Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 4. Тотожно рівні вирази. Тотожності

132. 1) Переставна властивість додавання;

2) сполучна властивість додавання;

3) переставна властивість множення;

4) переставна властивість множення і додавання;

5) розподільна властивість множення.

133. 1) 2х - 12 = 2(х - 6) — тотожність;

2) а - b = -(b - а) — тотожність;

3) 3m + 9 = 3(m + 9) — не є ТОТОЖНІСТЮ;

4) (а + b) ∙ 1 = а + b — ТОТОЖНІСТЬ;

5) (a + b) ∙ 0 = a + b — не є тотожністю;

6) (a - a)(b + b) = 0 — тотожність;

7) 3a - a = 3 — не є тотожністю;

8) 4x + 3х = 7x — тотожність;

9) a - (b + c) = a - b + c — не є тотожністю;

10) m + (n - k) = m + n - k — тотожність;

11) 4a - (3a - 5) = a + 5 — тотожність;

12) (a - 5)(a + 3) = (5 - a)(3 + a) — не є тотожністю.

134. 1) 8(a - b + c) і 8a - 8b + 8c — тотожно рівні вирази;

2) -2(x - 4) і -2x - 8 — не тотожно рівні вирази;

3) (5а - 4) - (2а - 7) і 3а - 11 — не тотожно рівні вирази.

135. Якщо a = -1, то а² = (-1)² = 1 і |а| = |-1| = 1. Отже, при а = -1 а² = |а|.

Якщо а = 0, то а² = 0 і |а| = 0, тому а² = |а|.

Якщо а = -1, то а² = 1 і |а| = 1, тому а² = |а|. Але стверджувати, що а² = |а| — тотожність, не можна, бо ця рівність не виконується при всіх значеннях а. Наприклад, 4² ≠ |4|.

136. -3a + 8b — a — 11b = -3a — a + 8b — 11b = -4a — 3b.

Правильна відповідь: 3).

137. -12а + (7 - 2а) = -12а + 7 - 2а = -14а + 7.

138. 1) -5х - 6(9 - 2х) = 7х — 54 — тотожність, бо -5х - 6(9 - 2х) = -5х - 54 + 12х = 7х- 54;

2) 1/3(12 - 0,6у) + 0,3у = 0,1y + 4 - тотожність, бо 1/3(12 - 0,6y) + 0,3у = 4 - 0,2у + 0,3у = 0,1y + 4;

3) 3(7 - а) - 7(1 - 3а) = 14 + 18а — тотожність, бо 3(7 - а) - 7(1 - 3а) = 21 - 3а - 7 + 21а = 14 + 18а;

4) (6х - 8) - 5х - (4 - 9х) = 10х - 12 — тотожність, бо (6х - 8) - 5х - (4 - 9х) = 6х — 8 - 5х - 4 + 9х = 10х -12;

5) 3(2,1m - n) - 0,9(7m + 2n) = -4,8n — тотожність, бо 3(2,1m - n) - 0,9(7m + 2n) = 6,3m — 3n - 6,3m - 1,8n = -4,8n;

6) — тотожність, бо

139. 1) -0,2(4b - 9) + 1,4b = 0,6b + 1,8 — тотожність;

-0,8b + 1,8 + 1,4b = 0,6b + 1,8; 0,6b + 1,8 = 0,6b + 1,8 — правильно;

2) (5а — 3b) - (4 + 5а — 3b) = -4 — тотожність;

5а — 3b - 4 - 5а + 3b = -4; -4 = -4 — правильно;

3) 5(0,4х - 0,3) + (0,8 - 0,6х) = 1,4х - 0,7 — тотожність;

2х - 1,5 + 0,8 - 0,6х = 1,4х - 0,7; 1,4х - 0,7 = 1,4х - 0,7 — правильно;

4) тотожність;

правильно.

140. Тотожності:

1) (2a — 3b)² = (3b - 2а)²; 4) |а - b| = |b - а|; 5) |а² + 4| = а² + 4.

Не є тотожностями:

2) (а — b)³ = (b - а)³; 3) |а + 5| = а + 5; 6) |а + b| = |а| + |b|; 7) |а - 1| = |а| - 1; 8) а² - b² = (а - b)².

141. 1) -а + а = 0; 2) а ∙ 1 = 1; 3) а ∙ (-1) = -а; 4) |а| = |-а|; 5) -а - а = 0.

Тотожностями є рівності:

1) -а + а = 0; 3) а ∙ (-1) = -а; 4) |а| = |-а|.

142. 1) 4(2 — 3m) - (6 - m) - 2(3m + 4) = -17m - 6 — тотожність, бо 4(2 — 3m) - (6 - m) - 2(3m + 4) = 8 — 12m - 6 + m — 6m - 8 = -17m - 6; -17m - 6 = -17m - 6 — правильна рівність;

2) a + b - 10аb = 2а(3 - b) — 3b(а - 2) - 5(аb + а + b) — тотожність, бо 2а(3 - b) - 3b(а - 2) - 5(аb + а + b) = 6а - 2аb - 3аb + 6b - 5аb - 5а — 5b = а + b - 10аb; а + b - 10аb = а + b - 10аb — правильна рівність;

3) 6(5а - 3) + (10 - 20а) - (6а - 4) = 5а - (3а - (2а - 4)) — тотожність, бо 30а - 18 + 10 - 20а - 6а + 4 = 5а - (3а - 2а + 4); 4а - 4 = 5а - 3а + 2а - 4; 4а - 4 = 4а - 4 — правильна рівність.

143. 1) (3m - 7) ∙ 0,6 - 0,8(4m - 5) - (-1,7 - 1,4m) = 1,5 — тотожність; (3m - 7) ∙ 0,6 - 0,8(4m - 5) - (-1,7 - 1,4m) = 1,8m - 4,2 - 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m = 1,5; 1,5 = 1,5 — правильна рівність;

2) 7а(3b + 4с) - 3а(b + 1/3с) = 9а(2b + 3с) —тотожність;

21ab + 28ас - 3аb - ас = 18ab + 27ас; 18ab + 27ас = 18аb + 27ас — правильна рівність.

144. 1) (а + 3)² = а² + 9 — не є тотожністю, бо (а + 3)² = а² + 6а + 9; а² + 6а + 9 = а² + 9 — неправильна рівність;

2) (b - 1)(b + 1) = (b - 1)b + 1 — не є тотожністю, бо b² - 1 = b² - b + 1 — неправильна рівність;

3) (с + 1)² = с² + 1 — не є тотожністю, бо (с + 1)² = с² + 2с + 1, а с² + 2с + 1 = с² + 1 — неправильна рівність;

4) |m| - |n| = |n| - |m| — не є тотожністю, бо |m| - |n| - (|n| - |m|) = |m| - |n| - |n| + |m| = 2|m| - 2|n| ≠ 0.

145. 1) 4 - m² і (2 - m)² не є тотожно рівними, бо 4 - m² - (2 - m)² = 4 - m² - 4 + 4m - m² = 4m — 2m² ≠ 0;

2) |-m| і m не є ТОТОЖНО рівними виразами, бо рівність |-m| = m справедлива лише при невід’ємних значеннях m, а при від’ємних несправедлива;

3) m³ + 8 і (m + 2)(m² + 4) не є тотожно рівними, бо (m + 2)(m² + 4) = m³ + 2m² + 4m + 8, a m³ + 8 ≠ m³ + 2m² + 4m + 8.

Вправи для повторення

146. Нехай товарний поїзд може здолати відстань між станціями за х годин, тоді за 1 годину він проходить 1/x частину шляху, пасажирський за 1 годину проходить 1/12 частину шляху, а разомза 1 годину вони проходять 1/8 частину шляху. Маємо рівняння:

години необхідно товарному поїзду для подолання відстані між станціями.

147. Нехай І ділянка має площу х га, тоді з неї зібрано 8x ц гречки, II ділянка має площу (24 - х) га і з неї зібрано (24 - х) ∙ 9 ц. Всього зібрано з II ділянки на 46 ц більше, тому 9(24 - х) — 8x = 46; 216 - 9х - 8х = 46; -17x = 46 - 216; -17х = -170; х = -170 : (-17); х = 10 га — площа І ділянки;

24 - 10 = 14 га — площа II ділянки;

8 ∙ 10 = 80 ц гречки зібрали з І ділянки;

9 ∙ 14 = 126 ц гречки зібрали з II ділянки;

80 + 126 = 206 ц гречки зібрано всього.

148. а > 0 і а + b < 0; 1) b < 0; 2) |а| < |b|.

149. Нехай х грн. — початкова ціна товару. Після збільшення ціни на 50 % товар став коштувати х + 0,5х = 1,5х грн. Після зменшення ціни товару на 50 % товар став коштувати: 1,5x - 1,5x ∙ 0,5 = 0,75x; x - 0,75x = 0,25x.

Після двох переоцінок ціна товару зменшилася на 0,25x грн., тобто на

150. 1) — відсоток річки Дніпро в межах України;

2) — відсоток річки Десна в межах України;

3) 52,3 % - 44,57 % = 7,73 % — на стільки відсоток річки Десна в межах України більший, ніж відсоток Дніпра.