Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників. Теорема Піфагора
§ 10. Подібні трикутники

318. A = K, B = M, C = N.

319. ABC ~ EFD.

320. Ні, будь-які подібні трикутники не завжди рівні. Вони будуть рівні, якщо коефіцієнт подібності дорівнює 1. Будь-які рівні трикутники завжди подібні.

321. Ні, бо в прямокутному трикутнику не може бути тупого кута, бо тоді виникне суперечність з теоремою про суму кутів трикутника.

322. Нехай ААВС ~ АА₁В₁С₁, k = 0,25. ТодіA₁B₁ = 4АВ, тобто сторони одного трикутника в 4 рази більші за сторони іншого трикутника.

323. Нехай ABC — трикутник, AD : DB = 2 : 1, BE = 9 мм. За теоремою про пропорційні відрізки маємо: ЕС = 2ВЕ; ЕС = 2 • 9 = 18 (мм). Вимірюванням встановлюємо, що ЕС = 18 мм.

324. АВС ~ AMBN.

325.

а)2 = 2 — рівність істинна, тому відрізки а і b пропорційні відрізкам с і d;

б)рівність хибна, тому відрізки а і b не пропорційні відрізкам с і d.

326. Нехай ААВС ~ А₁В₁С₁. З подібності трикутників маємо: Знайдемо значенняЗнайдемо значення у.

Відповідь. 6; 12.

327. Нехай ААВС ~ АА₁В₁С.₁ З подібності трикутників маємо: значення у.

Відповідь. 15; 9.

328. Нехай ABC — трикутник, KМ||АС.

а) АK = 2 см, KВ = 6 см, ВМ= 9 см. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

б) АK : KВ = 2 : 3, ВС = 10 см. За теоремою про пропорційні відрізки маємо: Нехай АK = 2х см, тоді KВ = 3x см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АK + KВ; АВ = 2х + 3х = 5х (см).

Відповідь, а) 3 см; б) 4 см.

329. Нехай ABC — трикутник, KM||АС, АK = 6 см, ВМ : МС = 4 : 3. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:Нехай ВМ = 4х см, тоді МС = 3х см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 4х + 3х = 2х (см).

Відповідь. 14 см.

330. Нехай АВС ~ DEF.

а) A =45°, E = 110°. З подібності трикутників випливає рівність відповідних кутів, тому D = A = 45°, B = E =110°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C = 180°; C = 180° - (A + B); C = 180°- (45° + 110°) = 25°;

б) B = 80°, A = C. З подібності трикутників випливає рівність відповідних кутів, тому E = B = 80°, D = F. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: D + E + F= 180°; 2F = 180° - E; F = (180° - E) : 2; C = (180° - 80°) : 2 = 50°.

Відповідь, a) 25°; 6) 50°.

331. Нехай ABC ~ A₁,B₁,С₁ — прямокутні (B = B₁ = 90°), B₁ - A₁ = 70°. Тоді A₁ = B₁ - 70°; A₁ = 90° - 70° = 20°. Для трикутника A₁B₁C₁ за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: A₁ + C₁ = 90°; C₁ = 90° - A₁; C₁ = 90° - 20° = 70°. З подібності трикутників випливає рівність відповідних кутів, тому A = A₁ = 20°, C = C₁ = 70°.

Відповідь. 20°, 70°.

332. Нехай ABC ~ A₁B₁C_1, АВ = 2,5 см, ВС = 4 см, АС = 5 см.

а) P_A1B1C1 = 46 см. Маємо: Р_ABC = АВ + ВС + АС; Р_ABC = 2,5 + 4 + 5 = 11,5 (см). Тоді одержимо:

б) А₁В₁ = АС = 5 см. Маємо:

Відповідь, а) 10 см, 16 см, 20 см; б) 5 см, 8 см, 10 см.

333.

Нехай АВС ~ А₁В₁С₁, АВ = 10 см, ВС = 12 см, АС = 16 см. Найбільшою стороною подібного трикутника є сторона А₁С₁, тому А₁С1 = 8 см. Тоді маємо: P_A1B1C1= A₁B₁ + B₁C₁ + А₁С₁; P_A1B1C1 = 5 + 6 + 8 = 19 (см).

Відповідь. 19 см.

334. Нехай трикутники ABC і А₁В₁С₁ — рівносторонні. Оскільки трикутники ABC і А₁В₁С₁ — рівносторонні, то A = B = С = 60°, A₁ = B₁ = C = 60°. Крім того, АВ = ВС = АС; А₁В₁ = B₁С1 = А₁С₁, звідкиОтже, за означенням АВС ~ A₁B₁С₁.

335. Нехай ABC— тупокутний трикутник, А₁В₁С₁ — рівносторонній. Припустимо, що трикутники подібні. Тоді їх відповідні кути мають бути рівними. Але кути рівностороннього трикутника дорівнюють по 60°, і всі вони є гострими. Отже, наше припущення хибне, тому тупокутний і рівносторонній трикутник не можуть бути подібними.

336. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), MN||AD||BC.

а) AM : AB = 4 : 5, CN = 3 см. За теоремою про пропорційні відрізки маємо: Нехай АМ = 4х см, тоді АВ = 5х см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + МВ; ВМ = АВ - AM; ВМ = 5х - 4х = х (см). За аксіомою вимірювання відрізків CD = CN + ND; CD = 3 + 12 = 15 (см);

б) AM : ND = 3 : 2, CN = 2 cм, AM = 9 см. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:. За аксіомою вимірювання відрізків CD = CN + ND; CD = 2 + 6 = 8 (см).Нехай AM = 3х см, тоді ND = 2х см.

Відповідь, а) 15 см; б) 12 см.

337. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), MN||AD||BC, AM - MB = 1 CM, CN : CD = 3 : 7. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:Нехай CN = 3х см, тоді CD = 7х см. ТодіAM - MB = 1 см; АМ = 1 + MB. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AM + МВ; AB = 1 + MB + MB; AB = 1 + 2MB; 7MB = 3(1 + 2MB); 7MB = 3 + 6MB; MB = 3 (cм). Тоді AM = 1 + 3 = 4 (cм), звідки AB = 4 + 3 = 7 (cм).

Відповідь. 1 cм.

338.

а) За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

б) за теоремою про пропорційні відрізки маємо:20х = 15(х + 1); 20х = 15х + 15; 5х = 15; х = 3.

Відповідь, а) 16; б) 3.

339. Нехай ABC ~ DEF, D = 70°, B = 55°. З подібності трикутників маємо, що A = D = 70°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°; C = 180° - (A + B); C =180° - (70° + 55°) = 55°. Оскільки B = C = 55°, то трикутник ABC — рівнобедрений з основою ВС, тому АВ = АС.

340. Нехай ABC ~ KMN, A + M = 90°. З подібності трикутників маємо, що A = K, B = M, C = N. Оскільки A + M = 90°, то A + B = 90°, звідки за теоремою про суму кутів трикутника маємо, що C = 90°, тобто трикутники є прямокутними. У прямокутному трикутнику найбільшим кутом є прямий кут, тобто кут С, а тоді найбільшою стороною є сторона АВ.

341. Нехай ABC — трикутник, М, N і K — середини його сторін. Тоді MN, МK і KN— середні лінії трикутника ABC за означенням. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: МN||АС,ТомуОтже, ABC ~ NKM з коефіцієнтом подібності 2.

342. Нехай ABC — трикутник, D і Е — середини його сторін AB і ВС відповідно. Тоді DE — середня лінія трикутника ABC за означенням. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: DE||AC,звідкиОскільки D i Е — середини сторін AB і ВС трикутника ABC відповідно, то ТомуBAC = BDE як відповідні при паралельних прямих АС і DE та січній AB. BCA = BED як відповідні при паралельних прямих АС і DE та січній ВС. B — спільний кут трикутників ABC і DBE. Отже, у трикутників ABC і DBE відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні, тому АВС ~ DBE з коефіцієнтом подібності 2.

343. Нехай АВС ~ А₁В₁С1₁; АВС ≠ АА₁В₁С₁, АВ = 12 см, ВС = 18 cм, A₁B₁ = 18 см, А₁С₁ = 12 см. З подібності трикутників маємо: Тоді одержимо:

Відповідь. 27 см, 8 см.

344. Нехай АВС ~ А₁В₁С1₁; а, b і с— сторони трикутника ABC, b, с і d — сторони трикутника A₁В₁С₁. Припустимо, що k = 2. Оскільки АВС ~ А₁В₁С1₁; то звідки а = 2b, b = 2с, с = 2d, а тому с = 2d, а = 4с, b = 2с. Для трикутника ABC має виконуватися нерівність трикутника: а + b > с, а + с > b, с + b > а. Але нерівність с + b > а не виконується, оскільки b = 2с, а = 4с і тод 3с > 4с. Отже, припущення невірне, тому коефіцієнт подібності не може дорівнювати 2.

345. Оскільки АО • DO = ВО • CD, то АО • DO = ВО • CD = 0, а тому ділити на цей вираз не можна.

346. Нехай АВCD — трапеція (AD||BC), АВС ~ ACD, ВС = 4 cм, AD = 9 cм. У подібних трикутників відповідні кути рівні, тому BAC = CAD, ABC = ACD. BCA = CDA. Далі, BCA = CAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Отже, в трикутнику ABC маємо, ще BCA = BAC, тобто трикутник ABC рівнобедрений, звідки АВ = ВС. Аналогічно в трикутнику ACD CAD = CDA, тобто трикутник A CD рівнобедрений, звідки АС = CD. За означенням подібних трикутників АС² = АВ • AD; АС²= 4 • 9 = 36 (см²); АС = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

347. Нехай ABCD— трапеція (АО||ВС), АС = CD, АВС ~ ACD, АВ = 9 см, CD = 12 см. У подібних трикутників відповідні кути рівні, тому BAC= CAD, ABC = ACD, BCA = CDA. Оскільки AC = CD, то трикутник ACD — рівнобедрений, тому за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника CAD = CDA. Далі, BCA = CAD як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Отже, в трикутнику ABC маємо, що BCA = BAC, тобто трикутник ABC рівнобедрений, звідки АВ = ВС. За означенням подібних трикутників маємо: Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD; PABCD ⁼ 9 + 9 + 12 + 16 = 46 (см).

Відповідь. 46 см.

348. Нехай ABC — трикутник, BD ділить трикутник ABC на два рівні трикутники. Оскільки ABD = CBD, тому АВ = ВС, AD = DC, ADB = BDC = 180° : 2 = 90°. Тому відрізок BD є медіаною, висотою і бісектрисою, звідки випливає, що трикутник ABC повинен бути рівнобедреним. Пряма, що проходить через вершину трикутника, не може поділити трикутник на два нерівні, але подібні трикутники.

349. Нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, BD — хорда, ВK = KD. Розглянемо рівнобедрений трикутник OBD (OB = OD як радіуси). З того, що ВK = KD, випливає, що OK є медіаною, а для рівнобедреного трикутника вона є ще й бісектрисою і висотою. Для трикутника BCD відрізок KС є медіаною і висотою, тому ВKС = DKС за двома катетами, звідки ВС = CD і BCK = DCK. Розглянемо трикутники ABC і A DC. У них: 1) АС — спільна сторона; 2) ВС = CD за доведеним вище; 3) BCK = DCK за доведеним вище. Тому AВС = ADC за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників).