Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
Завдання для перевірки знань до § 6-11

1. MKFP — трапеція. МK, FP — основи трапеції, FK, МР — бічні сторони трапеції.

2. Уписаний кут удвічі менший за відповідний центральний кут. Отже, вписаний кут становить 70° : 2 = 35°.

Відповідь. 35°.

3. Оскільки ОВ₁ = В₁В₂, А₁В₁||А₂В₂, то за теоремою Фалеса ОА₁ = А₁А₂. За умовою ОА₁ = А₁А₂ = 2 см, тоді за аксіомою вимірювання відрізків ОA₂ = ОА₁ + А₁А₂. Маємо: ОА₂ = 2 + 2 = 4 (см). Отже, ОА₂ = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

4. Нехай ABCD — чотирикутник, уписаний у коло, C = 140°, D = 70°. За властивістю чотирикутника, вписаного в коло, маємо: A + C = 180°, B + D = 180°. Звідси A = 180°- C = 180°- 140° = 40°, B = 180° - D = 180° - 70° = 110°.

Відповідь. 40°, 110°.

5. Нехай ABC — заданий трикутник, АВ = 10 см, ВС = 12 см, АС = 16 см. Оскільки MN, NK, МK — середні лінії, то MN = ВС : 2, NK = АС : 2, МK = АВ : 2. Маємо P_MNK = (MN + NK + MK), Р_MNK = (АВ + ВС + АС) :2, Р_MNK = (10 + 12 + 16) : 2 = = 19(см).

Відповідь. 19 см.

6. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см, а одна основа на 4 см більша за іншу. Нехай одна основа становить х см, тоді інша — (х + 4) см. За властивістю середньої лінії трапеції маємо (х + х + 4) : 2 = 8, х + х + 4 = 16, 2х = 12, х = 6. Тоді менша основа дорівнює 6 см, а більша — 6 + 4 = 10 (см).

Відповідь. 6 см, 10 см.

7. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), P_ABC = 20 см. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, маємо: АВ + CD = ВС + AD. Маємо: P_ABCD = АВ + CD + ВС + AD = 2 • (АВ + CD), 2 • (АВ + CD) = 20, АВ + CD = 10 (см). Оскільки трапеція рівнобічна, то АВ = CD = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

8. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (ВС||AD, А = B = 90°), AD = CD = 12 см, B = 90°. Розглянемо трикутник CKD (K = 90°). За теоремою про суму кутів трикутника CKD + KDC+ KCD = 180°. Звідси KCD = 180° - (CKD + KDC), KCD = 180° - (90° + 60°) = 30°. За теоремою про катет, який лежить проти куга 30°, маємо: KD = CD : 2 = 12 : 2 = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD. Оскільки АВ = СK, АВ||СK, то АВСK — паралелограм, у якого всі кути прямі, а тому АВСКK— прямокутник. Звідси АK = ВС. Тоді ВС = 12 - 6 = 6 (см).

9. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, АВ = CD), МK = 7 см, KN = 9 см, BCA = ACD. Згідно задачі № 322, АK = KС. Розглянемо трикутники ABC і ACD. МK, KN — відповідно їх середні лінії за означенням, тому МК = ВС : 2, KN = AD : 2. Звідси: ВС 2 • МК = 2 • 7 = 14 (см), AD = 2 • KN = 2 • 9 = 18 (см). BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Оскільки BCA = ACD, то ACD = CAD. Звідси трикутник ADC — рівнобедрений, тобто CD = AD = 14 (см). Маємо P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD, P_ABCD = 18 + 14 + 18 + 18 = 68 (см).

Відповідь. 68 см.

10. Нехай ABC — трикутник, BD — медіана, ВK = KL = LM = MD. Проведемо прямі через точки K,L \D паралельно AF: KЕ||LM||MF||DP. Розглянемо кут CBD. За теоремою Фалеса BE = EN = NF = FP = PC. Нехай BE = x, тоді CF = 2x, FB = 3x. Маємо, CF : FB = 2 : 3.

Відповідь. 2 : 3.

11. Нехай ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник (АС = СВ, С = 90°), АВ = (DN + 15) см. Нехай DN = x см, тоді АВ = (х + 15) см. Проведемо висоту СР. За властивістю висоти, проведеної з вершини прямого кута, СР = АВ : 2 = (х + 15): 2. Оскільки DNAB і СРАВ, то DN||CP. Розглянемо кут СВА. Оскільки BD = DC і DN||CP, тоді за теоремою Фалеса BN = NP. Звідси DN— середня лінія трикутника СВР. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: DN = СР : 2, DN = (CP : 2) : 2 = СР : 4. Звідси 4х = х + 15, 3х = 15, х = 15 : 3 = 5 (см). Тоді АВ = 5 + 15 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.