∠1 = 6∠1. Оскільки ∠1 і β є відповідними кутами при прямих а і b і січній d і ∠1 ≠ β, то прямі а і b не паралельні.

2) ∠2 = β/2 і β/α = 2, тоді β = 2∠2 і β = 2α, і отже, ∠2 = α. Оскільки ∠2 і α — внутрішні різносторонні кути при прямих а і b і січній с і вони рівні, то а || b.

255.

Розглянемо прямі а і MC та січну AB: ∠KOA і ∠CAO — внутрішні односторонні кути і ∠KOA + ∠CAO = 90° + 45° = 135° ≠ 180°. Отже, прямі а і MC не паралельні. Розглянемо прямі а і BN та січнуAD: ∠KOA і ∠OAN — внутрішні односторонні кути і ∠KOA + ∠OAN = 90° + 135° = 225° ≠ 180°. Отже, прямі а і BN не паралельні. Отже, пряма а не може бути паралельною жодній зі сторін кута, вертикальною з даним.

256.

Нехай ∠ABC — гострий, а ⊥ ВС. Доведемо, що пряма а перетинає сторону AB. Припустимо, що пряма а не перетинає AB, тобто а || AB. Розглянемо прямі а і AB і січну ВС. ∠2 і ∠1 є внутрішніми односторонніми кутами і ∠2 + ∠1 = 90° + ∠1 ≠ 180° (оскільки ∠1 < 90°). Отже, прямі а і AB не паралельні, що суперечить припущенню. Отже, пряма а перетинає і другу сторону гострого кута.

Застосуйте на практиці

257.

Щоб лінія згину була паралельна краю аркуша, треба аркуш зігнути так, щоб верхній край аркуша співпав з нижнім краєм аркуша.

258.

Для побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини слід одну пластину зміщувати вздовж кромки дошки, а по другому краю пластини креслити паралельні прямі. Накреслені прямі будуть паралельними згідно з ознакою паралельності прямих за відповідними кутами. Побудова паралельних прямих за допомогою малки проводиться аналогічно.

259.

АВ || CD, оскільки ∠DCB = ∠ABC і кути DCB і ABC — внутрішні різносторонні кути при прямих АВ і CD і січній СВ.