Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 18. Сума й різниця кубів двох виразів

682. 1) Якщо b = -2, то (1 - b²)(1 + b² + b⁴) = 1 - (b²)³ = 1 — b⁶ = 1 - (-2)⁶ = 1 - 64 = -63.

2) Якщо х = -1, то 2х³ + 7 - (х + 1)(х² - х + 1) = 2х³ + 7 - (х³ + 1) = 2х³ + 7 - х³ - 1 = х³ + 6 = (-1)³ + 6 = -1 + 6 = 5.

690. 1) 456³ - 156³= (456 - 156)(456² + 456 ∙ 156 + 156²) = 300 ∙ (456² + 456 ∙ 156 + 156²) — ділиться націло на 300, бо 300 ділиться на 300.

2) 254³ + 238³ = (254 + 238)(254² - 254 ∙ 238 + 238²) = 492 ∙ (254² - 254 ∙ 238 + 238²) — ділиться націло на 123, бо 492 ділиться на 123.

3) 17⁶ - 1 = (17² - 1)(17⁴ + 17² + 1) = (17 - 1)(17 + 1)(17⁴ + 17² + 1) = 16 ∙ 18 ∙ (17⁴ + 17² + 1) = 8 ∙ 2 ∙ 18(17⁴ + 17² + 1) = 8 ∙ 36(17⁴ + 17² + 1) — ділиться націло на 36, бо 36 ділиться на 36.

691. 1) 341³ + 109³ = (341 + 109)(341² — 341 ∙ 109 + 109²) = 450 ∙ (341² - 341 ∙ 109 + 109²) — ділиться націло на 90, бо 450 ділиться на 90.

2) 2¹⁵ + 3³ = (2⁵)³ + 3³ = (2⁵ + 3) ∙ (2¹⁰ - 3 ∙ 2⁵ + 3²) = 35 ∙ (2¹⁰ - 3 ∙ 2⁵ + 3²) — ділиться націло на 35, бо 35 ділиться на 35.

694. 1) а² - b² = (а - b)(а + b). Якщо сума двох натуральних чисел а + b ділиться наділо на деяке натуральне число, то на це число ділиться і різниця їхніх квадратів, тобто а² - b² = (а - b)(а +b).

2) а² + b². Не можна стверджувати, що сума квадратів ділиться на це число.

3) а³ + b³ = (а + b)(а² - ab + b²). Сума кубів ділиться на число, якщо на це число ділиться (а + b).

695. Нехай 2n - 1 і 2n + 1 — дані числа. Тоді (2n - 1)³ + (2n + 1)³ = (2n - 1 + 2n + 1)((2n - 1)² - (2n - 1)(2n + 1) + (2n + 1)²) = 4n((2n - 1)² - (2n - 1)(2n + 1) + (2n + 1)²); ділиться на 4, бо 4 ділиться на 4.

696. 3n + 1 і 3n + 2 — дані числа.

ділиться націло на 9, бо 9 ділиться на 9.

701. Нехай у II ящику x кг яблук, а у І ящику (x + 12) кг. Після перекладання яблук в І ящику стало (x + 12 - 4) кг, а у II ящику — (x + 4) кг.

За умовою

x = 6 кг яблук у другому ящику; 6 + 12 = 18 кг яблук у першому ящику.

702. 3¹⁶ + 7¹⁶.

3¹⁶ закінчується цифрою 1: (3⁴)⁴ = ...1.

7¹⁶ закінчується цифрою 1: ((7²)²)⁴ = ...1.

Тому 3¹⁶ + 7¹⁶ закінчується цифрою 2.

705. 1) (x - 4)(x + 3) = 0; x - 4 = 0 або x + 3 = 0; x = 4 або x = -3;

2) x² - 81 = 0; (x - 9)(x + 9) = 0; x - 9 = 0 або x + 9 = 0; x = 9 або x = -9;

3) 7x² + 21x = 0; 7x(x + 3) = 0; x = 0 або x + 3 = 0; x = -3;

4) 9x² — 6x + 1 = 0; (3x - 1)² = 0; 3x - 1 = 0; 3x = 1; x = 1/3;

5) x(x + 7)(3x - 2) = 0; x = 0 або x + 7 = 0; x = -7 або 3x - 2 = 0; 3x = 2; х = 2/3;

6) 12x³ — 2x² = 0; 2x²(x - 1) = 0; x = 0 або x - 1 = 0; x = 1.