Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 2. Паралелограм, його властивості й ознаки

34. Паралелограмом є чотирикутник на малюнках 24, 27,28.

35. ABCD — паралелограм, у якого кут AD — тупий.

36. KLMN— паралелограм, у якого кут АK — гострий.

37. У паралелограма протилежні сторони рівні, тому інша сторона дорівнює 5 см.

Відповідь. 5 см.

38. Нехай задано паралелограм, у якого один з кутів дорівнює 70°. За властивістю паралелограма (сума сусідніх кутів дорівнює 180°), сусідній кут до даного становить 180° - 70° = 110°. Врахувавши, що у паралелограма протилежні кути рівні, одержимо такі кути: 110°, 70°, 110°.

Відповідь. 110°, 70°, 110°.

39. Нехай задано паралелограм, у якого один з кутів дорівнює 100°. За властивістю паралелограма (сума сусідніх кутів дорівнює 180°), сусідній кут до даного становить 180° - 100° = 80°, а протилежний кут дорівнює даному й становить 100°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°.

40. Нехай задано паралелограм, у якого одна сторона рівна 12 см, тоді інша сторона дорівнюватиме 12 + 3 = 15 (см). Звідси Р = 2 • (12 + 15) = 2 • 27 = 54 (см).

Відповідь. 54 см.

41. Нехай задано паралелограм, у якого одна сторона дорівнює 18 см, тоді інша сторона дорівнюватиме 18 : 2 = 9 (см). Тому Р = 2 • (18 + 9) = 2 • 27 = 54 (см).

Відповідь. 54 см.

42.

1) Нехай задано паралелограм, у якого сума двох кутів дорівнює 120°. Оскільки сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то дані кути є протилежними. Звідси АА + АС = 120°. Протилежні кути у паралелограма рівні, тому А = C = 120° : 2 = 60°. Тоді В = AD = 180° - 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°.

2) Нехай задано паралелограм і нехай А = х. Оскільки протилежні кути рівні, тому АВ = х + 20°. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо рівняння: х + х + 20° = 180°, звідки 2х = 180° - 20°; 2х = 160°; х = 80°. Тоді АВ = 80° + 20° = 100°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°.

3) Нехай задано паралелограм і нехай А = х. Оскільки протилежні кути рівні, то АВ = 3х. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо х + 3х = 180°, звідки 4х = 180°; х = 180° : 4 = 45°. Тоді АВ = 3 • 45° = 135°.

Відповідь. 45°, 135°, 45°, 135°.

4) Нехай задано паралелограм. Оскільки протилежні кути рівні, то А : В = 2 : 3. Тоді А = 2х, В = 3х. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо рівняння: 2х + 3х =180°; 5х = 180°; х = 180° : 5 = 36°. Тоді A = 2 • 36° = 72°, B = 3 • 36° = 108°.

Відповідь. 72°, 108°, 72°, 108°.

43.

1) Нехай задано паралелограм, у якого сума двох кутів дорівнює 180°. Оскільки сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то дані кути є протилежними. Звідси B + D = 200°. Протилежні кути у паралелограма рівні, тому B = D = 200° : 2 = 100°. A = B = 180° - 100° = 80°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°.

2) Нехай задано паралелограм і нехай B = х. Оскільки протилежні кути рівні, то A = x - 40°. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо х + x - 40° = 180°. Звідси 2х = 180° + 40°; 2х = 220°; x = 110°. Тоді A = 110° - 40° = 70°.

Відповідь. 70°, 100°, 70°, 100°.

3) Нехай задано паралелограм і нехай A = х. Оскільки протилежні кути рівні, то B = 2х. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо х + 2х = 180°. Звідси 3x = 180°; х = 180° : 3 = 60°. Тоді B = 2 • 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°.

4) Нехай задано паралелограм. Оскільки протилежні кути рівні, то A : B = 4 : 5. Тоді A = 4х, B = 5x. Враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює 180°, одержуємо: 4х + 5х = 180°; 9х = 180°; x = 180° : 9 = 20°. Тоді A = 4 • 20° = 80°, B = 5 • 20°= 100°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°.

44. Нехай ABCD — паралелограм, BAD = 80°, ACD = 50°. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°. Звідси ABC= 180° - 80° = 100°. Тоді BAD = BCD як протилежні кути. За аксіомою вимірювання кутів BCD = ACB + ACD, ACB = 80° - 50° = 30°.

Відповідь. 100°, 30°.

45. Нехай ABCD— паралелограм, BAC = 35°, ACB = 40°. За теоремою про суму кутів трикутника ABC + BAC + ACB = 180°. Звідси ABC = 180° - BAC - ACB, ABC = 180° - 35° - 40° = 105°. За властивістю паралелограма BAD — сусідній до кута ABC, тому BAD = 180° - 105° = 75°.

Відповідь. 75°, 105°, 75°, 105°.

46.

Малюнок 30. У паралелограма протилежні сторони паралельні, а діагональ є січною. Позначені кути 45° і 50° є внутрішніми різносторонніми, тому мають бути рівними.

Малюнок 31. У паралелограмі діагоналі в точці перетину діляться навпіл, тому BO = OD. Але ВО = 5, a OD = 4. Отже, такого паралелограма не існує.

Малюнок 32. У паралелограмі сума сусідніх кутів становить 130°+ 60° = 190° ≠ 180°. Отже, такого паралелограма не існує.

47.

1) Нехай одна зі сторін паралелограма дорівнює х см, тоді інша — (х + 4) см. За умовою Р = 40 см, тоді 2 • (х + х + 4) = 40; 4х = 32; х = 8. Отже, одна сторона дорівнює 8 см, інша — 8 + 4 = 12 (см).

Відповідь. 8 см, 12 см.

2) Нехай одна сторона паралелограма становить 3х см, а інша— 7х см. За умовою Р = 40 см, тоді 2 • (3х + 7х) = 40; 2 • 10х = 40; 20х = 40; х = 2. Отже, одна сторона дорівнює 3 • 2 = 6 (см), інша — 7 • 2 = 14 (см).

Відповідь. 6 см, 14 см.

48.

1) Нехай одна сторона паралелограма дорівнює х дм, тоді інша — (х - 2) дм. За умовою Р = 36 дм, тоді 2 • (х + х - 2) = 36; 4х = 40; х = 10. Отже, одна сторона дорівнює 10 дм, інша — 10 - 2 = 8 (дм).

Відповідь. 10 дм, 8 дм.

2) Нехай одна зі сторін паралелограма дорівнює х дм, тоді інша — 5х дм. За умовою Р = 36 дм, 2 • (х + 5х) = 36; 12х = 36; х = 3. Отже, одна сторона дорівнює 3 дм, інша — 5 • 3 = 15 (дм).

Відповідь. 3 дм, 15 дм.

49. Нехай ABCD— паралелограм, 50 = 20 см, АВ = 15 см, P _AOB = 32 см. Оскільки діагоналі в точці перетину діляться навпіл, тому BO = OD = 20 : 2= 10 см. Р_AOB = АО + ВО + АВ = 32см;AO + 10 + 15 = 32; AO = 32 — 10 - 15; АО = 7 см. Маємо АС = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

50. Нехай ABCD — чотирикутник, у якому 1 = 2, 3 = 4. 1 і 2 — внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині прямих AD і ВС січною АС. Згідно умови 1 = 2, тому за ознакою паралельності прямих маємо, що AD||BC. 3 і 4 — внутрішні різносторонні кути, утворені при перетині прямих AB і CD січною АС. Згідно умови 3 = 4, тому за ознакою паралельності прямих маємо AB||CD. У чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні, тому за означенням паралелограма ABCD — паралелограм.

51. Нехай ABCD — чотирикутнику, АВС = CDA. З рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів (сторін, кутів), тобто 1 = 2 і 3 = 4. Із доведеного у задачі № 50 одержуємо, що ABCD — паралелограм.

52. План виконання побудови. Нехай задано сторони AB і AD та кут А₁. Проводимо пряму m, на ній позначаємо довільну точку А. Від точки А на прямій m будуємо кут, рівний заданому. У заданому куті M₁A₁N₁ ставимо ніжку циркуля в точку А₁ і будуємо коло радіуса A₁N₁. На прямій m від точки А проводимо коло радіуса A₁N₁, а точку перетину з прямою позначаємо N. Тоді від точки N проводимо коло радіуса M₁N₁. Дані кола перетнуться в точці М Проводимо промінь AM. На прямих m і AM від точки А відкладаємо відповідно відрізки AD і АВ. Проводимо n m. Для цього будуємо коло з центром у точці В, яке перетне пряму т у точках R і S. Проводимо кола радіуса більшого за SL з центрами в точках R і S. З’єднуємо точку В з точкою перетину кіл — точкою F. Аналогічно проводимо через точку В пряму l таку, що l n. Будуємо коло радіуса AD з центром у точці В, яке перетне пряму l у точці С. ABCD — чотирикутник, у якого A = A₁, AD = ВС і AD у ВС, АВ = DC, АВ || DC. ABCD — шуканий паралелограм.

53. План виконання побудови. Нехай AB, AD, BD — задані сторони. Побудуємо ABD за трьома сторонами. Проводимо пряму m, на ній позначаємо довільну точку А. Від точки А відкладаємо відрізок AD. Будуємо коло з центром в точці А радіуса АВ та коло з центром в точці D радіуса BD. Точка В — точка перетину даних кіл. Проводимо nm. Для цього будуємо коло з центром у точці В, яке перетне пряму m у точках R і S. Проводимо кола радіуса, більшого за SL, з центрами в точках R і S. З’єднуємо точку В з точкою перетину кіл — точкою F. Аналогічно проводимо lnчерез точку В. Будуємо коло радіуса AD з центром у точці В, яке перетне пряму l у точці С. З’єднуємо точки С і D. ABCD чотирикутник, у якого AD = ВС і AD || ВС, АВ = DC, АВ || DC, BD — діагональ. Отже, ABCD — шуканий паралелограм.

54. Нехай ABCD — паралелограм, AKB = 48°, АK — бісектриса. AKB = KAD = 48° як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АK. Звідси BAD = 2 • KAD = 2 • 48° = 96°. Тоді ABC = 180° - 96° = 84°. Оскільки протилежні кути паралелограма рівні, одержимо: A = C = 96°, B = D = 84°.Відповідь. 84°, 96°, 84°, 96°.

55. У паралелограмі ABCD ВМ = 5 см, МС = 7 см, AM — бісектриса. AMB = MAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній AM. ААВМ— рівнобедрений, тому АВ = ВМ = 5 см. Тоді AD = ВС = ВМ + МС = 5 + 1 = 12 (см). Маємо: P_ABCD = 2 • (5 + 12) = 2 • 17 = 34(см).

Відповідь. 34 см.

56. Нехай ABCD— паралелограм, АВ = 4 см, ВС = 12 см, АР— бісектриса. APB = PAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АР. ААВР — рівнобедрений, тому АВ = ВР = 4 см. Тоді сторона РС = ВС —ВР = 12 - 4 = 8(см).

Відповідь. 4 см, 8 см.

57. План виконання побудови. Припустимо, що паралелограм ABCD побудований. У ньому відомі сторона AD і діагоналі АС і BD. Оскількито задача звелася до побудови AOD за трьома сторонами. Проводимо пряму mт, на ній позначаємо довільну точку А. Від точки А відкладаємо відрізок AD. Будуємо коло з центром в точці А радіуса АО та коло з центром в точці D радіуса DO. Точка О — точка перетину даних кіл. На промені АО відкладаємо ОС = АО, а на промені DO відкладаємо OB = DO. З’єднавши послідовно точки А з В, В з С і С з D, одержимо ABCD — шуканий паралелограм.

58. План виконання побудови. Припустимо, що паралелограм ABCD побудований. У ньому відомі діагоналі АС, BD і COD. Проводимо пряму m і позначаємо довільну точку О. Побудуємо кут, рівний заданому. У заданому куті M₁O₁N₁ ставимо ніжку циркуля в точку О, і будуємо коло радіуса O₁N₁. На прямій m від точки О проводимо коло радіуса O₁N₁, яке перетне пряму m у точці N. Тоді від точки на прямій m проводимо коло радіуса M₁N₁ Дані кола перетнуться у точці М. Проводимо промінь ОМ. На прямих m і ОМ від точки О відкладаємо відповідно відрізкиПроводимо доповняльні промені до відрізків OD і ОС. Відкладаємо на них відповідно відрізки BO = OD і АО = ОС. Послідовно з’єднуємо точки А, В, С, D. ABCD — шуканий паралелограм.

59. Нехай ABCD — паралелограм, M∈AD, K∈ВС, ABM= CDK. Розглянемо ABM і CDK. У них: 1) BAM = KCD як протилежні кути паралелограма; 2) АВ = DC як протилежні сторони паралелограма; 3) ABM = CDK за умовою. Отже, ABM = CDK за другою ознакою рівності трикутників (за стороною та двома прилеглими до неї кутами). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи, тому AM = KС і ВK = MD. Оскільки ВL і MD лежать на паралельних прямих, тому BK||MD. За ознакою паралелограма MBKD — паралелограм.

60. Нехай A BCD — паралелограм, M∈AD, M∈ВС, AM = KС. Із означення паралелограма BC||AD, тому BK||MD як відрізки, які лежать на паралельних прямих. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС, AD = AM + MD. Враховуючи, що ВС = AD і AM = KС, маємо ВK = MD. Оскільки BK||MD і ВK = MD, то за ознакою паралелограма MBKD — паралелограм.

61. Нехай ABCD — паралелограм, АО, ВО — бісектриси. Оскільки АО і ВО — бісектриси відповідно кутів BAD і ABC, то маємо DAO = BAO і ABO = OBC. Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, тому BAD + DAB = 180°. За аксіомою вимірювання кутів маємо BAO + OAD + ABO + CBO = 180°. Звідси 2 • BAO + 2 • ABO = 180°, BAO + ABO= 90°. За теоремою про суму кутів трикутника BAO + ABO + BOA = 180°. Звідси BOA = 180° - (BAO + ABO) = 90°.

62. Нехай ABCD — паралелограм, A = 60°, ВK — висота, А K = 3 см, KD = 5 см. Розглянемо АKВ (AKB = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ABK= 90° - 60° = 30°. Згідно теореми про катет, що лежить проти кута 30°, маємо:Звідси АВ = 2АK, АВ = 2 • 3 = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків: AD = АK + KD, AD = 3 + 5 = 8 (см). Периметр дорівнює P_ABCD = 2(AB + AD), P_ABCD = 2(6 + 8) = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

63. Нехай ABCD — паралелограм, B = 120°, ВK — висота, АВ = 6 см, АK = KD. Розглянемо АKВ (AKB = 90°). Оскільки ВK — висота, то KBC = 90°. Тоді за аксіомою вимірювання кутів ABC = ABK + KBC, ABK = ABC - KBC = 120° - 90° = 30°. Згідно теореми про катет, що лежить проти кута 30°, маємо: Тоді AD = 2 • АK = 6 (см). Отже, P_ABCD = 2 • (6 + 6) = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

64. Нехай ABCD— паралелограм, LAK = 140°, АK і AL— висоти. Оскільки АK і AL — висоти, то АK ВС, AL DC. Тому KAD = 90° і BAL = 90°. У чотирикутнику AKCL: KCL = 360° - (KAL + AKC + ALC), KCL = 360°- (140° + 90° + 90°) = 40°. Протилежні кути паралелограма рівні, тому BAD = KCL = 40°.

Відповідь. 40°.

65. Нехай ABCD — паралелограм, MBN = 70°, ВМ і BN— висоти. ADC = ABC як протилежні кути паралелограма Оскільки ВМ і BN— висоти, то ВМ AD, BNDC. Тому MBC = 90° і ABN = 90°. За аксіомою вимірювання кутів маємo: ABC = ABM + MBN + NBC. Оскільки ABM = ABN -MBN = 90° - 70° = 20°, CBN = CBM - MBN = 90° - 70° = 20°, тоді ABC= 20° + 70° + 20° = 110°.

Відповідь. 110°.

66. Нехай ABCD — паралелограм, BK — бісектриса, АK = KD = 1 см, P_ABCD = 40 см. Нехай АK = х см, тоді KD = (х - 1) см. CBK = AKB як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD, ВС і січній ВК. Оскільки ABK = AKB, то АВАК — рівнобедрений. Звідси АВ = АK = х см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АK + KD, AD = x + x -1 = (2х - 1)см. За умовою Р_ABCD = 2 • (х + 2х - 1) = 40 (см). Звідси 6х - 2 = 40, 6х = 42, х = 7 (см). Тоді АВ = 7 см, AD = 2 • 7 - 1 = 13 (см).

Відповідь. 7 см, 13 см, 7 см, 13 см.

67. Нехай A BCD — паралелограм, АK — бісектриса, ВK : KС = 3 : 7, P_ABCD = 78 см. Нехай ВK = 3х см, тоді KС = 7x см. AKB = KAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD та січній АK. Оскільки BAK = KAB, то АВK — рівнобедрений, тому АВ = ВK = 3х. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KС, ВС = 3х + 7х = 10х. За умовою P_ABCD = 78 см, тоді 2 • (3х + 10х) = 78, 26х = 78, х = 3. Маємо АВ = 3 • 3 = 9 (см), тоді BС = 10 • 3 = 30 (см).

Відповідь. 9 см, 30 см, 9 см, 30 см.

68.

1) Нехай ABCD— паралелограм, ВK, ВМ — висоти, A : B = 5 : 7. Нехай A = 5х, тоді B = 7x. Сума сусідніх кутів паралелограма становить 180°, тому 5х + 7х = 180°, 12х = 180°, х= 15°. Маємо A = C= 5 • 15° = 75°, B = D = 7 • 15° = 105°. Оскільки ВK і ВМ — висоти, то BKD = BMD = 90°. Розглянемо чотирикутник KBMD. Сума кутів у чотирикутнику дорівнює 360°. Отже, BKD + KDM + BMD + MBK = 360°, MBK = 360° - 90° - 105° - 90° = 75°.

Відповідь. 75°;

2) нехай ABCD— паралелограм, АK і AM— висоти, A : B = 5 : 7. Нехай A = 5х, B = 7х. Сума сусідніх кутів паралелограма становить 180°, тому 5х + 7х = 180°, 12х = 180°, х= 15°. Маємо A = C = 5 • 15° = 75°, B = D = 7 • 15° = 105°. Оскільки АK і AM — висоти, то АKВ = AMD = 90°. Розглянемо чотирикутник АКСМ. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Отже, KАМ+ AMD + МСK + АKС = 360°, KАМ = 360° - 90° - 75° - 90° = 105°.

Відповідь. 105°.

69.

1) Нехай ABCD— паралелограм, ВK і ВМ— висоти, В = А + 12°. Нехай А = х, тоді В = х + 12°. Оскільки сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, тоді А + В = 180°, х + х +12° = 180°, 2х = 168°, х = 84°. Маємо А = С = 84°, В = D = 96°. Оскільки АK і AM— висоти, то АKВ = AMD = 90°. Розглянемо чотирикутник АKСМ. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Отже, KАМ + AMD + МСK + АKС = 360°, KАМ = 360° - 90° - 84° - 90° = 96°.

Відповідь. 96°;

2) Нехай ABCD— паралелограм, ВK, ВМ— висоти, В = А + 12°. Нехай А = х, тоді В = х + 12°. Оскільки сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°, то А + В = 180°, x + х + 12° = 180°, 2х = 168°, x = 84°. Маємо: А = 84°, В = 84° + 12° = 96°. Оскільки ВK і ВМ— висоти, то BKD = BMD = 90°. Розглянемо чотирикутник KBMD. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Отже, BKD + KDM + BMD + МВK = 360°, МВK = 360° - 90° - 96° - 90° = 84°.

Відповідь. 84°.

70. Доведення подано в підручнику.

71. За властивістю про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: 1) 90° - 20° = 70°; 2) 90° - 65° = 25°

.

72. Одна зі сторін трикутника має бути менша за суму двох інших сторін. Звідси х < 7,2 + 2,5; x < 9,7. Отже, х = 9.

Відповідь. 9 см.

73. Нехай ABC— заданий трикутник. Нехай ВАС = х, тоді BCD = 2х. Тоді АСВ = 180°- 2х як кут, суміжній до кута BCD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: АВС + АСВ + BAC = 180°. Звідси АВС = 180° - x - (180°- 2х) = 180° - х - 180° + 2х = х. Оскільки кути ВАС і ABC при основі АВ рівні, то ABC — рівнобедрений.

74. Нехай ABCD — заданий чотирикутник, у якого А = 60°, В = 6 см, ВС = 4 см, CD = 2 см і AD = 6 см. Оскільки у трикутнику ABD бічні сторони рівні (AB = AD), а кут при вершині дорівнює 60°, то ABD — рівносторонній. Звідси BD = 6 см. У трикутнику BCD сторона BD має бути меншою за суму двох інших сторін (ВС + CD). Маємо 6 < 4 + 2 — хибна нерівність. Отже, чотирикутник з такими даними побудувати не можна.

75.

1) Р = 2 • (а + b), Р = 2 • (5 + 7) = 2 • 12 = 24 (см), S = a • b, S = 5 • 7 = 35 (см²);

2) P = 2 • (a + 6), 2 дм = 20 см. Р = 2 • (20 + 14) = 2 • 34 = 68(см), S = a • b, S= 20 • 14 = 280(см²).

Відповідь. 24 см, 35 см²; 68 см, 280 см².

76. Див. рис.