Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 1. Чотирикутник і його елементи

1. Кожна вершина чотирикутника мас 2 сусідні і 1 протилежну вершини. Для вершини В сусідніми є вершини А та С, протилежною — вершина D.

2. Кожна сторона чотирикутника має 2 сусідні і 1 протилежну сторони. Для сторони AD сусідніми є сторони АВ та CD, протилежною — сторона ВС.

3. Ні, бо цей відрізок є стороною чотирикутника, а сторона з’єднує сусідні вершини.

4.

а) Якщо КM і ML — сторони чотирикутника, то діагоналі — KL і MN;

б) якщо KL — діагональ чотирикутника, то сусідніми з вершиною K є вершини M i N;

в) ні, не можна. Його можна назвати, наприклад, MLNK.

5. Ні, не існує, бо для цих трьох вершин не виконується нерівність трикутника

АВ + ВС > АС.

6. Усі кути опуклого чотирикутника не можуть бути гострими, бо тоді їхня сума буде менша від 360°; усі кути опуклого чотирикутника не можуть бути тупими, бо тоді їхня сума буде більша від 360°; усі кути опуклого чотирикутника можуть бути прямими, бо 360° : 4 = 90°, такий чотирикутник є прямокутником.

7. Опуклий чотирикутник може мати: три гострі кути, тоді четвертий — тупий; три тупі кути, тоді четвертий — гострий; два прямі кути. Опуклий чотирикутник не може мати три прямі кути і один непрямий, бо не виконуватиметься теорема про суму кутів чотирикутника.

8. Ні, не можуть, бо за теоремою про суму кутів трикутника вона дорівнює 180°, тоді на четвертий кут мало би припадати 360° - 180° = 180°, а це означатиме, що три вершини чотирикутника мають лежати на одній прямій.

9.

а) Чотирикутник ABCD, або BCDA, або CDAB, або DABC. Діагоналі чотирикутника — АС і BD, точка О — точка перетину діагоналей;

б) А = 75°, В = 70°, С = 68°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: А + В + С + D = 360°; D = 360° - (А + B + С); D = 360°- (75° + 70° + 68°) = 147°. Вимірюванням установлюємо, що справді D = 147°.

10.

а) Так, чотирикутник є опуклим, тому що він лежить по один бік, наприклад, від прямої ВС;

б) ВАМ — суміжний кут з BAD, тому він є зовнішнім кутом при вершині А, BAM= 102°; ABK— суміжний кут з ABC, тому він є зовнішнім кутом при вершині В, ABK = 79°; DCP— суміжний кут з DCB, тому він є зовнішнім кутом при вершині С, DCP = 76°; CDN— суміжний кут з CDA, тому він є зовнішнім кутом при вершині D, CDN = 103°. Тоді BAM + ABK + DCP + CDN = 102° + 79° + 76° + 103° = 360°.

11. Нехай ABCD — чотирикутник, АВ = 5 см. Тоді ВС = АВ + 2; ВС = 5 + 2 = 7 (см); CD = ВС + 2; CD = 7 + 2 = 9(см); AD = CD + 2; AD = 9 + 2 = 11 (см). РАВСD = AB + ВС + CD + AD, PABCD = 5 + 7 + 9 + 11 =32 (см).

Відповідь. 32 см.

12. Нехай ABCD — чотирикутник, PABCD = 20 см, AB = 0,4 PABCD, BC = CD = AD. Тоді AB = 0,4 • 20 = 8 (CM). На решту сторін припадає 20 - 8 = 12 (см), а кожна з них дорівнює 12 : 3 = 4 (см).

Відповідь. 8 см, 4 см, 4 см, 4 см.

13. Нехай ABCD — чотирикутник, A = 80°, B = 100°, C = D. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; C + D = 360° - (A + B); C = D = (360° - (A + B)) : 2; C = D = (360° - (80° + 100°)) : 2 = 90°. Отже, найбільшим кутом чотирикутника є B = 100°.

Відповідь. 100°.

14. Нехай ABCD— чотирикутник, A = B, C = D, A + B = 160°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; C + D = 360° - (A + B); C = D = (360° - (A + B)) : 2; C = D = (360° - 160°) : 2 = 100°. Оскільки A + B = 160° і A = B, то A = B = 160° : 2 = 80°.

Відповідь. 80°, 80°, 100°, 100°.

15. Нехай ABCD — чотирикутник, A, B, C — тупі кути, тоді їх сума більша від 270°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; D = 360° - (A + B + C). Отже, D менший від 90°, тобто є гострим.

16. Нехай ABCD — чотирикутник, A + B + C = 270°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; D =360° - (A + B + C); D = 360° - 270° = 90°. Тому CDAD.

17. а) Ні;

б) так;

в) ні.

18. Нехай ABCD — чотирикутник, РАBCD = 3 дм. Нехай АВ = х см, тоді ВС = (x + 2) CM, CD = (x + 3)см, AD = (х + 5) см. PABCD = АВ + ВС + CD + AD. 3дм = 30см. Рівняння: 30 =.x + (х + 2) + (х + 3) + (х + 5); 4х = 20; х = 5. Отже, АВ = 5 см, тоді ВС = 5 + 2 = 7 (см), CD = 5 + 3 = 8 (см), AD = 5 + 5 = 10 (см).

Відповідь. 5 см, 7 см, 8 см, 10 см.

19. Нехай ABCD — чотирикутник, АВ : ВС : CD : AD = 3 : 4 : 5 : 6, АВ + AD = 18 см. Нехай АВ = 3х см, тоді ВС = 4x см, CD = 5х см, AD = 6x см. Рівняння: 3-х + 6x = 18; x = 18; х = 2. Отже, АВ = 3 • 2 = 6 (см), тоді ВС = 4 • 2 = 8 (см), D = 5 • 2 = 10 (см), AD = 6 • 2 = 12 (см). Тоді PABCD = АВ + ВС + CD + AD; PABCD = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 (см).

Відповідь. 36 (см).

20. Нехай ABCD— чотирикутник. Нехай А = x, тоді В = 2х, С = х + 20°, D = х + 40°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маемо: А + В + С + D = 360°; x + 2х + х + 20° + х + 40° = 360°; 5х + 60° = 360°; 5x = 300°; х = 60°. Отже, А = 60°, тоді В = 2 • 60° =120°, С = 60° + 20° = 80°, D = 60° + + 40°= 100°.

Відповідь. 60°, 120°, 80°, 100°.

21. Нехай ABCD— чотирикутник, А + В + С = 240°; А + В + D = 260°; А + С + D = 280°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: А + В + С + AD = 360°; звідки D = 360° - (А + В + С); D = 360°- 240° = 120°; С = 360° - (А + В + D); C= 360° - 260° = 100°; В = 360° - (А + С + D); В = 360° - 280° = 80°; А = 360° - (В + С + D); А = 360° - (80° + 100° + 120°) = 60°. Тоді найменший кут дорівнює 60°.

Відповідь. 60°.

22. Нехай ABCD — чотирикутник, АА < 90°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: А + В + С + D = 360°; звідки В + С + D < 270°, а це означає, що серед кутів В, С і D обов’язково є тупий кут.

23. Нехай ABCD — чотирикутник, А = В + С. Припустимо, що А не є тупим, тобто А ≤ 90°. Тоді В + АС ≤ 90°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: А + В + С + D = 360°; звідки D ≥ 180°, що неможливо, бо в опуклому чотирикутнику всі кути мають бути не розгорнутими. Дійшли суперечності, тому А — тупий.

24. Може. Проведемо CD1||DA і AD1||DC, тоді чотирикутник ADCD1 — паралелограм. За властивістю сторін паралелограма CD1 = DA і AD1 = DC, звідки маємо, що РABCD = РABCD1, але ABCD — опуклий, a ABCD1 — неопуклий.

25. Нехай ABCD— чотирикутник, PABCD = 23 дм, РАBC = 15 дм, РADC = 22 дм. Тоді PABCD = AB + BC + CD + AD; РАBС = AB + BC + AC; PADC = AC + CD + AD. Додамо останні дві рівності: 15 + 22 = АВ + ВС + АС + АС + CD + AD; AB + ВС + CD + AD + 2АС = 37; 23 + 2АС = 37; 2AС = 14; АС = 7 (дм).

Відповідь. 7 дм.

26. Нехай ABCD — чотирикутник, А = B = С, (А + В + С) - 240° = D. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: А + B + С + D = 360°; А + B + С + (А + В + С) - 240° = 360°; 2(3А) = 600°; 6А = 600°; А = 100°. Отже, А = В = С = 100°, D = (100° + 100° + 100°) - 240° = 300° - 240° = 60°.

Відповідь. 100°, 100°, 100°, 60°.

27. Нехай ABCD — чотирикутник, AC I BD — діагоналі. Доведемо від супротивного. Припустимо, що діагоналі не перетинаються. Тоді діагональ BD лежить но один бік відносно прямої АС. Тому відрізки AD і DC лежать по один бік відносно прямої АС, тобто відрізок АС лежить поза межами чотирикутника ABCD, а це означає, що точки А і В лежать по різні боки відносно DC, тобто чотирикутник ABCD неопуклий, що суперечить умові. Тому якщо чотирикутник ABCD опуклий, то його діагоналі перетинаються.

28. Нехай ABCD— опуклий чотирикутник, Р∈АВ, L ∈ AD. Оскільки чотирикутник ABCD — опуклий, то він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, а це означає, що й відрізок PL міститься по той самий бік, а отже, PL належить внутрішній області чотирикутника ABCD. Аналогічно можна показати, що будь-який відрізок, кінці якого належать іншим сторонам чотирикутника, теж лежить у внутрішній області цього чотирикутника.

29. Нехай ABCD — неопуклий чотирикутник. Проведемо відрізок BD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: А + ABD + ADB = 180°; C + DBC + BDC = 180°. Додамо почастинно обидві рівності: А + ABD + ADB + С + DBC+ BDC = 360°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: АВС = ABD + DBC; ADC = ADB + BDC. Тоді А + АВС+ С + ADC = 360°, тобто сума кутів не опуклого чотирикутника дорівнює 360°.

30.

а) Оскільки KMN = NPK, то image1MKN = PNK як відповідні елементи рівних трикутників. Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих МK і NP та січній NK, а з їх рівності за ознакою паралельності прямих випливає, що MK||NP;

б) оскільки KMN = NPK, то M = P як відповідні елементи рівних трикутників. Тому M = P = 65°.

Відповідь, б) 65°.

31.

a) Розглянемо трикутники KMN і NPK. У них: 1) МK = PN за умовою; 2) MKN = PNK за умовою; 3) NK — спільна сторона. Отже, KMN = NPK за двома сторонами і кутом між ними (за 1 ознакою рівності трикутників). Тому MNK = PKN як відповідні елементи рівних трикутників. Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих MN і KР та січній NK, а з їх рівності за ознакою паралельності прямих випливає, що МN||KР;

б) оскільки KMN = NPK (див. п. а)), то MN = KP як відповідні елементи рівних трикутників. Тому MN = KP = 14 см.

Відповідь, б) 14 см.





Перша публікація: 01/01/2016-2020

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.