Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 2. Подібність трикутників
§ 13. Подібні трикутники

453.

1) A = M;

2) B = N;

3) C = K.

454.

1) АС : KМ = 2;

2) ВС : LM = 2.

455. MLF - PNK

456. Нехай ДMNL ~ АВС, M = 40°, B = 80°. Оскільки трикутники подібні, то відповідні кути рівні. Звідси M = A = 40°, N = B = 80° і L = C. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: M + N + L = 180°, 40°+ 80° + L = 180°, L = 180° - (40° + 80°) = 60°. Отже, L = C = 60°.

Відповідь. N = 80°, A = 40°, L = C = 60°.

457. Нехай АВС ~ ADEF, A = 30°, F = 90°. Оскільки трикутники подібні, то відповідні кути рівні. Звідси A = D = 30°, C = F = 90° і B = E. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C = 180°, B = 180° - (A + C), B =180°- (30° + 90°) = 60°. Отже, B = E = 60°.

Відповідь. D = 30°, C = 90°, B = E = 60°.

458. Нехай АВС ~ A|₁B₁С₁, АВ = 8 см, А₁В₁ = 2см. Маємо:Оскільки трикутники подібні, то сторони пропорційні. Одержимо: 1) 2)

459. Нехай АВС ~ А₁В₁С₁, АВ = 10, ВС = 8, СА = 6, A₁B₁ = 5. Оскільки трикутники подібні, то. Аналогічно

Відповідь. 4; 3.

460. Нехай KLM ~ K₁L₁M₁, KL = 12, КМ = 9, LM = 21, K₁L₁ = 4. Оскільки трикутники подібні, то. Аналогічно

Відповідь. 3; 7.

461. Нехай АВС ~ А₁В₁С₁, АВ : ВС : АС = 7 : 8 : 9. Нехай AВ = 7х, ВС = 8х, АС = 9х. Аналогічно A₁В₁ : В₁С₁ : A₁С₁ = 7 : 8 : 9.

1) A₁B₁ = 21 см. Маємо: 21 = 7х, х = 3. Тоді В₁С₁ = 3 • 8 = 24(см), A₁С₁ = 3 • 9 = 27 (см);

2) A₁С₁ = В₁С₁ + 5. Маємо: 9х = 8х + 5, х = 5. Тоді А₁В₁ =7 • 5 = 35 (см), В₁С₁ = 5 • 8 = 40 (см), A₁С₁ = 5 • 9 = 45(см);

3) P_A1B1C1 = 48 см, Р_A1B1C1 = A₁В₁ + В₁С₁ + A₁C₁, 5х + 8х + 9x = 48, 24х = 48, х = 2. Тоді A₁В₁ = 2 • 7 = 14 (см), В₁С₁ = 2 • 8 = 16 (см) і A₁С₁ = 2 • 9 = 18(см).

Відповідь. 1) 24 см, 27 см; 2) 35 см, 40 см, 45 см; 3) 14 см, 16 см, 18 см.

462. Нехай АВС~ А₁В₁С₁, АВ : ВС : АС = 5 : 6 : 9. Оскільки трикутники подібні, то А₁В₁ : В₁С₁ : A₁С₁ = 5 : 6 : 9. Нехай А₁В₁ = 5х, В₁С₁ = 6х, A₁С₁ = 9x.

1) A₁С₁ = 18 см. Маємо: 18 = 9x, х = 2. Тоді A₁В₁ = 5 • 2 = 10 (см), ВС = 6 • 2 = 12 (см);

2) A₁В₁ = В₁С₁ - 3. Маємо 5х = 6x - 3, х = 3. Тоді A₁В₁ = 5 • 3 = 15 (см), ВС = 6 • 3 = 18 (см), А₁Сі₁ = 9 • 3 = 27 (см);

3) Р _A1B1C1 = 100 см, Р _A1B1C1 = А₁В₁ + B₁C₁ + A₁C₁, 5х + 6х + 9х = 100, 20x = 100, х = 5. Тоді А₁В₁ = 5 • 5 = 25 (см), B₁С₁ = 5 • 6 = 30 (см) і _A1С1 = 5 • 9 = 45 (см).

Відповідь. 1) 10 см, 12 см; 2) 15 см, 18 см, 27 см; 3) 25 см, 30 см, 45 см.

463. Нехай ABC і А₁В₁С₁ — рівносторонні. Оскільки трикутники рівносторонні, то A = B = C = 60° і A₁ = B₁ = C₁ = 60°. Звідси A = A₁= 60°, B₁= B = 60° і C = C₁ = 60°. Оскільки відповідні кути трикутників рівні, то трикутники подібні.

464. Нехай АВС~ А₁В₁С₁, Р_АВС : P_A1B1C1 = 2 : 3 , АС + А₁С₁ = 20 см, АВ : ВС : АС = 2 : 3 : 4. Оскільки трикутники подібні, то A₁B₁ : В₁С₁ : A₁С₁ = 2 : 3 : 4. Нехай АВ = 2x, BС = 3х, АС =4x. Маємо:Звідси A₁С₁ = (4x • 3) : 2 = 6x. Аналогічно, B₁С₁ = (3х • 3) : 2 = 4,5x, За умовою АС + А₁С₁ = 20, 4x + 6x = 20, 10x = 20, x = 2. Тоді АВ = 2 • 2 = 4 (см), ВС = 3 • 2 = 6 (см), AС = 4 • 2 = 8 (см), A₁B₁ = 3 • 2 = 6 (см), B₁С₁ = 4,5 • 2 = 9 (см) і A₁С₁ = 6 • 2 = 12 (см).

Відповідь. 4 см, 6 см, 8 см і 6 см, 9 см, 12 см.

465. Нехай АВС~ А₁В₁С₁, Р_ABC : P_A1B1C1 = 4 : 3 , AB + A₁B₁ = 21 см, АВ : ВС : АС = 3 : 4 : 5. Нехай АВ = 3x, ВС = 4x і АС = 5x. Маємо:Звідси . Аналогічно . За умовою, x = 4. Тоді AВ = 3 • 4 = 12 (см), BС = 4 • 4 = 16 (см), АС = 5 • 4 = 20 (см), B₁С₁ = 3 • 4 = 12 (см) і

Відповідь. 12 см, 16 см, 20 см і 9 см, 12 см, 15 см.

466. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі. Розглянемо трикутники ВОС і AOD. У них: 1) BOC = AOD як вертикальні; 2) BO = OD, АО = ОС (діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл). Отже, трикутники ВОС i AOD рівні за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Аналогічно ЛОВ = DOC (AOB = DOC, BO= OD, АО = ОС).

Відповідь. ВОС = AOD і ЛОВ = DOC.

467. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), MN— середня лінія, ВО і АО — бісектриси. AKB = CBK як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній ВK. Оскільки BО — бісектриса, то CBK = ABK. Звідси ABK = AKB. Маємо: АВК рівнобедрений (АВ = AK). У рівнобедреному трикутнику бісектриса АО є медіаною, тому BO = OK. Звідси МО — середня лінія трикутника АВK, звідки МО||AD. Через точку М можна провести лише одну пряму, паралельну AD. Отже, точка О∈MN.

468. Нехай ABC — різносторонній трикутник, KL||ВС. Маємо: AKL = ABC як відповідні кути при паралельних прямих KL і ВС та січній AB. ALK = ACB як відповідні кути при паралельних прямих KL і ВС та січній АС.

469. Нехай ABC — трикутник, K∈АВ, L∈AC, Якщо б точка О ділила відрізки BL і KС навпіл, то чотирикутник BKLC мав би бути паралелограмом за властивістю. За означенням паралелограма BK||LC, що неможливо, бо і АВ та АС — сторони трикутника.

Відповідь. Ні.