Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 8. Вписані та описані чотирикутники

251. На малюнку 100 зображено вписаний чотирикутник, а на малюнку 98 — описаний чотирикутник.

252. Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

1) A + C = 30° + 150°= 180°. За ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника ABCD можна описати коло;

2) B + D = 90° + 80° = 170°. За ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника ABCD не можна описати коло.

253. Якщо в чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо нього можна описати коло.

1) M + K = 20° + 150° = 170°. За ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника MNKL не можна описати коло;

2) N + B = 90° + 90° = 180°. За ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника MNKL можна описати коло.

254.

1) Нехай ABCD — чотирикутник, АВ : ВС: CD : AD = 5 : 3 : 4 : 7. Нехай АВ = 5х, ВС = 3х, CD = 4х, AD = 7х. За ознакою описаного чотирикутника, якщо суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло. Маємо: АВ + CD = ВС + AD; 5х + 4х = 3х + 7x; 9х ≠ 10х. Отже, в чотирикутник не можна вписати коло;

2) нехай ABCD — чотирикутник, АВ : ВС : CD : AD = 3 : 2 : 4 : 5. Нехай АВ = 3х, BC = 2x, CD = 4x, AD = 5x. За ознакою описаного чотирикутника, якщо суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло. Маємо АВ + CD = ВС + AD; 3х + 4х = 2х + 5х; 7х = 7х. Отже, в чотирикутник можна вписати коло.

255.

1) Нехай ABCD — чотирикутник, АВ : ВС : CD : AD = 7 : 3 : 2 : 6. Нехай АВ = 7х, ВС = 3х, CD = 2х, AD = 6х. За ознакою описаного чотирикутника, якщо суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло. Маємо АВ + CD = ВС + AD; 7х + 2х = 3х + 6х; 9х = 9х. Отже, в чотирикутник можна вписати коло;

2) нехай ABCD — чотирикутник, АВ : ВС: CD : AD = 5 : 4 : 3 : 6. Нехай АВ = 5х, ВС = 4х, CD = 3х, AD = 6х. За ознакою описаного чотирикутника, якщо суми протилежних сторін рівні, то в цей чотирикутник можна вписати коло. Маємо АВ + CD = ВС + AD; 5х + 3х = 4х + 6х; 8х ≠ 10х. Отже, в чотирикутник не можна вписати коло.

256. Нехай ABCD— чотирикутник, уписаний в коло, C = 132°, D = 29°. Оскільки чотирикутник ABCD вписаний в коло, то за ознакою вписаного чотирикутника маємо: A + C = 180°, B+ D = 180°. Звідси A = 180° - C, A = 180° - 132° = 48°, B = 180° - D, B = 180° - 29° = 151°.

Відповідь. 48°, 151°.

257. Нехай ABCD— чотирикутник, уписаний в коло, A = 138°, B = 49°. Оскільки чотирикутник ABCD — вписаний у коло, то за ознакою вписаного чотирикутника маємо: A + C = 180°, B + D = 180°. Звідси C= 180° - A, C = 180° - 138° = 42°, D = 180° - B, D = 180° - 49° = 131°.

Відповідь. 42°, 131°.

258. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, АВ = CD, P_ABCD = 16 см. Оскільки коло вписане в трапецію, то за ознакою вписаного чотирикутника одержимо: BC + AD = AB + CD. За умовою Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (AB + CD) + (ВС + AD) = 2(АВ + CD). Урахувавши, що AB = CD, маємо: 2 • 2 • АВ = 16, 4АВ = 16, АВ = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

259. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, описана навколо кола, АВ = CD = 5 дм. За властивістю сторін описаного чотирикутника маємо: ВС + AD = АВ + CD. Тоді P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (АВ + CD) + (ВС + AD) = 2(AB + CD), звідки P_ABCD = 2(5 + 5) = 20 (дм).

Відповідь. 20 дм.

260. Нехай ABC — гострокутній трикутник AH₁, ВН₂ — висоти, точка H — точка перетину висот. Оскільки АН₁ і AН₂ — висоти, то AH₁ВС, ВН₂ АС. Звідси HH₁C = 90°, HH₂C = 90°. Розглянемо чотирикутник HH₁CH₂. Знайдемо суму протилежних кутів. Маємо H₁ + H₂ = 180°, тоді H + C = 180°. Звідси за ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника HH₁СH₂ можна описати коло. Оскільки HH₁C = 90°, то СН — діаметр (вписаний кут, який спирається на діаметр, дорівнює 90°).

261. Нехай ABC — гострокутній трикутник, М∈АВ, МKВС, МРАС. Розглянемо чотирикутник МРСK. Знайдемо суму протилежних кутів. P + K = 90° + 90° = 180°, тоді за теоремою про суму кутів чотирикутника M + C = 180°. За ознакою вписаного чотирикутника, навколо чотирикутника можна описати коло. Оскільки MPC = 90°, то СМ— діаметр кола (вписаний кут, який спирається на діаметр, дорівнює 90°).

262. Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло, АВ = ВС, AO = OD = h. Оскільки трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна. Значить АВ = CD = ВС. Проведемо діагональ АС. ACD = 90°, оскільки спирається на діаметр. Розглянемо ABC. Оскільки АВ = ВС, то АВС — рівнобедрений, тому BAC = BCA. BCA = CAD, як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Нехай CAD = х. Тоді CDA = A = 2x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: CAD + CDA + ACD = 180°. х + 2х + 90° = 180°, 3х = 90°, x = 30°. У прямокутному трикутнику, за теоремою про катет, який лежить проти кута 30°, маємо: CD = AD : 2. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AO + OD = R + R = 2R. Тоді CD = 2R : 2 = R. Звідси, P_ABCD = R + R + R + 2R = 5R.

Відповідь. 5R.

263. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, АС = ВС,Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться в точці перетину бісектрис. Враховуючи, що A = B як кути при основі рівнобедреного трикутника, маємо: CAI = IAB = CBI = IBA. Звідси AIB — рівнобедрений. За теоремою про суму кутів трикутника одержуємо: IAB + IBA + AІВ = 180°, 2IAB + AIB = 180°, . Тоді одержимо: A = B = 2IAB, За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C = 180°. C = 180° - (A + B),

Відповідь.

264. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, вписаний у коло, АС = ВС,

1) Нехай центр кола знаходиться всередині трикутника, тоді ACB — вписаний кут, який опирається на дугу АKВ і становить AOB : 2. ТобтоОскільки АСВ рівнобедрений, то за теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C = 180°, 2A + C = 180°,

Відповідь.

2) Центр кола знаходиться зовні трикутника. Оскільки АСВ рівнобедрений, то A = B. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C= 180°, 2A + C = 180°,

Відповідь.

265. Нехай ABC — трикутник, ЕK||АВ. Розглянемо паралельні прямі ЕK і АВ. CKE = CBA як відповідні при паралельних прямих ЕK і АВ та січній СВ. CEK = CAB як відповідні при паралельних прямих ЕK і АВ та січній СА. От Отже, CKE = CBA, CEK = CAB.

266. Дано: (O₁, R₁) і (O₂; R₂) — два кола (R1 > R₂). Побудувати: зовнішню спільну дотичну до цих кіл.

Схема побудови. З’єдную центри кіл О₁ і O₂. Знаходжу середину відрізка O₁O₂ — точку О. Будую коло з центром в точці О радіуса R = OO₁. Будую коло з центром у точці O₁ радіуса r = R₁ - R₂. Точки Р і D — точки перетину кіл (О; R) та (О₁; r). Через точки О, і Р та O₁ і D проводжу промені, які перетинають коло (О; R) у точках K і С відповідно. Проводжу промені O₂М||O₁K та O₂N||O₁С, у результаті їх перетину з колом (O₂; R₂) одержую точки М і N відповідно. Через точки КK і М та С і N проводжу прямі. KМ і CN — шукані зовнішні спільні дотичні.