Готові домашні завдання 9 клас - Розв'язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 5. Геометричні перетворення

п. 20. Гомотетія. Подібність фігур

20.1. стор. 191.

1) рис. k = 2; АВ₁ = 2АВ;

2) рис.

20.2. стор.191.

1) рис. k = 3; АВ₁ = 3АВ;

2) рис. А₁В = -2АВ;

3) рис. k = 2; А₁В₁ = 2АВ.

20.3. стор. 191.

1) рис.

2) рис. k = 2; OA₁ = 2 ∙ ОА.

20.4. стор. 192.

20.5. стор. 192. 1) рис. k = 2. М — точка перетину медіан.

2) рис. k = 1/2. О — точка перетину медіан.

3) рис. k = -1/2. О — точка перетину медіан.

20.6. стор. 192. рис.

1) O — центр гомотетії, k = 2.

20.7. стор. 192. рис.

ABCD — квадрат. k = 1/3; центр у точці А.

2) рис.

Центр гомотетії — точка В. k = -2.

3) рис. k = 2; О — центр гомотетії.

20.8. стор. 192. рис. k = 1/2.

20.9. стор. 193. рис.

20.10. стор. 193.

1) рис. k = 3. ОА₁ = 3ОА.

2) рис. k = -2. ОА₁ = -2OА.

20.11. стор. 193. рис.

A₁D₁C₁B₁ або A₁D₁C₂B₂. Задача має 2 розв’язки.

20.12. стор. 193. рис.

20.13. стор. 193. рис.

ΔА₂В₂С₂ Є образ ΔАВС при перетворенні подібності, яка є композицією двох перетворень: гомотетії із центом О і коефіцієнтом k = 2 та осьової симетрії відносно прямої l.

20.17. стор. 194. рис.

ABCD — паралелограм. D₁ — середина сторони AD. А — центр гомотетії. Коефіцієнт гомотетії k = 1/2. Образом точки В є точка В₁ — середина сторони АВ. Образом точки С є точка О — середина діагоналі АС.

20.18. стор. 194. б) Промінь; г) кут.

20.19. стор. 195. б) Вертикальні кути; г) пряма.

20.20. стор. 195. 1) k = 1,5; 2) k = -1/2; 3) k = 2/3.

20.21. стор. 195. k = -1/2; M — центр гомотетії.

20.22. стор. 195. k = 1/2; М — центр гомотетії.

20.24. стор. 195. A(-1; 2) образ точки A(-3; 6). k = 1/3; O(0; 0) — центр гомотетії.

Відповідь: 12 см.

Відповідь: 28,8 см².

20.27. стор. 196. рис.

20.28. стор. 196.

20.29. стор. 196. 1) рис. Відрізок АС є образом відрізка MN. k = 2, В — центр гомотетії.

k = -2, центр — точка перетину діагоналей трапеції AMNC.

2) MN — образ відрізка АС, k = -1/2.

20.30. стор. 196. рис. 1) AM : МР = 3 : 1, PQ є образом відрізка MN; центр гомотетії — точка А. k = 4/3.

20.31. стор. 196. 1) рис. АB || BC; AD = 3ВС; образом відрізка BС є відрізок АD. Центр гомотетії — точка О — точка перетину АС i ВD. k = -1/3.

2) рис. Центр гомотетії — точка О — точка перетину прямих АВ і CD. k = 1/3.

20.32. стор. 196. Кола дотикаються, отже, точки О₁, О, O₂ лежать на одній прямій.

О — центр гомотетії.

Х₂ — довільна точка кола з центром O₂ є прообразом точки X₁ кола з центром О₁ при гомотетії із центром О,

Отже, коло з центром O₁ є образом кола із центром O₂ при гомотетії із центром О i

20.33. стор. 196. Точки О, О₂, O₁ — лежать на одній прямій. OO₁ = R; ОО₂ = r; О — центр гомотетії, k > 0,

X₁ — довільна точка кола із центром О₁ є образом точки Х₂ кола із центром O₂ при гомотетії з центром О і

Отже, коло із центром O₁ є образом кола із центром O₂ при гомотетії з центpом О і

20.34. стор. 197. рис.

Нехай дане коло дотикається до прямої в точці М. Точка М₁ — образ точки М при гомотетії з центром у точці А.

Образом прямої є сама пряма, отже точка М₁ належить прямій а. Коло з центром O₁ Є образ кола з центром О. Образ даного кола має тільки одну спільну точку М₁ з прямою а — це точка М₁.

20.35. стор. 197. Координати векторів:

20.36. стор. 197. А(-7; 10) образ точки В(-1; -2) при гомотетії з коефіцієнтом k = -2. Центр гомотетії O(-3; 2).

20.37. стор. 197. А(х; 4) — образ точки А(-6; у) при гомотетії із центром у початку координат.

20.38. стор. 197. А₁(4; y) — образ точки А(х; -4), центр В(1; -1) і k = 3. x = 0, y = 8.

20.39. стор. 197. рис.

ΔАВС, MN — середня лінія. MN || АС;

AMNC — трапеція.

Відповідь: 28 см².

20.40. стор. 197. рис.

Знайдемо k.

Відповідь: 20 см².

20.41. стор. 197. рис.

ABCD — трапеція. ВС : AD = 3 : 5.

Відповідь: 112 см².

20.42. стор. 198.

20.43. стор. 198. 1) Образ прямої у = 2х + 1, якщо k = 2 і центр у початку координат у = 2х + 2 (k — кутовий коефіцієнт прямої, k = 2).

2) Якщо k = -1/2, то образом прямої у = 2х + 1 є пряма

20.44. стор. 198. 1) Якщо k = 1/2, то образом кола є коло (x + 1)² + (у - 2)² = 1.

2) Якщо k = -2, то образом кола є коло (x - 4)² + (y + 8)² = 16.

1) (x + 2)² + (у - 4)² = 4. Центр кола O(-2; 4), R = 2 при гомотетії із центром у початку координат і k = 1/2, образом О є точка O₁(-1; 2), R₁ = 1.

Образом кола є коло (x + 1)² + (у - 2)² = 1.

2) (x + 2)² + (у - 4)² = 4. O(-2; 4) — центр кола, R = 2. Якщо k = -2, образом т. O(-2; 4) буде точка O₁(4; -8), R₁ = 4. Образом кола є коло (x - 4)² + (y + 8)² = 16.

20.45. стор. 198. Розглянемо гомотетії з центром у точці дотику кіл і де R — радіус більшого кола, r — радіус меншого кола.

Пряма А₂В₂ є образом прямої А₁В₁, отже, А₁В₁ || А₂В₂.

20.46. стор. 198. Розглянемо гомотетії з центром у точці дотику кіл і коефіцієнтом гомотетії, який дорівнює відношенню радіусів цих кіл. При гомотетії образом прямої A₁В₁ є пряма А₂В₂, а це означає, А₁В₁ || А₂В₂.

20.47. стор. 199. Геометричним місцем точок, які є серединами хорд даного кола, одним із кінців якого є точка А, є коло. Це коло є образом даного кола при гомотетії з центром А та коефіцієнтом гомотетії k = 1/2, за винятком точки А.

20.48. стор. 199. рис.

Розглянемо гомотетію з центром в точці М. Коефіцієнт гомотетії k = 1/2. Образом М₁ є точка O₂. Образом точки A₁ є точка А. Отже, MA = AA₁, якщо k = 1/2.

Менше коло ділить навпіл хорду МА₁ більшого кола, яка проходить через точку дотику кіл — точку М.

20.49. стор. 199. Розглянемо гомотетію з центром у точці М і коефіцієнтом k = 2. Трикутник з вершинами в точках симетричним точці М відносно середин сторін ΔАВС є образом трикутника в серединах сторін даного трикутника.

20.50. стор. 199. Побудуємо довільний трикутник, два кути якого дорівнюють даним кутам. Опишемо навколо нього коло. Шуканий трикутник є образом побудованого трикутника при гомотетії із центром у довільній точці та коефіцієнтом, що дорівнює відношенню даного радіуса до радіуса побудованого кола.

20.51. стор. 199. Побудуємо довільний трикутник, у якого два кути, що дорівнюють даним. Впишемо в цей трикутник коло. Розглянемо гомотетію із центром у довільній точці. Шуканий трикутник є образом побудованого трикутника при гомотетії з коефіцієнтом, що дорівнює відношенню даного радіуса до радіуса побудованого кола.

20.52. стор. 199. рис.

ΔАВС, АС — найбільша сторона ΔABC. Із довільної точки М опустимо перпендикуляр MN ⊥ АС. Побудуємо прямокутник MNKP, у якого MN : NK = 1 : 2. Розглянемо гомотетію із центром у точці А та коефіцієнтом Точка P₁ є образ точки Р, відрізок Р₁К₁ є образом відрізка MN.

Проведемо Р₁М₁ || АС; М₁N₁ || P₁K₁. M₁P₁K₁N₁ — прямокутник, сторони якого відносяться як 2 : 1, дві вершини N₁ і K₁, лежать на стороні АС, а дві інші — на сторона АВ і ВС.

20.53. стор. 199. рис.

Медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні CM : MD — 2 : 1.

(DC — медіана).

Розглянемо гомотетію з центром у точці D — середини хорди АВ, k = 1/3.

Геометричне місце точок перетину медіан ΔАВС — множина точок дуги кола (крім точок A і С), яка є образом дуги даного кола.

20.54. стор. 199. Розглянемо гомотетію з центром у середині відрізка АВ і коефіцієнтом k = 1/3.

Геометричним місцем точок, які є точками перетину медіан ΔABC, де С — довільна точка прямої l є пряма, яка є образом прямої l (за винятком точки перетину прямих АВ і l).

20.55. стор. 199. рис.

Побудуємо довільне коло, яке дотикається до сторін кута.

Розглянемо гомотетію з центром у точці В і коефіцієнтом знаходимо центр кола О₁ і будуємо коло, яке є образом кола з центром О.

20.56. стор. 199. рис.

ABCD — ромб, АС = 12 см; BD = 16 см.

h — висота ромба,

r — радіус кола, вписаного в ромб.

Відповідь: 96 см²; 4,8 см.

20.57. стор. 199. рис.

3x + 4y = 24.

Точка перетину з віссю Ох: y = 0; 3x = 24; x = 8.

Точка перетину з віссю Оу: х = 0; 4y = 24; y = 6.

ΔАОВ — прямокутний

20.58. стор. 199. рис.

ОВ ⊥ ВС, O₁C ⊥ ВС. Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. ΔОВА — рівнобедрений. ∠1 = ∠2. ΔO₁СА — рівнобедрений, ∠3 = ∠4.