АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 22

Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння tg t = a.

Мета уроку: зсвоєння учнями виведення і застосування фор­мули для знаходження коренів рівняння tg t = a (ctg t = а).

Обладнання: Таблиця «Рівняння tg t = а і ctg t = a».

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити наявність домашніх завдань в зошитах учнів. Звірити розв'язання № 1 (8; 18) за записами на дошці.

Математичний диктант

Запишіть розв'язки рівнянь:

1) sin x = 0;  2) sin x = 1; 3) sin x = -1;  4) sin2x = 0; 5)sin x = ; 6) sin x = -; 7) cos x = 0; 8) cos x = 1; 9) cos x = -1; 10) cos  = 1; 11) cos x = ; 12) cos x =-.                      

Відповідь: 1) πn, nZ; 2) +2πn, nZ; 3) -+2πn, nZ;  4) , nZ; 5) (-1)n+1 + πn, nZ; 6) (-1)n+1 + πn, nZ;

7) + πn, nZ;  8) 2πn, nZ; 9) n + 2πn, nZ;  10) 4πn, nZ;  11) ± + 2πn, nZ; 12) ± + 2πn, nZ.

II. Повідомлення теми уроку

III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв'язування рівняння tg t = a (ctg t = a)

Демонструється таблиця 10.

Таблиця 10

Пояснення вчителя

Розв'язування рівняння tg t = а зручно проілюструвати за допо­могою лінії тангенсів (рис. 124). tg t — це ордината точки перетину прямої ОРt з лінією тангенсів. Відкладемо на осі тангенсів число а, через цю точку і початок координат проведемо пряму, яка перетне одиничне коло у двох точках  і , тоді

t = arctg а + πn, nZ         (1)

Отже, рівняння tg t = а при будь-яко­му значенні а має розв'язок.

Рівняння ctg t = а, де а ≠ 0 рівносиль­не рівнянню tg t = .

Проте можна довести, що розв'язки рівняння ctg t = а можна записати у вигляді:

t = arcctg a + πп, nZ        (2)

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння tg x = .

Розв'язання

По формулі (1) знаходимо х = arctg  + πn, nZ.

Оскільки arctg  = , то маємо: х =  + πn, nZ.

Відповідь:  + πn, nZ.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння tg х = 2.

Розв'язання

За формулою (1) маємо: х = arctg 2 + πn, nZ. Значення arctg 2 можна знайти за допомогою мікрокалькуля­тора arctg2  1,1, тоді х  1,1 + πn, nZ.

Відповідь: arctg 2 + πn  1,1 + πn, nZ.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння ctg x –  = 0.

Розв'язання

ctg х –  = 0; ctg х = ; tg х = , x = arctg  + πn = + πn, nZ.

Відповідь: + πn, nZ.

IV. Осмислення вивченого матеріалу

Виконання вправ_____________________________

Розв'яжіть рівняння.

1. a) tg x +  = 0;  б) ctg x + 1 = 0;  в) tg x – 1 = 0; г) ctg x – 1= 0.

Відповідь: а) -  + πn, nZ; б)  + πn, nZ; в) + πn, nZ; г)  + πn, nZ.

2. а) ; б) .

Відповідь: а) 3 πn, nZ ;  б) n + 2 πn, nZ.

3. a) 3tg2 x + 2 tg x – 1 = 0;   

б) 2ctg2 x + 3ctg x – 2 = 0;

в) tg x – 2ctg x + 1 = 0;    

г) tg2 х – 3tg х = 0.

Відповідь: а) -+ πn і arctg  + πn, nZ; 

б) arctg 2 + πn і  -arctg  + πn, nZ;

в) + πn і -arctg 2 + πn, nZ;  

г) πn і  + πn, nZ.

V. Підведення підсумків уроку

VI. Домашнє завдання

Розділ II § 2 (3). Запитання і завдання для повторення розділу II № 13—15. Вправа № 1 (4; 11; 12; 15; 16).