АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 29

Тема. Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: tg t > a, tgt < a, ctg t < a, ctg t > a (tgt  a, tgt  a, ctg t  a, ctg t  a).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів у процесі виконання домашніх завдань.

2. Фронтальна бесіда з учнями з використанням рис. 130.

1) Яка дуга відповідає нерівностям: sin t > a;  cos t > b; sin t > - a; cos > - b; sin t < a, cos t < b, sin t < - a, sin t < - b?

2) Розв'язком якої нерівності є дуга АmВ; AkD; CpD; СnВ?

3) Розв'яжіть нерівності: cos t  1; sin t > 5; sin t < 5; sin t < -1; cos t >π; cos t <π; cos t  0; cos t  0; sin t  0; sin t  0.

II. Сприймання і усвідомлення розв'язування найпрості­ших тригонометричних нерівностей

На сьогоднішньому уроці ми продовжимо вчитися розв'язу­вати найпростіші тригонометричні нерівності.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність tg t  1.

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло та лінію тангенсів (рис. 131). На осі тангенсів позначимо число 1. Якщо t є розв'язком нерівності, то ордината точки Т, рівна tg t, повинна бути не більша 1. Мно­жина таких точок Т — промінь AT. Множина точок , що відповідають точкам променя АТ, — дуга , яка на рисунку виділена. (Зверніть увагу: точка  належить, а точка  не належить множині розв'язків). Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції tg t дорівнює π, маємо розв'язок даної нерівності , nZ.

Відповідь: , де nZ.

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність tg t > .

Розв'язання

На осі тангенсів (рис. 132) позначимо число  і множину значень тангенсів, не менших за  (промінь AT). На одиничному колі множина точок, що відпові­дають кутам, тангенс яких не менший від , є дуга . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: , де nZ.

Відповідь: , де nZ.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність ctgt  -.

Розв'язання

1 спосіб. Враховуючи, що ctg t = tg , маємо ctg t = - tg , тоді маємо нерівність  -tg  -  a6o tg . Розв'яжемо останню нерівність (рис. 133), маємо: , nZ;  , nZ.

Відповідь: , де nZ.

2 спосіб. На осі котангенсів позначи­мо число і множину (рис. 134) значень котангенсів, не менших за - (промінь AQ). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, котангенс яких не менший від -, є дуга   Отже, розв'язки нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи періодичність, маємо: , nZ.

Відповідь: , де nZ.

III. Формування умінь розв'язувати найпростіші нерівності

1. Розв'яжіть нерівності: a) tg x   – 1;  б) tg x < ;  в) tg х  2; г) ctg х > .

Відповідь:    а) , nZ; б) , nZ; в) , nZ; г) , nZ.

IV. Підведення підсумків уроку

V. Домашнє завдання

Розділ II § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу II № 24. Вправа № 3 (2, 4, 6, 8).