Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 8. Вписані й описані чотирикутники

245. Коло можна вписати в квадрат; описати коло можна навколо квадрата.

246. Коло можна описати навколо чотирикутника, якщо в ньому сума протилежних кутів дорівнює 180°. Тому якщо в чотирикутнику один прямий кут, то навколо нього не можна описати коло; якщо в чотирикутнику два прямих кути, до того ж вони протилежні, то навколо нього можна описати коло.

247. Ні, не можна, бо сума протилежних кутів прямокутної трапеції не дорівнює 180°.

248. Слід продовжити до перетину бічні сторони AB і CD так, щоб

249. Вписати коло не можна, бо сума протилежних сторін не буде рівною. Описати коло навколо такої трапеції можна, бо вона рівнобічна.

250. A = 64°, B = 78°. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°, тому A + C = 180°; C = 180° - A; C = 180° - 64° = 116°; B + D = 180°; D = 180° - B; D = 180° - 78° = 102°. Перевіркою встановлюємо, що C = 116°; D = 102°.

251. AB = 15 мм, BC = 13 мм, CD = 11 мм. В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Тому АВ + CD = 15 + 11 =26 (мм); BC + AD = 26; AD = 26 - BC; AD = 26 - 13 = 13 (мм). Перевіркою встановлюємо, що AD = 13 мм.

252.

а) Нехай ABCD — чотирикутник, навколо якого описано коло, A = 90°, B = 90°, C = 20°, D = 160°. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника має дорівнювати 180°. Перевіримо це. A + C = 180°; 90° + 20° = 180° — рівність хибна, тому навколо цього чотирикутника описати коло неможливо;

б) нехай ABCD — чотирикутник, навколо якого описано коло, A = 5°, B = 120°, C = 175°, D = 60°. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника має дорівнювати 180°. Перевіримо це. A + C = 180°; 5° + 175° = 180° — рівність істинна; B + D= 180°; 120° + 60° = 180°— рівність істинна. Отже, навколо цього чотирикутника можна описати коло.

Відповідь, а) Не можна; б) можна.

253.

а) Нехай ABCD — чотирикутник, навколо якого описано коло. Кути 46° і 125° не можуть бути протилежними, бо в сумі не дають 180°. Тому ці кути є сусідніми. Нехай A = 46°, B = 125°. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°, тому A + C = 180°; C = 180° - A; C = 180° - 46° = 134°; B + D = 180°; D = 180° - B; D = 180° - 125° = 55°;

б) нехай ABCD — трапеція, навколо якої описано коло. Тоді ця трапеція є рівнобічною. Нехай A = 80°. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, їх сума має дорівнювати 180°, тому A + B = 180°; B = 180°- A; B = 180° - 80° = 100°. За властивістю кутів при одній основі рівнобічної трапеції D = A = 80°, C = B = 100°;

в) нехай ABCD — чотирикутник, навколо якого описано коло, АС і BD — діагоналі, АО = ОС, BO = OD. Тоді цей чотирикутник за ознакою— паралелограм. Якщо ж паралелограм вписаний у коло, то він — прямокутник. Тому A = B = C = D = 90°.

Відповідь, a) 46°, 125°, 134°, 55°; 6) 80°, 100°, 80°, 100°; в) 90°, 90°, 90°, 90°.

254.

а) Нехай ABCD —- чотирикутник, навколо якого описано коло, A = C, D = 50°. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°, тому A + C = 180°; A - C= 180° : 2; A = C = 90°; B + D = 180°; B = 180° - D; B = 180° - 50° = 130°.

б) нехай ABCD — трапеція, навколо якої описано коло. Тоді ця трапеція є рівнобічною. Оскільки сума двох кутів дорівнює 230°, то ці кути не можуть бути кутами, прилеглими до однієї бічної сторони. Тому ці кути прилеглі до однієї основи, крім того, ці кути є рівними. Нехай A + D = 230°; A = D = 230° : 2; A - D = 115°. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, їх сума має дорівнювати 180°, тому A + B = 180°; B = 180° - A; B = 180° -115° = 65°. За властивістю кутів при одній основі рівнобічної трапеції C = B = 65°.

Відповідь, а) 90°, 130°, 90°, 50°; б) 115°, 65°, 65°, 115°.

255.

Нехай ABCD — прямокутник, навколо якого описано коло, АС і BD — діагоналі. За властивістю прямокутника АС = BD і АО = ВО = СО = DO. Оскільки вершини прямокутника містяться на колі, а всі його кути прямі, то вони є вписаними кутами, які спираються на діаметр. Тому АС і BD є діаметрами, а два діаметри перетинаються в центрі кола.

256. Нехай A — заданий гострий кут, точка С лежить у середині кута, СВАВ, CDAD. Тоді B = D = 90°, звідки B + D = 180°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C + D = 360°; A + C = 360° - (B + D); A + C = 360° - 180° = 180°. Отже, у чотирикутнику ABCD сума протилежних кутів дорівнює 180°, тому навколо нього можна описати коло.

257. Нехай ABCD — опуклий чотирикутник, у якому A + C = B + D. За теоремою про суму кутів трикутника одержимо: A + B + C + D = 360°; (A + + C) + (B + D) = 360°; A + C = B + D = 360° : 2 = 180°. Отже, у чотирикутнику ABCD сума протилежних кутів дорівнює 180°, тому навколо нього можна описати коло.

258.

а) Нехай ABCD — описаний чотирикутник, у якому АВ = 7 см, ВС = 8 см, CD = 9 см. Щоб чотирикутник був описаний навколо кола, суми протилежних сторін має бути рівними, тому АВ + CD = ВС + AD; AD = АВ + CD — ВС; AD = 7 + 9 - 8 = 8 (см). Тоді Р_ABCD = АВ + BC + CD + AD; P_ABCD = 7 + 8 + 9 + 8 = 32 (см).

б) нехай ABCD — описана трапеція, у якої АВ = 3 см, CD = 11 см. Щоб чотирикутник був описаний навколо кола, суми протилежних сторін мають бути рівними, тому АВ + CD = 3 + 11 = 14 (см). Тоді ВС + AD = 14 (см). P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD; P_ABCD = 14 + 14 = 28 (см).

Відповідь, а) 32 см: б) 28 см.

259.

а) Нехай ABCD — описана рівнобічна трапеція (АВ = CD), у якої MN — середня лінія, MN = 7 см. За означенням середньої лінії трапеції AD + ВС = 2MN; AD + ВС = 2 • 7=14 (см). Щоб чотирикутник був описаний навколо кола, суми протилежних сторін мають бути рівними, тому АВ + CD = 14 (см), звідки АВ = CD = 14 : 2 = 7 (см).

б) нехай ABCD — описана рівнобічна трапеція (АВ = CD), у якої MN — середня лінія, P_ABCD = 16 см. Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD. Щоб чотирикутник був описаний навколо кола, суми протилежних сторін мають бути рівними, тому АВ + CD + AD + ВС. Маємо: АВ + CD = AD + ВС = P_ABCD • 2; AB + CD = AD + ВС =16 : 2 = 8 (см). За означенням середньої лінії трапеції

Відповідь, а) 7 см; б) 4 см.

260. Нехай ABCD — квадрат, (О: R) — вписане в нього коло, R = 3 см. Проведемо радіуси в точки дотику. Тоді ОМАВ, ONCD, OKAD і ОМ = ON = OK = 3 см. Розглянемо чотирикутник KOND. Це квадрат, бо в нього OKD = KDN = OND = 90° і ON = OK. Тоді KD = 3 см. Аналогічно можна показати, шо АK = 3 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD; AD = 3 + 3 = 6 (см). P_ABCD = 4AD; Р_ABCD = 4 • 6 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

261. Нехай ABCD— чотирикутник, вписаний у коло, O∈AD, ACВ = 20°, DBC = 10°. Оскільки кути ABD і ACD спираються на діаметр кола, то ABD = ACD = 90°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABD + DBC; ABC = 90° + 10° = 100°; BCD = BCA + ACD; BCD = 20° + 90° = 110°. Якщо чотирикутник вписаний у коло, то сума протилежних кутів має дорівнювати 180°. A + C = 180°; A = 180° - C; A = 180°- 110° = 70°; B + D = 180°; D = 180° - B; D = 180° - 100° = 80°.

Відповідь. 70°, 100°, 110°, 80°.

262. Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло, O∈AD, AMB = 70°. Оскільки трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна. Так як кути ABD і A CD спираються на діаметр кола, то ABD = ACD = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник АВМ. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAM + AMB = 90°; BAM = 90° - AMB; BAM = 90° - 70° = 20°. Кути АМВ і ВМС— суміжні, тому AMB + BMC = 180°; BMC = 180° - AMB; BMC = 180° - 70° = 110°. Трикутник ВМС— рівнобедрений (ВМ = CM), тому MBC = MCB = (180° -BMC) : 2; МВС = MCB = (180°- 110°) : 2 = 35°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABD + DBC; ABC = 90° + 35° = 125°. За властивістю кутів трапеції, прилеглих до однієї бічної сторони, маємо: A + B = 180°; A = 180°- B; A = 180° - 125° = 55°. Кути при основах рівнобічної трапеції рівні, тому D = A - 55°; C - B = 125°.

Відповідь. 55°, 125°, 125°, 55°.

263. Нехай ABC— трикутник, АА₁ВС, СС₁АВ, Розглянемо чотирикутник C₁BA₁D. Тоді C₁ = A₁ = 90°, звідки C₁ + A₁ = 180°. За теоремою про суму кутів чотирикутника C₁ + B + A₁+ D = 360°; B + D = 360° - (C₁ + A₁); B + D = 360° - 180° = 180°. Отже, у чотирикутнику C₁BA₁D сума протилежних кутів дорівнює 180°, тому навколо нього можна описати коло, а це означає що вони лежать на одному колі.

264. Нехай ABCD — чотирикут ник, AN, BL, CL, DN — бісектриси. Розглянемо трикутник АМВ. За теоремою про суму кутів трикутникаРозглянемо трикутник CKD. За теоремою про суму кутів трикутника AMB - LMN і CKD = LKN як вертикальні, томуРозглянемо чотирикутникАле A + B + C + D = 360° як сума кутів чотирикутника. ТомуЗа теоремою про суму кутів чотирикутника LMN + MNK + NKL + KLM = 360°, звідки MNK + KLM = 180°. Отже, в чотирикутнику LMNK сума протилежних кутів дорівнює по 180°, тому навколо цього чотирикутника можна описати коло.

265.

а) Нехай ABCD — ромб, у який вписано коло. Проведемо діагоналі АС і BD. Проведемо також радіуси ОМ, ON, OK і OL в точки дотику, тому ОМ1АВ, ONBC, OKCD, і OLAD. MBO = NBO за властивістю діагоналі ромба. Це означає, що точка О належить бісектрисі кута В, тобто належить діагоналі BD. Аналогічно можна показати, що точка О належить бісектрисі кута С, тобто належить діагоналі АС. А це означає, що точка О є точкою перетину діагоналей ромба Оскільки BC||AD як сторони ромба, то ON і OL лежать на одній прямій, тому NL — діаметр і висота ромба, тому

б) нехай ABCD — трапеція, в яку вписано коло. Проведемо радіуси ОМ і ON в точки дотику, тоді ОМBС, ONAD. Оскільки BC||AD як основи трапеції, то ОМ і ON лежать на одній прямій, тому MN — діаметр кола і висота трапеції, тому

266. Нехай ABC і ADC — рівнобедрені трикутники зі спільною основою АС. Маємо: АВ = ВС і AD = DC як бічні сторони рівнобедрених трикутників. Тоді в чотирикутнику ADCB AB + CD = BC + AD, тобто суми протилежних сторін чотирикутника рівні, а це означає, що в цей чотирикутник можна вписати коло.

267. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми протилежних сторін мають бути рівними. Це можливо тоді, коли 4 + 9 = 5 + 8, тобто протилежними є сторони завдовжки 4 см і 9 см та 5 см і 8 см.

268. Нехай ABCD— ромб, у який вписано коло, A = 60°, АС— діагональ, AС = 24 см. За властивістю діагоналі ромба АО = ОС і BAO = OAD = 30°. Проведемо радіус ОМ, тоді ОМАВ. Розглянемо прямокутний трикутник АМО. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:

Відповідь. 6 см.

269. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AB||BC, BAD = 90°), CD =10 см, OL = 3 см. Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює половині висоти трапеції, тому KL = 2 • 3 = 6 (см). Тоді чотирикутник ABKL — прямокутник, тому АВ = KL = 6 см. Тоді сума бічних сторін дорівнює АВ + CD = 6 + 10 = 16 (см). Якщо в трапецію вписано коло, то суми протилежних сторін рівні, тому AD + ВС = 16 (см). Тоді за означенням середньої лінії трапеції маємо:

Відповідь. 8 см.

270. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), MN — середня лінія трикутника, P_MBN = 24 см, АС = 12 см. За означенням середньої лінії трикутника Оскільки МN||АС, то трикутник MBN— рівнобедрений, тому MB = BN. P_MBN = MB + BN + MN; MB = BN = (Р_MBN - MN) : 2; MB = BN = (24 - 6) : 2 = 9 (см). За означенням середньої лінії AM = MB = 9 см і CN = BN = 9 см. Сума бічних сторін т рапеції AMNC дорівнює AM + NC = 9 + 9 = 18 (см), а сума основ — AD + МN = 12 + 6 = 18 (см). Оскільки суми протилежних сторін рівні, то в трапецію можна вписати коло.

271. Нехай (О; R) — коло, точка А лежить поза колом, АВ і АС — дотичні. Проведемо радіуси ОВ і ОС в точки дотику. Тоді ОВ = ОС. АВ = AС як відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки. Тоді ОВ + АС = ОС + АВ. Отже, в чотирикутнику АВОС суми протилежних сторін рівні, тому в нього можна вписати коло.

272.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), у яку вписано коло. Сполучимо центр кола з вершинами трапеції та проведемо радіуси ОМ, ON, OK і OL. За властивістю радіусів, проведених у точки дотику, маємо: ОМАВ, ONBC, OKCD і OLAD. Розглянемо прямокутні трикутники AMO і ALO. У них: 1) АО — спільна сторона; 2) ОМ = OL як радіуси. Отже, AMO = ALO за гіпотенузою і катетом. Тому MAO = LAO як відповідні елементи рівних трикутників. Тому АО — бісектриса кута А. Аналогічно можна показати, що ВО— бісектриса кута В, СО — бісектриса кута С, DO — бісектриса кута D. Отже, всі бісектриси трапеції перетинаються в точці О;

б) нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АО і ВО— бісектриси кутів А і В. BAD + ABC = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції. Оскільки АО і ВО — бісектриси, то BAO + ABO = 90°. Розглянемо трикутник АВО. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника BAO + ABO + BOA = 180°, звідки BOA = 90°, тому трикутник АОВ — прямокутний. Аналогічно можна довести, що й трикутник COD — прямокутний.

273. Нехай ABCD — чотирикутник, CBD = CAD, BCA = BDA, BDC - BAC, ABD = ACD. Розглянемо суми протилежних кутів. A + C = BAC + CAD + BCA + ACD; B+ D = ABD + DBC + ADB + BDC. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; BAC + CAD + BCA + AD + ABD + DBC + ADB + BDC = 360°; 2 (BAC + CAD + BCA + ACD) = 360°; BAC + CAD + BCA + ACD = 180°; A + C = 180°. Аналогічно B + D = 180°. А це означає, що навколо цього чотирикутника можна описати коло.

274. Нехай ABCD — ромб, ВМ і BN— його висоти,Розглянемо чотири кутник BMDN. BMD = BND = 90°, бо ВМ і BN — висоти, звідки BMD + BND = 180°. За теоремою про суму кутів чотирикутника MBN + MDN = 180°. Тоді навколо чотирикутника BMDN можна описати коло. Оскільки BMD = 90° і є вписаним у коло кутом, то BD — діаметр, а центр кола міститься на середині діаметра, тобто BO = OD = ОМ = ON як радіуси. Розглянемо рівнобедрений трикутник MON. У ньому OD — бісектриса кута при вершині, тому вона є медіаною і висотою, звідки ML = LN; OLN = 90°. Тоді Розглянемо прямокутний трикутник OLN. У ньому катет LN удвічі менший за гіпотенузу, тому LON = 30°, звідки MON = 2LON = 2 • 30° = 60°. Кут MDN є вписаним кутом, який спирається на дугу 360° - 60° = 300°, звідки MDN = 300° : 2 = 150°. Тоді A + D = 180°; A = 180° - D; A = 180° - 150° = 30°. За властивістю кутів ромба C = A = 30°, B = D = 150°.

Відповідь. 30°, 150°, 30°, 150°.

275. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), ABDE — квадрат, AD і BE — діагоналі, Оскільки ACB = AKB = 90°, то ACB + AKB = 180°. За теоремою про суму кутів чотирикутника KAC + KBC = 180°. Тоді навколо чотирикутника АСВК можна описати коло. Воно буде описаним колом і навколо трикутника ABC. Оскільки він прямокутний, то центр кола міститиметься на середині гіпотенузи AB. KAB = KCB як кути, які спираються на одну й ту саму дугу. Так як хорди, що стягують ці дуги, рівні (АK = ВK як половини діагоналей квадрата), то KAB = KCB = ACK = ABK, тому ACK = KCB. За аксіомою вимірювання кутів ACB = ACK + KCB = 90°, тому ACK = KCB = 90° : 2 = = 45°.

Відповідь. 45°.

276. Допущена помилка у рисунку. Якщо B + D = 180°, то за теоремою про суму кутів чотирикутника A + C = 180°. Тоді навколо чотирикутника ABCD можна описати коло.

277. Допущена помилка в обгрунтуванні рівності трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами. Необхідно було показати рівність BAC = ACE.

278. Дано: BD = а — діагональ ромба, ОН = r — радіус вписаного кола. Побудувати: ромб ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку Н. Будую пряму l таку, що проходить через точку Н і lm. З точки Н проводжу коло радіуса ОН = r, яке в перетині з прямою l дає точку О. З точки О проводжу коло радіуса , яке в перетині з прямою m дає точку В. На промені ВО за точкою О відкладаю відрізок одержую точку D. Будую серединний перпендикуляр до відрізка BD, бо діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. На перетині серединного перпендикуляра і променя ВН одержую точку А. На промені АО за точкою О відкладаю відрізок ОС = АО й одержую точку С. Сполучаю відрізками точки С і В, D і С та D і А. Отже, побудований ромб ABCD — шуканий, бо в ньому BD = а, ОН - r за побудовою.

279. Дано: AB = а — бічна сторона рівнобічної трапеції, r — радіус вписаного кола. Побудувати: рівнобічну трапецію ABCD.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку H. Будую пряму l таку, що проходить через точку H і lm. З точки H проводжу коло радіуса 2r, яке в перетині з прямою l дає точку В. Через точку В проводжу пряму k||m. Будую бісектриси кутів А і В, які перетнуться в точці О — центрі вписаного кола. З точки О проводжу коло радіуса ВО, яке в перетині з прямою kдає точку С. З точки О проводжу коло радіуса АО, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізками точки А і В та D і С. Отже, побудована трапеція ABCD — шукана, бо в ній а, і r за побудовою.

280. Нехай ABC — трикутник, A = 60°, ВО і СО— бісектриси кутів В і С. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + C = 180°; B + C = 180° - A; B + C = 180° - 60° = 120°. Оскільки ВО — бісектриса кута В, то Так як СО — бісектриса кута С, тоРозглянемо трикутник ВОС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: OBC + OCB + BOC = 180°;Оскільки 120° >90°, то кутом перетину бісектрис (кутом між прямими) є кут, суміжний з кутом 120°, тобто кут 180° - 120° = 60°.

Відповідь. 60°.

281. Нехай ABC — трикутник, A = 60°, BN і CM — висоти. Тоді AMO = BNA = 90°. Розглянемо чотирикутник AMON. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + AMO + MON + ONA = 360°; 60° + 90° + MON + 90° = 360°; MON= 120°. Оскільки 120° > 90°, то кутом перетину висот (кутом між прямими) є кут, суміжний з кутом 120°, тобто кут 180° - 120° =60°.

Відповідь. 60°.