Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ ІІI. Многокутники. Площі многокутників
§ 17. Площі трикутника, ромба і трапеції

565. Площа паралелограма дорівнює 25, бо діагональ ділить його на два рівновеликі трикутники.

566. а); б)

567. Так.Якщо S₁ = S₂ і h₁ = h₂, то a₁ = а₂.

568. Ні.Якщо S₁ = S₂ і h₁ = h₂, то а₁ + b₁ = а₂ + b₂, тобто рівними можуть бути суми висот.

569. Ні. Знайдемо площі трикутників, на які трапецію ділить діагональ. Трикутники будуть рівновеликими, якщо а = b, що суперечить означенню трапеції.

570. Нехай ABC — трикутник.

а) АС = 26 мм, BD = 11 мм. Тоді

б) AD = 10 мм, DC = 16 мм, BD = 11 мм. Тоді одержимо:

571. Нехай ABCD — трапеція.

а) AD = 22 мм, BC = 8 мм, ВМ = 13 мм. Тоді одержимо:

б)

572. Нехай виміри на рисунку подано в сантиметрах.

а)

б)

в)

573.

а) Нехай АВС— рівнобедрений трикутник (AB = BC) АС = 10 см, АВ = ВС = 13 см. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, с його медіаною, тому AD = DC = 10 : 2 = 5 (CM). Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора одержимо: АВ² = AD² + BD²; BD² = АВ² - AD²; Тоді маємо:

б) нехай ABC — трикутник, АВ = 17 см, АН = 8 см, НС = 2 см. Розглянемо прямокутний трикутник АНВ. За теоремою Піфагора АВ² = АН² + ВH²; ВН² = АВ² - АН²-,За аксіомою вимірювання відрізків АС = АН + НС; AС = 8 + 2 = 10 (см). Тоді маємо:

Відповідь, а) 60 см²; б) 75 см².

574.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), АС = 20 см, АВ = 12 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; ВС² = АС² - АВ²; Тоді одержимо:

б) нехай ABC— гострокутний трикутник, АН = 4 см, ВН = 2 см, C = 45°. Розглянемо прямокутний трикутник АНС. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника C + CAH = 90°; CAH = 90° - C; CAH = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник АНС — рівнобедрений з основою АС, тоді АН = НС = 4 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВН + НО, ВС = 2 + 4 = 6 (см). Тоді одержимо:

Відповідь. 12 см².

575. Нехай ABC — трикутник, S = 150 см², AN = 15 см, BD = 12 см, СМ = 20 см. Р = АВ + ВС + АС; Р = 15 + 20 + 25 = 60 (см).

Відповідь. 60 см.

576. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), S = 20 см², BD = 4 см. Тоді

Відповідь. 10 см.

577. Нехай ABCD — квадрат, AB = ВС = CD = AD = 1, MN = a, BNA = DMC. Площа квадрата ABCD дорівнює S = AB²; 5=1. Розглянемо прямокутні трикутники NBA і MDC. У них: 1) BNA = DMC за умовою; 2) AB = CD як сторони квадрата. Отже, NBA = MDC за катетом і гострим кутом. Тоді NB = MD як відповідні елементи рівних трикутників.Тоді площа затушованої фігури дорівнює: S_ANCM = S_ABCD - S_NBA — S_MDC,

Відповідь. 1 — a.

578. Нехай ABCD — квадрат, AB = ВС = CD = AD = 1. Площа квадрата ABCD дорівнює

Відповідь.

579. Нехай ABCD — ромб, АС = 20 м, BD = 8 м. Тоді

Відповідь. 80 м².

580. Нехай ABCD— ромб, АС = 2BD, S = 64 см². Нехай BD = х см, тоді АС = 2х см. Тодіx² = 64; х = 8 (см). Отже, BD = 8 см, тоді АС = 2 • 8 = 16 (см).

Відповідь. 8 см, 16 см.

581. Нехай ABC — трикутник, BD = DH.АлеТому

582. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі. За властивістю діагоналей паралелограмаПобудуємо висоту АK трикутника ABD, тому AKBD. тому трикутники АОВ і AOD рівновеликі.

583. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC).

а) AD = 10см, ВС = 4 см, ВK= 6 см. Тоді

б) MN = 8 см, ВK = 8 CM. S = MN • BK; S = 8 • 8 = 64(см²).

Відповідь, a) 42 см²; б) 64 см².

584. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (АВ = CD, AD||BC), AD = 16 см, ВС = 8 см, B AM = CDN = 45°. Проведемо висоти BM і CN. За властивістю рівнобічної трапеції АМ = ND = (AD - ВС) : 2 = (16 - 8) : 2 = 4 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAM + ABM = 90°; ABM = 90° - BAM; ABM = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник АМВ— рівнобедрений з основою АВ, тому AM = ВМ = 4 см. Тоді

Відповідь. 48 см².

585. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (A = B = 90°, AD||BC), AD = 10 см, ВС= 6 см, CD = 5 см. Проведемо висоту CM. Тоді MD = AD - ВС = 10 - 6 = 4 (см). Розглянемо прямокутний трикутник CMD. За теоремою Піфагора CD³ = СM² + МD²; CM² = CD² - MD²;Тоді

Відповідь. 24 см².

586.

а) Нехай AВС — трикутник, АВ = 13 см, ВС = 15 см, ВН = 12 см. Розглянемо прямокутний трикутник AHВ. За теоремою Піфагора АВ² = АН² + ВН²; АН² = АВ² - ВН²;Розглянемо прямокутний трикутник ВНС. За теоремою Піфагора ВС² = ВН² + НС²; НС² = ВС² - ВН²; За аксіомою вимірювання відрізків АС = АН + НС; АС = 5 + 9 =14 (см). Тоді одержимо:

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (A = 90°), ВМ = 9 см, МС = 4 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 9 + 4 = 13 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: AМ² = ВМ • МС; Тоді одержимо:

в) нехай ABC — рівносторонній трикутник (АВ = ВС = АС),У рівносторонньому трикутнику висота, проведена до основи, є його медіаною, тому Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора одержимо: AB² = AD² + BD²; BD² = АВ² - AD²; Тоді маємо:

Відповідь, а) 84 см²; б) 39 см²; в)

587.

а) Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), Р = 16 см, BD = 4 см. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є його медіаною, тому звідки АС = 2AD. Р = АВ + ВС + АС; P = 2AB + 2AD; 2(АВ + AD) = 16; АВ + AD = 8 (см). Нехай AD = x см, тоді АВ = (8 - х)см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора маємо: AB² = AD² + BD²-, (8 - х)² = х² + 4²; 64 - 16х + х² = х² + 16; 16х = 48; х = 3. Отже, AD = 3 см, звідки АС = 2 • 3 = 6 (см). Тоді маємо:

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), АС = 20 см, ВС : АВ = 3 : 4. Нехай ВС = 3х см, тоді АВ = 4х см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; 20² = (4х)² + (3х)²; 25х² = 400; х²= 16; х = 4. Отже, ВС = 3 • 4=12 (см), АВ = 4 • 4 = 16 (см). Тоді одержимо:

Відповідь, а) 12 см²; б) 96 см².

588. Нехай АВС — прямокутний трикутник (A = 90°), ВМ = 15 см, МС = 20 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 15 + 20 = 35 (см). За властивістю бісектрисиНехай AB = 3х см, тоді АС = 4х см. За теоремою Піфагора ВС² = AB² + АС²; 35² = (3х)² + (4х)²; 25х² = 1225; х² = 49; х = 7. Отже, АВ = 3 • 7 = 21 (см), АС = 4 • 7 = 28 (см). Тоді одержимо:

Відповідь. 294 см².

589. Нехай АВС — трикутник, S_ADE = S, AD = DC, DM = МВ. Оскільки AD = DC і DB — спільна сторона, то S_ADB = S_CDB. Оскільки DM = MB і AM — спільна сторона, то S_ADM = S_AMD = S. Тоді S_ADB = S_ADM + S_AMB = 2S, звідки S_CDB = 2S.

Відповідь. 2S.

590. Нехай ABC — трикутник, S_AMO = S, AM = MB, BN = NC. За означенням маємо, що MN— середня лінія трикутника ABC. Тоді МN||АС. Розглянемо трапецію AMNC. Проведемо висоти МKі NP. Розглянемо трикутники АМС і ANC. У них МK = NP як висоти, АС— спільна основа. Тоді S_AMC = S_ANC Тоді S_AMO = S_AMC - S_AOC, S_ONC = S_ANC - S_AOC Тоді S_ONC = S_ANC = S.

Відповідь. 5.

591. Нехай ABCD— ромб, S = 24 CM², BD = 8 см. Тоді Діагоналі ромба перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл, тому AC BD,Розглянемо прямокутний трикутник АОВ. За теоремою Піфагора АВ² = АО² + ВО²;Р = 4АВ; Р = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

592. Нехай ABCD — ромб, Р = 24 см, ABC = 150°. Усі сторони ромба рівні, тому АВ = ВС = СD = AD; Р = 4AВ; АВ = Р : 4; AВ = 24 : 4 = 6 (см). За властивістю ромба маємо: A + B = 180°; A = 180° - B; A = 180° - 150° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, він дорівнює половині гіпотенузи, тому Тоді одержимо: S = AD • ВМ; S = 6 • 3 = 18 (см²);

Відповідь. 18 см².

593. Нехай ABC — трикутник, AM = MB, BN = NC, AK = KС. За означенням маємо, що MN— середня лінія трикутника ABC. Тоді МN||АС. Розглянемо трапецію AMNC. Розглянемо трикутники АМС і ANC. У них рівні висоти й АС— спільна основа. Тоді S_AMC = S_ANC. Тоді S_AMO = S_AMC — S_AOC, S_ONC = S_ANC — S_AOC. Тоді S_ONC = S_AMO. Аналогічно можна показати, що S_OAK = S_BNO i S_OKC = S_MOB. Крім того, S_OAK = S_OCK. S_OBM = S_OAM. S_OBN = S_OCN. Отже, S_OAK = S_OCK = S_OBM = S_OAM = S_OBN = S_OCN.

594. Нехай ABC— трикутник, AA₁||BC. Тоді одержимо:Оскільки ВС — спільна основа цих трикутників, AH=A₁H₁ як відстань між двома паралельними прямими, то SABC = SA₁BC, де A_t1 — довільна точку.

595. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD— діагоналі. За властивістю діагоналей паралелограмаПобудуємо висоту АK трикутника ABD, тому AKBD.S_AOD = S_ABD - S_ABO',тому трикутники АОВ і AOD рівновеликі. Розглянемо трикутники АОВ і COD. У них: 1) AOB = COD як вертикальні; 2) АО = ОС як половини діагоналі АС; 3) BO = OD як половини діагоналі BD. Отже, AОВ = COD за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому S_AOB = S_COD. Аналогічно можна показати, що S_AOD = S_BOC. Тому S_AOB = S_COD = S_AOD = S_BOC.

596.

а) Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AB = CD, AD||BC), AD = 39 CM, BC = 15 CM, BD AB. Для рівнобічної трапеції AM = (AD - ВС) : 2 ; AM = (39 - 15) : 2 = 12 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD; MD = AD - AM, MD = 39 - 12 = 27 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику: BM² = AM • MD;Тоді

б) нехай ABCD— прямокутна трапеція (A = B - 90°, AD||BC), AB = 12 см, CD = 13 см, BD — діагональ кута D. Проведемо висоту CM. Тоді чотирикутник АВСМ — прямокутник, СМ = АВ = 12 см як протилежні сторони прямокутника. Розглянемо прямокутний трикутник CMD. За теоремою Піфагора CD² = CM² + MD²; MD² = CD² - СМ²,Розглянемо трикутник BCD. ADB = BDC за означенням бісектриси; ADB = CBD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній BD, звідки BDC = CBD. Отже, трикутник BCD — рівнобедрений з основою BD, тому ВС = CD = 13 см. AM = ВС = 13 см як протилежні сторони прямокутника. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AM + MD; AD = 13 + 5 = 18 (см). Тоді

Відповідь, а) 486 24 см²; б) 186 см².

597. Нехай ABCD—рівнобічна трапеція (АВ = CD, AD||BC), AD = 50 см, ВС = 14 см, BD = 40 см. Для рівнобічної трапеції AM = (AD - ВС) . 2; АМ = (50 - 14) : 2 = 18(см). За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD; MD = AD - AM, MD = 50 - 18 = 32 (см). Розглянемо прямокутний трикутник BMD. За теоремою Піфагора одержимо: BD² = ВМ² + MD², ВМ² = BD² - MD²;Тоді маємо:

Відповідь. 768 см².

598. Нехай а і b — основи трапеції, h — її висота. Площа трапеції дорівнює Площа трикутника дорівнюєФігури будуть рівновеликими, якщо основа с трикутника дорівнюватиме сумі основ а + b трапеції. Тому слід продовжити основу b трапеції на відрізок завдовжки а і сполучити точки В і М. Отже, трапеція ABCD і трикутник АВМ рівновеликі.

599. Знаходжу середину сторони АС трикутника ABC: AD = DC. Через вершину В проводжу пряму В K ||АС. Від вершини В відкладає відрізок В K = AD. Сполучаю точки K і D. Площа трикутника дорівнюєПлоща паралелограма дорівнюєОтже, трикутник ABC і паралелограм ABKD рівновеликі.

600. Нехай ABCD — опуклий чотирикутник, АС і BD — діагоналі, AC BD. За аксіомою вимірювання відрізків BD = ВО + OD. Тоді маємо:

601. Нехай ABCD — паралелограм. Проведемо з тупого кута висоти ВМ і BN. Тоді S_ABCD = AD • ВМ = CD • BN. Поділимо сторони AD і CDточками K і L так, щоб АK : KD = CL : LD = 2 : 1. ТодіТоді

602. Нехай ABC— трикутник, АА₁ ВВ₁ СС₁ — медіани. Медіани трикутника розбивають його на 6 рівновеликих трикутників (див. задачу № 593). Тому:

а)

б)

603. Нехай ABCD— паралелограм, ВМ = СР, AM = PD. Оскільки ВМ = СР, то MP||BC||AD, тому МВСР і AMPD — паралелограми. S_MBCP = NS • МР; томуАналогічно для паралелограма АМРВ маємо: S_AMPO = FK • AD;Тоді S_MNPK = S_MNP + S_MKP = S₁ + S₂ + S₃ + S₄;

б) нехай ABC — трикутник, AM = MN, BN = NP, CP = PM. Проведемо висоти BL₁ і NL₂. Розглянемо трикутники BL₁P і NL₂P. У них P — спільний, тому BL₁P ~ NL₂P за гострим кутом. За означенням подібності тому BL₁ = 2NL₂. Розглянемо трикутники MNP і В PC. ТодіАналогічно можна показати, що S_MNP = 2S_ABN і S_MNP = 2S_AmC. Отже, S_ABC = (2 + 2 + 2 + 1)SMNP = 7S_MNP.

Відповідь, a) S1 + S₂ + S₃ + S₄; б) 7S_MNP.

604. Нехай ABCD— рівнобедрена трапеція (AB = CD, AD||BC), AB = CD = 10 см, R = 4 см. Якщо трапеція описана навколо кола, то її висота дорівнює діаметру цього кола. Тому BM = D = 2R = 2 • 4 = 8 (см). Для описаного чотирикутника суми довжин протилежних сторін рівні: AD + ВС = AB + CD = 10 + 10 = 20 (см). Тоді

Відповідь. 80 см².

605. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), А В = 25 см, CD = 30 см, ВМ = CN = 24 см. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За теоремою Піфагора AB² = AM² + ВМ²; AM² = АВ² - ВМ²; Розглянемо прямокутний трикутник CND. За теоремою Піфагора CD² = CN² + ND²; ND² = CD² - CN²; Оскільки ВK — бісектриса кута В, то за означенням ABK = KBC. AKB = KBC як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній ВK. Тому ABK = AKB, звідки випливає, що трикутник АВК— рівнобедрений з основою ВK, тому АВ = А K = 25 см. Аналогічно з трикутника CKD маємо, що KD = CD = 30 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = АК + KD; AD = 25 + 30 = 55 (см). Оскільки ВМ і CN— висоти, то чотирикутник MBCN— прямокутник, тому MN = BC. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = AM + MN + ND, MN = AD - (AM + ND); MN = 55 - (7 + 18) = 30 (см). Тоді

Відповідь. 1020 см².

606. Нехай ABC — трикутник, AD = DB, BE = EC, AF = FC. За означенням маємо, що DE— середня лінія трикутника ABC, тому DE||AC і Аналогічно DF/|BC іта FE||AB іТоді DE = AF = FO, DF = BE = EC, FE = AD = DB. Отже, ADF = FEC = DBE = EFD за трьома сторонами. Рівні трикутники мають рівні площі. Тоді S_ADEC = S_ADF + S_FEC + S_FED = 3S_DBE, звідки

607. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), АС i BD — діагоналі, AC BD = О, AD = 8 см, ВС = 2 см. Розглянемо трикутники СОВ i AOD. У них: 1) COB = AOD як вертикальні; 2) BCO = DAO як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Отже, СОВ ~ AOD за двома кутами (за І ознакою подібності трикутників). За означенням подібності

а)

б)

в) висоти подібних трикутників пропорційні з тим же коефіцієнтом пропорційності:

г) оскільки то Отже, площі трикутників ВОС і AOD пропорційні з коефіцієнтом Висловлюємо припущення, що площі подібних трикутників пропорційні з коефіцієнтом k².

Відповідь, а) б) в) г)