Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ IV. Розв’язування прямокутних трикутників
§ 21. Тригонометричні функції гострого кута

713. За двома сторонами можна, оскільки третю можна знайти за допомогою теореми Піфагора. За двома кутами розв’язати прямокутний трикутник не можна, бо існує багато подібних трикутників з такими самими кутами.

715. Правильними є твердження а) і г).

716. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АС = 18 мм, A = 30°. Тоді маємо: C = 90° - 30° = 60°.ВС = ACsinA; AB = ACcosA;Вимірювання встановлюємо правильність одержаних результатів.

717. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АВ = 16 мм, ВС = 9 (мм). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²;

718. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), ВС = 7 CM, C = 60°. Тоді

Відповідь. 14 см.

719. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АВ = 75 м,

Відповідь. 222 м.

720. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), АС - 8 см, С = 45°; A = 90° - C; A = 90° - 45° = 45°.

Відповідь. 45°; 45°.

721.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 8, A = 30° B = 90° - A; B = 90° - 30° = 60°;ВС = ABsinA;AC = ABcosA;

б) нехай ABC —прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 10, A = 42°. B = 90° - A; B = 90° - 42° = 48°;BC = ABsinA; BC= 10 • sin42° = 10 • 0,67 = 6,7;AC = ABcosA; AC = 10 • cos30°= 10 • 0,74 = 7,4.

722.

а) Нехай ABC— прямокутний трикутник (ZC = 90°), ВС = 2, ZB = 45°. A = 90° - B; A = 90° - 45° = 45°;АС = ABsinB;

б) нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 4, A = 18°. B = 90° - A; B = 90° - 18° = 72°;АС = ABsinB, АС = 12,9 • 0,95 ≈ 12,3.

723.

а) Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), AВ = 12, A = 28°. B = 90° - ZA; B = 90° - 28° = 62°;BC = ABsinA; BC = 12 • 0,47 = 5,6;AC = ABsinB; AC = 12 • 0,88 = 10,6;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 8, B = 40°. A = 90° - B; A = 90° - 40° = 50°; AC = ABsinB; AС = 10,4 • 0,64 = 6,7.

724.

а) Нехай ABC —прямокутний трикутник (C = 90°), BC = 9. A = C = 45°; AC = BC = 9;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), AB = 25, BC = 24.За теоремою Піфагора AB² = ВС² + АС²; АС² = AB² - ВС²; A = 74°, B = 90° - A; B = 90° - 74° = 16°.

725.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), АС = 6, За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС²; A= 60°, B = 90° - A; B = 90°- 60° = 30°;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 9, АС = 40. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС²; A = 13°, B = 90° - A; B = 90° - 13° = 77°.

726.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 6, АВ = 10. За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС²; АС² = АВ² - ВС²; A ≈ 37°, B = 90° - A; B = 90° - 37° = 53°;

б) нехай АВС — прямокутний трикутник (C = 90°), ВС = 5, . За теоремою Піфагора АВ² = ВС² + АС²; A ≈ 56°, B = 90° - A; B = 90° - 56° = 34°.

727. Нехай АВС— прямокутний трикутник (B = 90°), BD — висота, BDAC. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. Маємо: BD = ADtgA. Розглянемо прямокутний трикутник CDВ. Маємо: BD = DCtgC. Отже, ADtgA = DCtgC.

728. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), BD— висота, BDAC. АВ = ACcosA. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. Маємо:. Отже,

729. Нехай ABCD — прямокутник, АС = BD = 10, COD = 40°. За властивістю діагоналей прямокутника АО = ОС = ВО = OD = 10 : 2 = 5. Тоді трикутник COD — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника OCD = ODC = (180° - COD) : 2; OCD = ODC = (180° - 40°) : 2 = 70°. Розглянемо прямокутний трикутник ADC.AD = ACsinACD; AD = 10 • sin70° ≈ 10 • 0,94 = 9,4.CD = A CcosA CD; AD = 10 • cos70° ≈ 10 • 0,34 = 3,4.

Відповідь. 9,4; 3,4.

730. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = BC), BD = 16 см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB.За теоремою Піфагора АВ² = AD² + BD²; AD² = АВ² - BD² Висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його медіаною. Тому AC = 2AD; AC= 2 -• 30 = 60(см).

Відповідь. 60 см.

731. Нехай ABCD — ромб, АС = 24 см, BD = 10 см. За властивостями діагоналей ромба маємо: ACBD,розглянемо прямокутний трикутник АОВ. BAO = 23°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAO + ABO = 90°; ABO = 90° - BAO; ABO = 90° - 23° = 67°. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, тому BAD = 2BAO; BAD = 2 • 23° = 46°, ABC = 2ABO; ABC = 2 • 67° = 134°. Протилежні кути ромба рівні, тому C =A = 46°, D = B = 134°.

Відповідь. 46°, 134°, 46°, 134°.

732.

а) Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), BDAC, DBC = 60°. Розглянемо прямокутний трикутник CDB. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника C + DBC = 90°; C = 90° - DBC; C = 90° - 60° = 30°.І 3 прямокутного трикутника ABC C + A = 90°; A = 90° - C; A = 90° - 30° = 60°. Тоді Оскільки C = 30°, то за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, він дорівнює половині гіпотенузи, тому АС = 2АВ; АС = 2 • 8 = 16;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), BDAC, AD = 9, C = 10°. З прямокутного трикутника ABC за властивістю гострих кутів C + A = 90°; A = 90° - C; A = 90° - 10° = 80°. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. ВС = ACcosC; ВС = 299 • cos 10° = 299 • 0,985 = 295.

733. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), BDAC, BD = 3, DC = 4. Розглянемо прямокутний трикутник CDB. За теоремою Піфагора маємо: ВС² = BD² + DС²; C ≈ = 37°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника C + A = 90°; A = 90° - C; A = 90° - 37° = 53°. Розглянемо прямокутний трикутник ABC.За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; АВ² = АС² - ВС²;

734. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (A = B, AD||BC), AD = 12, ВС = 8, BCD = 110°. Проведемо з вершини С трапеції висоту CM. Чотирикутник АВСМ — прямокутник, AM = ВС. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MD; MD = AD - АМ = AD - ВС; MD = 12 — 8 = 4. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому BCD + CDM = 180°; C— DM = 180° - BCD; CDM = 180° - 110° = 70°. Розглянемо прямокутний трикутник CMD. СМ = MDtgD; СМ ≈ 4 • 2,75 = 11.

735. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AB = CD, AD||BC), B = 135°, BC = 8, AB = CD = 10. Проведемо з вершин B і С трапеції висоти ВМ і CN. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому A + ABC = 180°; A = 180° - ABC; A = 180° - 135° = 45°. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + B = 90°; B = 90° - A; B = 90°- 45° = 45°. Отже, трикутник АМВ— рівнобедрений, тому АМ = ВМ.АМ = АВсоsА;Чотирикутник MBCN— прямокутник, тому MN = BC. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AM + MN + ND;Тоді середня лінія дорівнює

Відповідь.

736. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АВ = 11 м, ВС = 4,4 м. C ≈ 68°.

Відповідь. ≈ 68°.

737. Нехай ABC— прямокутний трикутник (8 = 90°), АС = 415 м, АВ = 321 м. C ≈ 51°.

Відповідь. ≈ 51°.

738. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АВ + ВС = m, Тоді маємо: A + C = 90°; A = 90° - C;

739. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), AC = c. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + C = 90°; тоді AB = ACsinC;

740. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), CD : DA = 1 : 3. Нехай CD = x CM, тоді DA = 3х см, тоді АС = 4х (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ВС² = CD • АС; звідки A = 30°, тоді C = 60°.

Відповідь. 30°, 60°.

741. Нехай AB = d, . Розглянемо прямокутний трикутник ADC. Розглянемо прямокутний трикутник ВDC. Тоді 3a аксіомою вимірювання відрізків AD = AB + BD = BD + d. Тоді

Відповідь.

742. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), AB = 30, ВС = 40. За теоремою Піфагора одержимо: АС² = АВ² + ВС²;Нехай АН = х, тоді НС = 50 - х. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ВН² = АН • НС; 24² = х(50 - х); х² — 50x + 576 = 0; х₁ = 32, х₂ = 18. Оскільки ВМ — медіана, то АМ = МС = АС : 2 = 50 : 2 = 25. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків АМ = АН + НМ; НМ = АМ - АН. НМ = 25 -18 = 7. HBM ≈ 16°.

Відповідь. ≈ 16°.

743. Нехай ABCD— паралелограм,AD = ВС - 8 см, A = 45°. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ.BM = ABsinA; Розглянемо прямокутний трикутник ВМС. протилежні кути паралелограма рівні, тому C = A = 45°.BN = BCsinAC, Тоді S = AD • ВМ; S = 8 • 4 = 32 (см²).

Відповідь. 32 см².

744. Нехай ABCD — ромб, у який вписане коло (О; r), A = а. Висота ромба дорівнює діаметру кола, або його подвоєному радіусу. Тому ВK = 2r. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ.

745. Нехай ABC— трикутник, АС = 10, A = 45°, C = 30°. Проведемо висоту BD. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + ABD = 90°; ABD = 90° - A; ABD = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник ADB — рівнобедрений, тому AD = BD. Нехай AD = BD = х. Тоді DC = 10 - х. З прямокутного трикутника ВDC маємо, що DC = 2х як гіпотенуза трикутника з кутом 30°. За теоремою Піфагора для трикутника BDC одержимо: AС² = BD² + DC²; (2х)² = х² + (10 - х)²; 4x⁵ = x² + 100 — 20X + x²; х² + 10х - 50 = 0; — не задовольняє умову задачі.

746. Нехай AВС і A₁В₁С)— прямокутні трикутники, АС = А₁С₁. Аналогічно

747. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), AD— бісектриса, AD = l, За означенням бісектриси Розглянемо прямокутний трикутник ABD. Розглянемо прямокутний трикутник AВС.

Відповідь.

748. Нехай AВС — прямокутний трикутник ( B = 90°), AВ = 30 см, ВС = 40 см. Тоді C ≈ 37°.

Відповідь. ≈ 37°.

749. Нехай AВС— прямокутний трикутник (B = 90°), AВ = 24 м, ВС = 700 м. Тоді C ≈ 2°.

Відповідь. ≈ 2°.

750. Нехай AВС — прямокутний трикутник ( B = 90°), BDAC, АВ = а, ВС = b, BD = h_c. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. DBC = DAB. Розглянемо прямокутний трикутник BDC. Застосуємо основну тригонометричну тотожність: sin²a + cos²a = 1;поділимо обидві частини рівності на h_c² ≠ 0 й одержимо:

751. Нехай ABC — рівнобедрений (AB = BC), cosВ = а, СМАВ. Нехай За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°; A = як кути при основі, тому 2 A = 180° - B; Розглянемо прямокутний трикутник АМС. За властивістю про суму гострих кутів маємо: A + ACM = 90°; ACM = 90° - A;звідки , тому ACM = 30°.

752. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AEBC, BDAC, 2AE = BD. Розглянемо прямокутні трикутники АЕС і BDC. У них C — спільний, тому AEC ~ BDC за гострим кутом. За означенням подібності трикутників звідкиВисота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його медіаною, тому AD = DC = АС : 2. Тоді ; тоді з прямокутного трикутника BDC

Відповідь

753. Нехай (А; R₁) і (В; R₂)— два кола, AB = d, BNC = ВРС і АМС = АКС за трьома сторонами, тому З прямокутних трикутників BNC і АМС маємо: За аксіомою вимірювання відрізків АС = АВ + BC = d + ВС; Оскільки AM = AO = R₁, BN = BO - R₂, то маємо:

754. Нехай ABC— трикутник, A = 45°, C = 60°, B = 15°. Проведемо висоти ВK і CD. З трикутника BDC Розглянемо прямокутний трикутник ADC. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ACD = 90° - A; ACD = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник ADC — рівнобедрений (AD = CD). У ньому; CD = ACcosACD. Тоді одержимо:

Відповідь.

755. Нехай ABC — трикутник, ВВ₁АС, СС₁АВ, Розглянемо прямокутний трикутник АВ₁В. У ньомуРозглянемо прямокутний трикутник АС₁С. МаємоРозглянемо трикутники AB₁C₁ і ABC. AB₁C₁ ~ ABC за двома сторонами і кутом між ними (за II ознакою подібності трикутників), бо A — спільний,Тодізвідки одержуємо, що