Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 11. Середня лінія трапеції. Її властивості

314. На мал. 113.

315. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Маємо (8 + 4) : 2 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

316. Середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ. Звідси (7 + 11) : 2 = 9 (см).

Відповідь. 9 см.

317. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN= 7 см, BC = 9 cm. За властивістю середньої лінії трапеції MN = (ВС + AD) : 2, 2MN = ВС + AD. Звідси AD = 2MN - BC, AD = 2 • 7 - 9 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

318. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN = 10 cm, BC = 5 cm. За властивістю середньої лінії трапеції MN = (ВС + AD) : 2, 2MN = ВС + AD. Звідси AD = 2MN - ВС, AD = 2 • 10 — 5 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

319. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), ВС = 8 см, AD = 2ВС. За властивістю середньої лінії трапеції MN = (ВС + AD) : 2 = (ВС + 2ВС) : 2,Звідси маємо:

Відповідь. 12 см.

320. Нехай MNKL — трапеція (NK||ML), АВ = 30 (см). За властивістю середньої лінії трапеції маємо: АВ = (NK + ML) : 2, 2АВ = NK + ML.

1) 3а умовою ML = NK + 8. Нехай NK = x см, тоді М₁ = (х + 8) см. Маємо: х + х + 8 = 2 • 30, 2х + 8 = 60, 2х = 52, х = 26. Тоді NK = 26 (см), ML = 26 + 8 = 34 (см);

2) за умовою ML = 4 NK. Нехай NK = х см, тоді ML = 4х см. Маємо: х + 4х = 2 • 30, 5х = 60, х = 12. Тоді NK = 12 (см), МL = 4 • 12 = 48 (см);

3) за умовою NK : ML = 3 : 2. Нехай NK = 3х см, тоді ML = 2х см. Маємо: 3х + 2х = 2 • 30, 5х = 60, х = 12. Маємо NK = 3 • 12 = 36 (см), ML = 2 • 12 = 24(см).

Відповідь. 1) 26 см, 34 см; 2) 12 см, 48 см; 3) 36 см, 24 см.

321. Нехай MNKL — трапеція (NK||ML), АВ = 16 (см). За властивістю середньої лінії трапеції АВ = (NK + ML) : 2, 2АВ = NK + ML.

1) 3а умовою ML = NK +2 . Нехай NK = х см, тоді ML = (х + 2) см. Маємо: х + х + 2 = 2 • 16, 2х + 2 = 32, 2х = 30, х= 15. Тоді NK = 15 (см), ML= 15 + 2 = 17 (см).

2) за умовою ML = 3 • NK. Нехай NK = х см, тоді ML = 5 см. Маємо: х + 3х = 2 • 16,4х = 32, х = 8. Тоді NK = 8 (см), ML = 3 • 8 = 24 (см).

3) за умовою NK : ML = 3 : 5. Нехай NK = 3х см, тоді ML = 5х см. Маємо: 3х + 5х = 2 • 16, 8х = 32, х = 4. Маємо NK = 3 • 4 = 12 (см), ML = 5 • 4 = 20 (см).

Відповідь. 1) 15 см, 17 см; 2) 8 см, 24 см; 3) 12 см, 20 см.

322. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN— середня лінія. Розглянемо трикутник ABD. За властивістю середньої лінії трапеції MN||AD. Згідно означення середньої лінії трапеції АМ = MB. Розглянемо кут ABD. Його сторони АВ і BD перетнуто паралельними прямими MN||AD і АМ = МВ. Отже, за теоремою Фалеса ВK = KD.

323. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN — середня лінія, AB = 9 см, CD = 7 см, MN = 10 см. За властивістю середньої лінії трапеції MN = (BC + AD) : 2. Звідси ВС + AD = 2 • MN. Маємо: P_ABCD = AB + ВС + AD + CD = (ВС + AD) + AB + CD = 2 • MN + AB + CD, P_ABCD = 210 + 9 + 7 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

324. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN— середня лінія, AB = 10 см, CD = 12 см, P_ABCD = 52 см. За властивістю середньої лінії трапеції MN = (ВС + AD) : 2. Звідси ВС + AD = 2 • MN. Маємо: P_ABCD = AB + BC + AD + CD, P_ABCD = (BC + AD) + AB + CD, P_ABCD = 2 • MN + AB + CD. Звідси, 2MN = P_ABCD — CD - AB, 2MN = 52 - 10 - 12, 2MN = 30, MN = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

325. Нехай ABCD — трапеція (BC||AD, BC < AD), MN— середня лінія. За властивістю середньої лінії трапеції. Звідси BC + AD = 2 • MN.

1) 3а умовою MN = AD. Тоді BC + AD= 2 • AD, ВС = 2 • AD - AD, BC = AD. За ознакою паралелограма маємо, що, ABCD — паралелограм. Отже, середня лінія трапеції не може дорівнювати одній із основ;

2) за умовою MN < ВС. Тоді, BC + AD < 2 • BC, AD < ВС, що суперечить умові ВС < AD,

3) за умовою MN > AD. Тоді, ВС + AD > 2 • AD, ВС > AD, що суперечить умові ВС < AD;

4) за умовою MN = AD : 2. Тоді BC + AD = 2 • MN, ВС + AD = AD, BC = 0, що не можливо.

Відповідь. 1) так; 2) ні; 3) ні; 4) ні.

326. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD, ВС < AD), BD —.діагональ, EF— середня лінія EN = 5 cm, NF = 3 см. Оскільки EF— середня лінія трапеції, тобто АЕ = BE, DF = FC, то BN = ND (див. № 322). Розглянемо трикутники ABD і BDC. EN, NF— відповідно їх середні лінії. Тоді за означенням середньої лінії трикутника EN = AD : 2 і NF= ВС : 2. Маємо AD = 2 • EN= 2 • 5 = 10 (см), BC = 2NF = 2 • 3 = 6(см).

Відповідь. 10 см, 6 см.

327. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD, ВС < AD), АС— діагональ, MN — середня лінія AD = 18 см, ВС = 12 см. Оскільки MN — середня лінія трапеції, тобто АМ = ВМ, DN = NC, то АK = СКK (див. № 322). Розглянемо трикутники ВАС і ACD. МK, KN— відповідно їх середні лінії. Тоді за означенням середньої лінії трикутника MK = BC : 2 I KN = AD : 2. Маємо МКK = ВС : 2 = 12 : 2 = 6 (см), KN = 18: 2 = 9 (см).

Відповідь. 6 см, 9 см.

328. Нехай ABCD— трапеція (ВС||AD, BC<AD), AE = BE, AT = ТЕ, AD = 30 см, BC = 12 см, EM||AD i TN||AD. Оскільки AE = BE і EM||AD, то за теоремою Фалеса DC = MC. Тоді за властивістю середньої лінії трапеції ABCD маємо: ЕМ = (12 + 30) : 2 = 21(см). Аналогічно АТ = ТЕ і TN||AD, тоді за теоремою Фалеса DN = NM. За властивістю середньої лінії трапеції AEMD TN = (21 + 30) : 2 = 25,5 (см).

Відповідь. 21 см, 25,5 см.

329. Нехай ABCD — трапеція (BC||AD), AM = MB, MN = NB, MK = 12 см, NL = 8 cm, NL||BC і MK||BC. Оскільки AM = MB i BC||MK||AD, то за теоремою Фалеса DK = KС. Тоді за властивістю середньої лінії трапеції ABCD, 2МK = ВС + AD. Аналогічно MN = NB і BC||NL||AD, тоді за теоремою Фалеса KL = LC. За властивістю середньої лінії трапеції МВСКK маємо:, BC = 2NL - МK, ВС = 2 • 8 - 12 = 4(см). Тоді AD = 2МK - ВС, AD = 2 • 12 - 4 = 20 (см).

Відповідь. 4 см, 20 см.

330. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), ВK — висота, АK = 3 см, KD = 7 см, PL — середня лінія трапеції. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD, AD = 3 + 7=10 (см). Проведемо висоту СМ. Оскільки трапеція рівнобічна, то MD = АK = 3 (см). Тоді KM = AD - 2 • АK, KМ = 10 - 2 • 3 = 4 (см). Оскільки ВK||СМ і ВK = СМ, то ВKСМ — паралелограм. Паралелограм, у якого один з кутів дорівнює 90°, є прямокутником. Звідси ВС = KМ = 4 (см). За властивістю середньої лінії трапеції PL = (ВС + AD) : 2 = (4 + 10) : 2 = 7 (см).

Відповідь. 1 см.

331. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (BC||AD, АВ = CD), ВK — висота, АK = 4 см, ВС = 6 см. Проведемо висоту CM. ВKСМ — прямокутник, оскільки ВK||CM і ВК K= CM, K = M = 90°. Звідси KМ = ВС = 6 (см). Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то AK = MD. За аксіомою вимірювання відрізків KD = KM + MD, KD = 6 + 4 = 10 (см). Тоді AD = АK + KD = 4 + 10 = 14 (см). За властивістю середньої лінії трапеції (BC + AD) : 2 = (6 + 14) : 2 = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

332. Нехай l — задана пряма. З’єднаємо точки А і В й опустимо перпендикуляри з даних точок А, В і М, де АМ = MB. За умовою AD = 7 см, МK = 5 см. Оскільки ВС||AD, то ABCD трапеція. Враховуючи що AM = MB і ВС||МK||AD, за теоремою Фалеса маємо: DK = KС. Отже, МK — середня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії трапеції, 2 • МK = ВС + AD. Звідси ВС = 2 • МК - AD, ВС = 2 • 5 - 7 = 3 (см).

Відповідь. 3 см.

333. Нехай а— задана пряма. ML = 10 см, NK = 16 см, МА = AN. Оскільки ML||AB||NK і МА = AN, то за теоремою Фалеса LB = ВС. Отже, AB — середня лінія трапеції MNKL (ML||NK). За властивістю середньої лінії трапеції маємо: , АВ = (10 + 16) : 2 = 13 (см).

Відповідь. 13 см.

334. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), MN— середня лінія, BD і АС — діагоналі, AD = 14 см, ВС = 6 см. За властивістю середньої лінії трапеціїMN = (6 + 14) : 2 = 10(см). Згідно задачі №322, BP = PD і АK = KD. Розглянемо трикутники ABD, BDC, ABC. МР, PN і МK — відповідно їх середні лінії за означенням. Маємо MP = AD : 2 = 14 : 2 = 7 (см), PN = BC : 2 = 6 : 2 = 3 (см), МK = ВK : 2 = 6 : 2 = 3 (см). За аксіомою вимірювання відрізків МР = МK + KР, Р = МР - МK, KР = 7 - 3 = 4 (см).

Відповідь. З см, 4 см, 3 см.

335. Нехай ABCD— трапеція (BC||AD), MN — середня лінія, BD і АС— діагоналі, МK = 7 см, KР = 8 см, PN = 7 см. Згідно задачі №322, DP = РВ і АK = KС. Розглянемо трикутники ABC і ABD. МK і МР — відповідно їх середні лінії за означенням. За аксіомою вимірювання відрізків МР = МK + KР, МР = 7 + 8 = 15 (см). За властивістю середньої лінії трикутника МK = ВС : 2, МР = AD : 2. Звідси ВС = 2 • МK = 2 • 7 = 14 (см), AD = 2 • МР = 2 • 15 = 30(см).

Відповідь. 14 см, 30 см.

336. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (ВС||AD, A = B = 90°), C = 135°, АВ = 6 см, MN— середня лінія. За властивістю середньої лінії трапеції маємо: Оскільки АСCD, то ACD = 90°. Тоді BCD = BCA + ACD, BCA = BCD - ACD, BCA = 135° - 90° = 45°. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника BAC + ABC + BCA = 180°. Звідси BAC = 180° - (ABC + BCA), BAC = 180° - (90°+45°) = 45°. Отже, трикутник ABC рівнобедрений. Звідси АВ = ВС = 6 (см). Проведемо висоту СK і розглянемо трикутник CKD(K = 90°). KCD = BCD - BCK, KCD = 135° - 90° = 45°. Отже, трикутник CKD рівнобедрений, тому СK = KD. АВСK — квадрат за означенням, тому АВ = ВС = СК = АK = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD = 6 + 6 = 12 (см). Отже, MN = (6 + 12) : 2 = 9 (см).

Відповідь. 9 см.

337. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), МK = 4 см, KN = 6 см, BCA = ACD. Згідно задачі №322, АK = KС. Розглянемо трикутники ABC і ACD. МK і KN— відповідно їх середні лінії за означенням, тому МK = ВС : 2, KN = AD : 2. Звідси ВС = 2 • МК = 2 • 4 = 8 (см), AD = 2 • KN = 2 • 6 = 12 (см). BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Оскільки BCA = ACD, то ACD = CAD. Звідси трикутник ADC — рівнобедрений, тобто CD = AD = 12 (см). Маємо P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD, В_ABCD = 12 + 8 + 12 + 12 = 44 (см).

Відповідь. 44 см.

338. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), МK = 3 см, KN = 7 см, BAC = CAD. Згідно задачі №322, АK = KС. Розглянемо трикутники ABC і ACD. МK і KN — відповідно їх середні лінії за означенням, тому МK = ВС : 2, KN = AD : 2. Звідси ВС = 2 • МK = 2 • 3 = 6 (см), AD = 2 • KN = 2 • 7= 14 (см). BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Трикутник ABC рівнобедрений, тому АB = ВС = 6 (см). Маємо Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD, P_ABCD = 6+6 + 6+ 14 = 32 (см).

Відповідь. 32 см.

339. Нехай MNKL — чотирикутник, уписаний в коло, K = 37°, L = 119°. За властивістю чотирикутника, вписаного в коло, маємо: N + L= 180° і M + K = 180°. Тоді N = 180°- L =180°- 119° = 61°, M = 180° - K = 180° - 37° = 143°.

Відповідь. 143°, 61°.

340. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), АВ = а см. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, маємо: BC + AD = AB + CD. Звідси ВС + AD = а + а = 2а. Маємо P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = 2а + 2а = 4а (см).

Відповідь. 4а см.

341. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (BC||AD, A = B = 90°), C = 120°, CD = 8 см, AD = 14 см. Проведемо висоту CK. BCD = BCK + KCD. Звідси KCD = BCD - BCK = 120° - 90° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник CKD (K = 90°). За теоремою про катет, який лежить проти кута 30°, маємо: KD = CD : 2 = 8 : 2 = 4 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD. Звідси АK = AD - KD = 14 — 4 = 10 (см). Оскільки АВ = СK, АВ||CD, то АВСK — паралелограм, у якого є два прямі кути. Тому АВСK— прямокутник. Звідси ВС = АK = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

342. Виконаємо розгортку коробки. Один розріз проведемо через точки С і D, а інший — через точку D і середину сторони MN. Розглянемо прямокутний трикутник APD. У ньому АР = a, PD = 2а. За теоремою Піфагора маємо: AD² = АР² + PD²;Аналогічно Крім того, кути чотирикутника ABCD— прямі й AD = AB. Отже, ABCD — квадрат. Тоді його площа S_ABCD= АВ²,