Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників
§18. Теорема Піфагора

629. 2); 4); 6).

630. 1) EF² = ЕР² + PF², 2) ЕР²= EF² — PF².

631.

1)

2)

Відповідь. 1) 10 см; 2) 37 см.

632.

1)

2)

Відповідь. 1) 13 см; 2)17 см.

633.

1)

2)

Відповідь. 1)15 см; 2) 24 см.

634.

1).

2)

Відповідь. 1) 24 см; 2) 9 см.

635. Оскільки потрібно знайти менший із катетів, то за теоремою Піфагора маємо:

Відповідь.

636. Оскільки потрібно знайти гіпотенузу, то за теоремою Піфагора маємо:

Відповідь.

637. Діагональ відтинає у прямокутника два рівні між собою прямокутні трикутники. У трикутнику один катет дорівнює 6 см, а інший — 8 см. За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу:

Відповідь. 10 см.

638. Діагональ відтинає у прямокутника два рівні між собою прямокутні трикутники. У трикутнику гіпотенуза дорівнює 13 см, а катет — 12 см. За теоремою Піфагора знайдемо другий катет:

Відповідь. 5 см.

639. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник, ВМ— висота, АВ = ВС = 15 см, ВМ = 12 см. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (М = 90°). За теоремою Піфагора,, MС = 9 (см). Тоді АС = 2 • МС, АС = 2 • 9 = 18 (см).

Відповідь. 18 см.

640. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник, ВМ— висота, АС = 16 см, ВМ = 15 см. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За теоремою Піфагора ВС² = ВМ² + МС². Маємо: МС = АС : 2 = 16 : 2 = 8 (см),

Відповідь. 17 см.

641. Нехай ABCD — ромб, BD і АС — діагоналі, BD = 24 см, АС = 70 см. Розглянемо прямокутній трикутник AOD (O = 90°). За властивістю діагоналей ромба DO = BD : 2 = 24 : 2 = 12 (см), АО = АС : 2 = 70 : 2 = 35 (см). За теоремою Піфагора AD² = АO² + DO²,

Відповідь. 37 см.

642. Нехай ABCD— ромб, BD = 10 см, AD = 13 см. Розглянемо прямокутний трикутник AOD (O = 90°). За властивістю діагоналей ромба DO = BD : 2, DO = 10 : 2 = 5 (см). За теоремою Піфагора AO² = AD² - OD². Маємо: Тоді AС = 2 • АО = 2 • 12 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

643. Нехай ABCD — квадрат, АС — діагональ.Розглянемо трикутник ADC (D = 90°). За теоремою Піфагора AC² = AD² + CD². Маємо:, 18 = 2 • AD², AD² = 9, AD =3 (см).

Відповідь. З см.

644. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 7 см, ВС = 8 см, AM — медіана. За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника ACM маємо: АМ² = АС² + СМ². Оскільки CM = ВС : 2 = 8 : 2 = 4 (см), то

Відповідь.

645. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 6 см, ВС = 9 см, AM — медіана. За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника ВСМ маємо: ВМ² = МС² + ВС². Оскільки МС = АС : 2 = 6 : 2 = 3 (см), то

Відповідь.

646. Нехай АВ — дотична, ОВ = 2 см, АВ = 7 см. За властивістю радіуса проведеного в точку дотику, OBАВ. Розглянемо прямокутний трикутник АВО. За теоремою Піфагора AО² = ОВ² + АВ². Маємо

Відповідь.

647. Нехай МР — дотична, ОР = 3 см, ОМ = 6 см. За властивістю радіуса проведеного в точку дотик, OPМР. Розглянемо прямокутний трикутник ОРМ. За теоремою Піфагора ОМ² = OP² + РМ². Маємо:,

Відповідь.

648. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо:

1) 25² = 15² + 20², 625 = 225 + 400, 625 = 625. Отже, трикутник із заданими сторонами є прямокутним;

2) 6² = 4² + 5², 36 = 16 + 25, 36 ≠ 41. Отже, трикутник із заданими сторонами не є прямокутним.

649. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо:

1) 9² = 5² + 6², 81 = 25 + 36, 81 ≠ 61. Отже, трикутник із заданими сторонами не є прямокутним;

2) 34² = 16² + 30², 1156 = 256 + 900, 1156 = 1156. Отже, трикутник із заданими " сторонами є прямокутним.

650. Нехай АВ — хорда, ОВ — радіус, ОВ = 13 см, А В = 10 cм. Трикутник АОВ — рівнобедрений. (АО = ВО як радіуси). Тому ОМ — медіана. Звідси МВ = АВ : 2 = 10 : 2 = 5 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ОМВ (M = 90°). За теоремою Піфагора ОВ² = ОМ² + MB². Маємо: ОМ² = ОВ² - MB²,

Відповідь. 12 см.

651. Нехай АВ—хорда, ОВ — радіус, АВ = 16см, ОМ = 6 см. Трикутник АОВ—рівнобедрениий (АО = ВО як радіуси), тому ОМ— медіана. Звідси МВ = АВ : 2 = 16 : 2 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ОМВ (M = 90°). За теоремою Піфагора ОВ² = ОМ² + MB². Маємо

Відповідь. 10 см.

652. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°).

1) АС = 5 см, ВС = 6 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². Маємо:

2) AB = 6 см, ВС = 5 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². Маємо: 3) АВ = 6 см, ВС = 5 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². Маємо:

Відповідь.або

653. Нехай АВС — прямокутний трикутник (C = 90°). За теоремою Піфагора АВ^{2 =} АС² + ВС².

1) Якщо АВ = 5 см, АС = 2 см, то

2) Якщо АС = 2см, ВС = 5 см, то

Відповідь. або

654. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС : ВС = 1 : 24, АВ = 50 см. Нехай АС = 7x см, ВС = 24х см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². 50² = (7x)² + (24x)², 2500 = 49x² + 576x², 625x² = 2500, x = 4, x = 2. Звідси АС = 7 • 2 = 14 (см), ВС = 24 • 2 = 48 (см). Маємо: Р_АВС = АВ + ВС + СА, Р_АВС = 50 + 48 + 14 = 112 (см).

Відповідь. 112 см.

655. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС : АВ = 8 : 17, ВС = 30 см. Нехай АС = 8x см, AВ = 17x см. За теоремою Піфагора одержимо: АВ² = АС² + ВС². (17х)² = (8x)² + 30², 289лx² = 64x² + 900, 225x² = 900, x² = 4, x = 2. Звідси АС = 8 • 2 = 16 (см), АВ = 17 • 2 = 34 (см). Маємо P_ABC = AВ + ВС + AС, Р_ABC = 34 + 30 +16 = 80 (см).

Відповідь. 80 см.

656.

1) Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), CM = 5, MB = 11, АМ = 13. Із прямокутного трикутника ACM (C = 90°), за теоремою Піфагора АС² = АМ² - СМ², АС² = 13² - 5², АС² =169 - 25, АС² = 144, АС = 12(см). Із прямокутного трикутника АСВ, (за теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ = 12² + (5 + 11 )², АВ² = 144 + 256, АВ² = 400, АВ = 20.

Відповідь. 20;

2) нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 6, АВ = 10, BCD = 60°. Із прямокутного трикутника АСВ (C = 90°), за теоремою Піфагора ВС² = АВ² - АС², ВС²= 10² - 6², ВС² = 100 - 36, ВС² = 64, ВС = 8 (см). Із прямокутного трикутника CBD (B = 90°), за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника CDB = 90° - BCD = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: ВС = CD : 2. Звідси CD = 2 • ВС = 2 • 8 = 16. Відповідь. 16;

3) нехай ABC, ABD — прямокутні трикутники відповідно з прямими кутами АСВ і ABD, АС = 1, ВС = 3, BD =2. З трикутника АСВ за теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = 1² + 3² = 10,.3 трикутника ABD за теоремою Піфагора AD² = АВ²+ BD²,

Відповідь.;

4) нехай ABCD— прямокутна трапеція (A = B = 90°, BC||AD), AB = 12, ВС = 10, AD = 15. Проведемо висоту CM. Оскільки ABCD— прямокутник, то MD = AD - АМ= AD - ВС, MD = 15 - 10 = 5. Розглянемо прямокутний трикутник CMD (M = 90°), у якому MD = 5, СМ = АВ = 12. За теоремою Піфагора CD² = СА² + MD², CD² = 12² + 5², CD² = 144 + 25 = 16, CD = 13.

Відповідь. 13.

657.

1) Нехай АСВ і ACD— прямокутні трикутники з відповідно прямими кутами АСВ і ACD, AD = 10, АВ = 17, ВС = 15. Із трикутника АСВ, за теоремою Піфагора АС² = АВ² - ВС²,, АС = 8. З трикутника ACD за теоремою Піфагора DC² = AD² - АС²,

Відповідь. 6;

2) нехай ADC і АСВ — прямокутні трикутники з відповідно прямими кутами ADC і АСВ, AD = 3, CD = 4, CAB = 60°. З трикутника A DC за теоремою Піфагора АС² = AD² + CD², АС² = 9² + 4² = 9 + 16 = 25, АС = 5. З трикутника АСВ за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ABC = 90° - CAB = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, одержимо: АС = АВ : 2. Звідси АВ = 2 • АС = 2 • 5 = 10.

Відповідь. 10.

658. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 6 см, АВ - АС = 2 см. Нехай АС = х см, тоді АВ = (x + 2) см. За теоремою Піфагора АВ²= АС² + ВС². Маємо: (х + 2)² = х² + 6², x² + 4х + 4 = х² + 36, 4х = 32, х = 8. Звідси АС = 8 см, АВ = 8 + 2 = 10 (см). Маємо Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 10 + 6 + 8 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

659. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 5 см, АВ - АС= 1 см. Нехай АС = х см, тоді АВ = (х + 1) см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС². Маємо: (х + 1)² = х² + 5², х² + 2х + 1 =х² + 25, 2х = 24, х = 12. Звідси АС = 12 см, АВ = 12 + 1 = 13 (см). Маємо = АВ + ВС + АС, Р_АВС = 13 + 5 + 12 = 30 (см).

Відповідь. 30 см.

660. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C > 90°), АВ = 17 см, ВK — висота, ВK = 15 см. Розглянемо прямокутний трикутник ВKА (K = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = ВK² + АK². Тоді:, З прямокутного трикутника ВKС за теоремою Піфагора KС² = ВС²- ВK²,За аксіомою вимірювання відрізків KС = АK + АС. Звідси АС = KС - АK, АС = 36 - 8 = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

661. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C > 90°), ВK — висота, АВ = 20 см, ВС = 13 см, СK = 5 см. Розглянемо прямокутний трикутник ВKС (K = 90°). За теоремою ВK² = ВС² - KС². Маємо ВK² = 2З² - 5² = 169 - 25 = 144, ВK = 12 см. Із прямокутного трикутника ВKА, за теоремою Піфагора KА² = АВ² - ВK². Маємо KА² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256, КKА = 16 см. За аксіомою вимірювання відрізків KА = KС + АС. Звідси АС = KА - KС, АС = 16 - 5 = 11(см).

Відповідь. 11 см.

662. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AM — висота, АМ = 5 см, ВМ = 12 см. Розглянемо прямокутний трикутник AMВ. За теоремою Піфагора АВ²= AM² + ВМ², АВ² = 5² + 12² = 25+ 144 = 169, АВ = 13 см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = ВС = ВМ + МС. Звідси МС = АВ - ВМ, МС = 16 - 12 = 1 (см). З прямокутного трикутника (M = 90°) за теоремою Піфагора АС² = AM² + МС², АС² = 5² + 1² = 25 + 1 = 26,

Відповідь.

663. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = АС), ВK — висота, АK = 24 см, KС = 1 см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = АK + KС, АС = АВ = 24 + 1 = 25 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (K = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = АK² + ВKК². Маємо ВK² = АВ² - АK², ВK² = 25² - 24², ВK² = 625 - 576, ВK² =49, ВK = 7 (см). З прямокутного трикутника ВKС (K = 90°) за теоремою Піфагора ВС² = ВK² + KС². Маємо:

Відповідь,

664. Нехай ABCD— паралелограм, АС і BD— діагоналі, BD = 8 см, АС = 10 см, DDC. За властивістю діагоналей прямокутника ОС = АС : 2 = 10 : 2 = 5 (см), OD = BD : 2 = 8 : 2 = 4 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ODC (D = 90°). За теоремою Піфагора DC² = OD² + CD². Маємо: DC²= ОС² - OD², DC² = 5² - 4², DC²= 25 - 16 = 9, DC = 3 (см). АС² + DB²= 2DC² + 2AD², 100 + 64 = 2 • 9 + 2AD², 2AD² = 164 - 18, AD² = 73,

Відповідь. 3 см,

665. Нехай ABC— тупокутний рівнобедрений трикутник (B > 90°, АВ = ВС), R = 37 см, AС = 70 см. Проведемо висоту ВМ до перетину з центром кола. Оскільки трикутник ABCрівнобедрений, то ВМ— медіана. Звідси МС = АС : 2 = 70 : 2 = 35 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ОМС (M = 90°). За теоремою Піфагора ОС² = ОМ² + МС², Маємо: ОМ² = ОС² - МС²,=За аксіомою вимірювання відрізків ВО = ВМ + ОМ, ВМ = ВО - ОМ = 37 - 12 = 25 (см). З прямокутного трикутника ВМС (M= 90°) за теоремою Піфагора ВС² = ВМ² + МС². Маємо:

Відповідь.

666. Нехай ABC — гострокутний рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), ВМ — висота, ВМ = 18 см, R= 13 см. Радіус кола, описаного навколо трикутника, міститься в точці перетин бісектрис, то точка О∈ВМ (ВМ — медіана, висота і бісектриса). Маємо: ВО = СО = 13 см. За аксіомою вимірювання відрізків ОМ = ВМ - ВО, ОМ = 18 -13 = 5 (см). З прямокутного трикутника ОМС (M = 90°) за теоремою Піфагора СО²= ОМ² + МС². Тоді маємо: З прямокутного трикутника BMC (M= 90°) за теоремою Піфагора ВС² = ВМ² + МС². Маємо:

Відповідь.

667. Число 13 можна подати у вигляді суми квадратів двох чисел, 13 = 9 + 4, . Щоб побудувати відрізок завдовжкипотрібно побудувати прямокутний трикутник з катетами 3 см і 2 см, гіпотенуза якого дорівнюватимеАС = 3 см, ВС = 4 см,

668. Число 10 можна подати у вигляді суми квадратів двох чисел, 10 = 9 + 1, . Щоб побудувати відрізок завдовжкипотрібно побудувати прямокутний трикутник з катетами 3 см і 1 см, гіпотенуза якого дорівнюватиме АС = 1 см, ВС = 3 см,

669. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), AM —бісектриса, CM = 10 см, ВМ = 26 см. За властивістю бісектриси трикутника . Нехай АС = 5х см, тоді АВ = 13xсм. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = СМ + ВМ, BС = 10 + 26 = 36 (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ = АС² + ВС². (13х)² = (5х)² + 36², 169.x² = 25x² + 1296, 144х² = 1296, х² = 9, х = 3. Звідси АС = 5 • 3 = 15 (см), АВ = 13 • 3 = 39 (см). Маємо: Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 39 + 36 + 15 = 90 (см).

Відповідь. 90 см.

670. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), СМ— бісектриса, AM = 15 см, ВМ = 20 см. За властивістю бісектриси трикутника Нехай АС = 3х см, тоді ВС = 4х см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + ВМ, АВ = 15 + 20 = 35 (см). За теоремою Піфагора одержимо: АВ² = АС² + ВС². 35² = (3х)² + (4х)², 1225 = 9х² + 16х, 25х² = 1225, х² = 49, х = 7. Звідси АС = 3 • 7 = 21 (см), ВС = 4 • 7 = 28 (см). Маємо Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 35 + 28 + 21 =84 (см).

Відповідь. 84 см.

671. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ= 2 см, ВМ = 10 см, М, N і K — точка дотику кола до сторін трикутника. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, CN = СМ = 2 см, ВМ = ВK = 10см і AN = АK. Нехай AN = AK = x см. Звідси СВ = СМ + ВМ, СВ = 2 + 10 = 12 (см), АВ = АK + ВK, АВ = (х+ 10) см і АС = AN + CN, АС = (х + 2) см. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АС² + ВС². Тоді одержимо: (х + 10)² = (х + 2)² + 12², х² + 20х +100 = х² + 4х + 4 + 144, 6х = 48, х = 3. Тоді АВ = 3 + 10 = 13 (см), ВС = 3 + 2 = 5 (см). Маємо: Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 13 + 5 + 12 = 30 (см).

Відповідь. 30 см.

672. Нехай ABCD — трапеція (ВС ||AD), ACBD), АС = 6 см, BD = 8 см. Проведемо ВМ||АС. Оскільки BDAC і ВМ||AС, то BMBD. Розглянемо прямокутний трикутник MBD (B = 90°). За теоремою Піфагора MD² = MB² + BD². Оскільки ВМ = АС - 6 см як протилежні сторони паралелограма, то MD² = 6² + 8², MD² = 36 + 64= 100, MD = 10 (см). Звідси MD = МА + AD = ВС + AD. Оскільки середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, то MD : 2 = (ВС + AD) : 2 = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

673. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (ВС||AD, AB = BD), BC = b, AD = а. Проведемо висоту CM. Оскільки трапеція рівнобічна, то MD = (AD - ВС) : 2, MD = (a - b) : 2. За властивістю чотирикутника, описаного навколо кола, ВС + AD = АВ + CD. Маємо AB = CD = (a - b) : 2. Розглянемо прямокутний трикутник CMD (M = 90°). За теоремою Піфагора: CD² = СM² + МD². Маємо: СM² = CD² - MD²,

Відповідь.

674. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = BC), AM — бісектриса, ВС : АС = 5 : 8, BK — KN = 3см. Нехай BС = 5х см, тоді AС = 8x см. Оскільки трикутник рівнобедрений, то AN = NC= АС : 2 = 8х : 2 = 4х. Розглянемо прямокутний трикутник ANB (N = 90°). За властивістю бісектриси одержимо:. Маємо:. Оскільки ВK — KN = 3 см, то ВK = 3 + KN. Тоді, 5KN = 4(3 + KN), KN = 12 см. Звідси BN = BK + KN = 3 + 2KN = 3 + 2 • 12 = 27 (см). З прямокутного трикутника ANB за теоремою Піфагора одержимо: AB² = AN² + BN². Маємо (5.x)² = (4х)² + 27², 25х² = 16х² + 729, 9х² = 729, х² = 81, х = 9. Звідси AB = 5 • 9 = 45 (см), АС = 8 • 9 = 72 (см). Отже, P_ABC = 2 • АВ + АС, Р_ABC = 2 • 45 + 72 = 162 (см).

Відповідь. 162 см.

675. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АС — ВС = 5 см, BK : KN = 5 : 3. За властивістю бісектриси трикутника. Нехай АВ = 5x cm, AN = 3x см. Оскільки АС - ВС = 5 см, то 2AN -AB = 5, АВ = 2AN - 5. Маємо:, 5AN = 3(2AN - 5), 5AN = 6AN - 15, AN= 15 (см). Тоді АС =2 • AN = 2 • 15 = 30 (см), АВ = ВС = АС - 5 = 30 - 5 = 25 (см). Маємо: Р_АВС = 2АВ + АС, Р_АВС = 2 • 25 + 30 = 80 (см).

Відповідь. 80 см.

676. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), B = 30°, АВ + АС = 18 см. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Звідси CM = AM = MBі А = 90° - В = 90° - 30° = 60°. Отже, трикутник САМ — рівносторонній, АС = АМ = СМ. Маємо: 2 • CM + СМ = 18, 3СM = 18, СМ = 6 см.

Відповідь. 6 см.

677. Нехай ABCD — ромб, ОМ = 3 см, AM = 9 см. Розглянемо прямокутний трикутник AOD. За теоремою про середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику ОМ² = AM • МО. Маємо: 3² = 9 • MD, MD = 1 см. За аксіомою вимірювання AD = АМ + MD. AD = 9 + 1 = 10 (см). Тоді P_ABCD= 4 AD, P_ABCD = 4 • 10 = 40 (см).

Відповідь. 40 см.

678. Нехай ABCD — трапеція (ВС||AD), AD : BC = 2 : 1. Сполучимо точки В і С з точкою О. Маємо BO - CO = AO -DO як радіуси. ВС = AD : 2, тому трикутник ВОС — рівносторонній і всі кути становлять по 60°. Тоді BCO = COD і CBO = BOA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січних відповідно СО і ВО. Оскільки трикутники АОВ і СОВ— рівнобедрені з кутом при основі 60°, то вони рівносторонні. Отже, A = D = 60°, B = C = 2 • 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 120°, 60°.

679. Проведемо пряму т і позначимо довільну точку С. Будуємо пряму nm через точку С. На прямій n відкладаємо точку А так, щоб АС = 2 см і точку В — ВС = 3 см.

680. Нехай а— задана пряма, Вa, BKa, M∈a. Оскільки ВKМ— прямокутний трикутник, то гіпотенуза більша за кожний з катетів, тому ВМ > ВK.

681. Проводимо довільну пряму а і позначимо довільну точку А. У точці А будуємо пряму nа. Від точки А відкладемо відрізок АВ = 2 см. У точці В будуємо пряму bn. Прямі а і b паралельні, АВ = 2 см.

682. Так, на площині можна розмістити 6 точок, три будь-які з яких будуть вершинами рівнобедреного трикутника. Для цього одну точку розміщуємо у центрі кола, а решта 5 точок — на колі, яке вони ділять на рівні дуги. Якщо як вершину взяти центр кола, а дві інші міститимуться на колі, то утвориться рівнобедрений трикутник, дві сторони якого дорівнюють радіусу кола. Наприклад, у трикутнику ANM AN = AM. Якщо ж взяти три вершини на колі, то серед сторін цього трикутника буде дві хорди однакової довжини. Наприклад, у трикутнику KNB KN= КВ.