Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників
§ 20. Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника. Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

711.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

712.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

713.

1) cos 18° = 0,9511;

2) sin 40° = 0,6428;

3) tg 13° = 0,2309;

4) cos 12° 10' = 0,9775;

5) sin 67° 30' = 0,9239;

6) tg 81° 12' = 6,9395.

714.

1) sin 58° = 0,9929;

2) cos 32° = 0,8480;

3) tg 78° = 4,7046;

4) sin 14° 42' = 0,2538;

5) cos 49° 30' = 0,6494;

6) tg 15° 12' = 0,2717.

715.

1) sin 30° + tg 45° = 1/2 + 1 = 1,5;

2)

716.

1)

2)

717. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 5 см, ВС = 12 см. За означеннямЗа теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, АВ = 13 (см). Маємо:

Відповідь.

718. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 7 см, ВС = 24 см. За означенням. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², АВ² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, АВ = 25 (см). Маємо:

Відповідь.

719.

1) За означенням.Звідси

2) за означеннямЗвідси

Відповідь. 1)2)

720.

1) За означеннямЗвідси

2) за означеннямЗвідси Рис. до № 717-722

Відповідь. 1) 2)

721.

1) За означеннямМаємоАВ = 20 (см);

2) за означеннямМаємоАВ = 5 (см); ^:

3) за означенням. Маємо, А С = 6 (см);

4) за означеннямМаємо, ВС = 16 (см);

Відповідь. 1) 20 см; 2) 5см; 3) 6 см; 4) 16 см; 5) 5 см.

722.

1) За означеннямМаємо АВ = 16 (см);

2) за означеннямМаємо, AB = 40(см);

3) за означенням. Маємо, ВС = 2 (см);

4) за означенням. Маємо, АС = 8 (см);

5) за означенням. Маємо, ВС = 9 (см).

Відповідь. 1) 16 см; 2) 40 см; 3) 2 см; 4) 8 см; 5) 9 см.

723.

1) За означенням. Звідси одержимо:

2) за означеннямЗвідси одержимо:

Відповідь. 1) 8 см; 2) 5 см.

724.

1) За означеннямЗвідси одержимо:

2) за означенням. Звідси

Відповідь. 1) 12 см; 2) 10 см.

725.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Відповідь. 1) 25°; 2) 35°; 3) 14°; 4) 55° 24'; 5) 20° 24'; 6) 34° 42'.

726.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Відповідь. 1) 79°; 2) 57°; 3) 36°; 4) 56° 39'; 5) 20° 36'; 6) 49° 42'.

727.

1) За означеннямЗвідси:

2) за означеннямЗвідси: ВС ≈ 10 • 0,7986 ≈ 7,99 (см);

3) за означеннямЗвідси: ВС ≈ 4 • tg82° , ВС ≈ 4 • 7,1154 ≈ 28,46 (см).

Відповідь. 1) 7,47 см; 2) 7,99 см; 3) 28,46 см.

728.

1) За означеннямЗвідсиAС ≈ 8 • cos 15° ≈ 8 0,9659 ≈ 7,73 (см);

2) за означеннямЗвідси

3) за означенням. Звідси,

Відповідь. 1) 7,73 см; 2) 13,20 см; 3) 9,02 см.

729.

1) На прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій m від точки С відкладаємо 5 рівних відрізків, а на прямій n від точки С — 3 таких рівних відрізків. Сполучаємо точки А і В. ABC— шуканий, бо

2) на прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій n від точки С відкладаємо відрізок СА, а в точці А проводимо коло радіуса 7СА, яке перетне пряму m в точці В. ABC — шуканий, бо

3) на прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій п від точки С відкладаємо два рівні відрізки і отримуємо точку A. В точці А проводимо коло радіуса трьох таких рівних відрізків, яке перетне пряму m в точці В. З’єднуємо А і В. ABC— шуканий, бо

730.

1) На прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій тm від точки С відкладаємо 2 рівних відрізків, а на прямій n від точки С — 7 таких рівних відрізків. Сполучаємо точки А і В. АВС— шуканий, бо

2) на прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій n від точки С відкладаємо чотири рівні відрізки і отримуємо точку А. В точці А проводимо коло радіуса п’яти таких рівних відрізків, яке перетне пряму m в точці В. Сполучаємо А і В. ABC — шуканий, бо

3) на прямій m позначаємо довільну точку С і через неї проводимо nm. На прямій n від точки С відкладаємо відрізок СА, а в точці А проводимо коло радіуса 5СА, яке перетне пряму m в точці В. AВС — шуканий, бо

731. Нехай ABCD — прямокутник, АС — діагональ,3 прямокутного трикутника ADC (D = 90°) за означенням маємо:, Звідси: CD = AD • tg CAD,Тоді

Відповідь.

732. Нехай ABCD— прямокутник, АС— діагональ, CD = b,3 прямокутного трикутника ADC (D = 90°) за означенням маємо:Звідси: Тоді

Відповідь.

733. Нехай ABCD — ромб, BD — діагональ, BD = 6 см, А = 42°. Розглянемо прямокутний трикутник AOD (АО = 90°), у якому OD = BD : 2 = 6 : 2 = 3 (см), OAD ≈BAD : 2 = 42° : = 21°За означенням За властивістю діагоналей ромба маємо: АС = 2 • АО = 2 • 7,8145 = 15,63 (см).

Відповідь. 15,63 см.

734. Нехай ABCD — ромб, AD = 8 см, A = 78°. За властивістю діагоналей ромба OAD = A : 2 = 78° : 2 = 39°. У прямокутному трикутнику AOD (O = 90°) за означенням AO = AD • cos OAD, АО ≈ 8 • cos 39° ≈ 8 • 0,7771 ≈ 6,22 (см). Тоді АС = 2 • АО = 2 • 6,22 = 12,44 (см).

Відповідь. 12,44 см.

735. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, АВ = с, З прямокутного трикутника ABC за означенням З прямокутного трикутника АМС (M = 90°) за означенням СМ = АС • sin А,

Відповідь.

736. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), СМ — висота, CM = h, З прямокутного трикутника СМВ (M = 90°) за означеннямЗ прямокутного трикутника ABC за означенням маємо:

Відповідь.

737. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ : ВС = 8 : 5. За означенням Маємо B = 39°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника A + B = 90°, A = 90° - B = 90° - 39° = 51°.

Відповідь. 39°, 51°.

738. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС: АС = 9 : 5. За означенням . Маємо: A = 61 °. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника A+ B = 90°, B = 90° - A = 90° - 61° = 29°.

Відповідь. 61°, 29°.

739.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 6 см, cos В = 0,8. За означеннямЗвідсиНехай ВС. = 4х см, тоді АВ = 5c см. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = ВС² + АС². Маємо (5x)² = (4x)² + 6², 25x² = 16x² + 36, 9x² = 36, x² =4, x = 2. Тоді AB = 5 • 2 = 10 (см), ВС = 4 • 2 = 8 (см).

Відповідь. 10 см, 8 см;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 13 см,. За означенням. Звідси. Нехай ВС = 5x см, тоді АС = 12x см. За теоремою Піфагора одержимо: АВ² = ВС²+ АС². Маємо 13² = (5x)² + (12x)², 169 = 25x² + 144x, 169x² = 169, x² = 1, x = 1. Тоді АС = 12 см, ВС = 5 (см).

Відповідь. 12 см, 5 см.

740.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 4 см, sin А = 0,6. За означенням. Звідси . Нехай ВС = 3x см, тоді АВ = 5x см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС². Маємо (5x)² = (3x)² + 4², 25x² = 9x² + 16, 16x² = 16, x² = 1, x = 1. Тоді АВ = 5 см, ВС = 3 см.

Відповідь. 5 см, 3 см;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 34 см,. За означенням.Звідси. Нехай АС = 8x см, тоді ВС = 15x см. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС². Маємо 34² = (15x)² + (8x)², 1156 = 225x² + 64x², 1156x² = 289, x² = 4, x = 2. Тоді АС = 8 • 2 = 16 (см), ВС = 15 • 2 = 30 (см).

Відповідь. 16 см, 30 см.

741. Нехай ABCD— рівнобедрена трапеція (ВС||AD, АВ = CD), ВС = 26, AD = 2а (а > b), A = D = . Проведемо висоту ВМ. Оскільки висота ділить більшу основу на відрізки, менший з яких дорівнює піврізниці основ, то AM = (AD - ВС) : 2, AM = (2а — 2b) : 2 = а - b. З прямокутного трикутника АМВ (M = 90°) за означенням. Звідси

Відповідь.

742. Нехай ACB = B KС = 90°,, АС = b. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За означеннямРозглянемо прямокутний трикутник BKC. За означенням =Аналогічно,

Відповідь.

743. Нехай ACB = BKC = 90°, АС = b. Розглянемо прямокутний трикутник ВKС. За означеннямРозглянемо прямокутний трикутник ABC. За означенням Звідси

Відповідь.

744. Нехай ABCD — прямокутник, АВ = 19 см, AD = 50 см. Розглянемо прямокутний трикутник BAD (A = 90°). За означеннямB = 69°12'. АОВ — рівнобедрений (ВО = АО за властивістю діагоналей прямокутного), тому BAO = ABO = 69°12'. Тоді за теоремою про суму внутрішніх кутів трикутника AOB = 180°- (BAO + ABO) = 180° - (69°12' + 69°12') = 41° 36'.

Відповідь. 41° 36'.

745. Нехай ABCD — ромб, АС, BD — діагоналі, АС = 12 см, BD = 10 см. За властивістю діагоналей ромба АО = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см), DO = BD : 2 = 10 : 2 = 5 (см), AODO. Розглянемо прямокутний трикутник AOD. За означенням OAD = 39°48'. За властивістю діагоналей ромба A = 2 • OAD = 2 • 39°48' = 79°36'. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Маємо: B = 180° - A = 180° - 78°36' = 100°24'.

Відповідь. 79° 36', 100° 24', 79° 36', 100° 24'.

746. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, АВ = ВС = m.Проведемо висоту ВМ. Розглянемо прямокутний трикутник ВМА. За означенням АМ = АВ • соs A = m • cos . У центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться в точці перетину бісектрис. Звідси АО — бісектриса, тому З прямокутного трикутника ОМА (M = 90°), за означенням. Звідси

Відповідь.

747. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = BC), ОМ = r. Проведемо висоту ВМ. Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться в точці перетину бісектрис. Тому АО — бісектриса іРозглянемо прямокутний трикутник ОМА (ОМА = 90°). За означенням У прямокутному трикутнику ВМА (ВМА = 90°) за означенням

Відповідь.

748. Нехай ABCD — паралелограм, BD — діагональ, Pabcd = 20 см, CBD : ABD = 1 : 2. Нехай CBD = k, тоді ABD = 2k. За аксіомою вимірювання кутів В = CBD + ABD = k + 2k = 3k. Сума сусідніх кутів паралелограма рівна 180°. Маємо А + В = 180°, 45° + 3k = 180°, 3k = 135°, k = 45°. Звідси ABD = 2 • 45° = 90°. Отже, ADB = 45° і ABD — рівнобедрений, тому AB = BD. P_ABCD = 2(AB + AD), AB + AD = P_ABCD : 2 = 20 : 2 = 10 (см). Нехай АВ = х см, тоді AD = (10 - х) см. З прямокутного трикутника ABD (ABD = 90°), за означенням

Відповідь.

749. Нехай ABCD — паралелограм, BD — діагональ, P_ABCD = 24 cm, CBD : ABD = 1 : 3, BAD = 60°. Оскільки P_ABCD = 2(AB + AD), то AB + AD = P_ABCD : 2 = 24 : 2 = 12 (см). Нехай AB = x см, тоді AD = (12 - x) см. Нехай CBD = k°, тоді ABD = 3k°. За аксіомою вимірювання кутів B = CBD + ABD = k + 3k + 4k. Сума сусідніх кутів паралелограма рівна 180°. Маємо A + B = 180°, 60 + 4k = 180, 4k = 120, k = 30. Звідси ABD = 3 • 30° = 90°. З прямокутного трикутника ABD за означеннямМаємо 2х = 12 - х, 3х = 12, х = 4. Тоді

Відповідь.

750. Нехай ABC — заданий трикутник, A =30°, C = 135°, АС = 10 см, ВМ висота. BCM = 180° - ACB = 180° - 135° = 45° як суміжний кут. Тоді ВМС — прямокутний рівнобедрений, ВМ = CM. Нехай ВМ = CM - х см. Тоді за аксіомою відрізків АМ = АС + СМ= (10 + х) см. З прямокутного трикутника АМВ (M = 90°) за означенням. Маємо:, . Тоді

Відповідь.

751. Нехай ABC — заданий трикутник, A = 60°, C = 45°, АС = 8 см, ВМ — висота. АВМС — прямокутний рівнобедрений, ВМ = СМ. Тому, нехай ВМ = СМ = х см. Тоді AM = (8 - х) см. З прямокутного трикутника ВМА (M = 90°) за означенням Маємо: ,. Отже,

Відповідь.

752. Нехай АС — перпендикуляр, АВ — похила, АВ = 2АС. Оскільки трикутник ABC — прямокутний, то, за означенням,. Маємо: A = 60°.

Відповідь. 60°.

753. Нехай ABC— прямокутний трикугник, (C = 90°), CM — перпендикуляр, АС = 12 см, АМ = 7,2 см. За теоремою про середні пропорційні відрізки АС² = AM • А В, АВ = АС² : AM = 12² : 7,2 = 144 : 7,2 = 20 (см). За теоремою Піфагора АВ²= АС² + ВС², ВС² = АВ² - АС² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256, ВС= 16 (см). Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_АВС = 20 + 16 + 12 = 48 (см).

Відповідь. 48 см.

754. Нехай ВМ = h, BD = d. Проводимо пряму m і позначимо довільну точку М. Проводимо через точку М пряму nm. На прямій n від точки М відкладаємо відрізок BM = h. В точці В будуємо коло радіуса BD = d, яке перетне пряму m у точці D. Будуємо середній перпендикуляр l до BD.Від точки О на прямій l відкладаємо відрізок АО і одержуємо точку С. Послідовно з’єднуємо точки А, В, Сі D. ABCD — шуканий ромб, у якого ВМ = h, BD = d.

755. Нехай (О; r) — коло, АВ, CD — хорди, ABCD, Сполучимо точки А і С та В і D. Розглянемо прямокутні трикутники АЕС і DEB (AEC = DEB = 90°). Оскільки MAB — вписаний у коло і спирається на його діаметр, то MAB = 90°. Тоді AM||CD, звідки маємо, що ACDM— трапеція. Оскільки вона вписана в коло, то ця трапеція — рівнобічна (АС = MD). Розглянемо прямокутний трикутник BDM (BDM = 90°, бо спирається на діаметр). За теоремою Піфа гора ВМ²= BD² + MD² = BD² + АС². Але з трикутника BED за теоремою Піфагора маємо: BD² = BE² + DE²; з трикутника АЕС — АС² = АЕ² + СЕ². Тому ВМ² = d² = BE² + DE² + AE² + CE².