АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 44

Тема. Застосування властивостей показникової функції до розв'язування вправ

Мета уроку. Формування умінь учнів застосовувати властивості показникової функції до розв'язування вправ. Познайомити учнів з використанням показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища.

І. Перевірка домашнього завдання

Колективне обговорення № 1—12 із «Запитання і завдання для повторення» § 1 розділу IV.

II. Набуття умінь застосовувати властивості показникової функції до розв'язування вправ

Початковий рівень

1. Знайдіть значення функції у = 3х, якщо: а) х = 2;  б) х = – 2;  в) х = 0.

Відповідь: а) 9; б) ; в) 1.

2. На якому з рисунків (рис. 144) подано графік функції: a) y =5х;  б)  ?

Відповідь: а) І; б) IV.

3. Користуючись графіком функції у = 2х, порівняйте значення виразів (рис. 145): а) 210 і 220;  б) 2-10 і 210;  в) 2-10 і 2-20.

Відповідь: а) 210 < 220; б) 2-10 < 210; в) 2-10 > 2-20.

4. Користуючись графіком функції , порівняйте значення виразів (рис. 146):     a)  і ; б)  і  ;   в) і .

Відповідь: a)  > ; б)  > ;   в) > .

Середній рівень

1. Знайдіть область визначення функцій: а) y = 2x + 6; б) ; в) y = 3x + 1; г) .

Відповідь: a) R; б) R; в) R; г) R.

2. Побудуйте схематично графік функцій:

a) y = 1,7x;  б) ; в) y = 0,3х; г) .

Відповідь: рис. 147: а); б); в); г).

3. Порівняйте числа: а) 1,83 і 1; б) 0,85 і 1; в)   і  5-4;  г)  і .

Відповідь: а) 1,83 > 1; б) 0,85 < 1; в)  > 5-4;  г)  >.

4. Порівняйте числа х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) < ; б) < ; в) 3х <  ; г) <.

Відповідь: а) х < у; б) х > у; в) х < у; г) х < у.

5. Порівняйте основу a > 0 з одиницею, якщо відомо, що вірна нерівність:                   

а) а-2 > а2; б) аn > а3; в) ; г) .

Відповідь: а) 0 < a < 1; б) а > 1; в) 0 < а < 1; г) а > 1.

Достатній рівень

1. Знайдіть область визначення функцій: а) ; б) y=; в) .

Відповідь: а) R; б) [0; +); в) (-; -1)  (-1; 1)  (1; +).

2. Побудуйте графіки функцій: a) y =3x + 1; б) ; в) y = nх - 2; г) y = 3х+1.

Відповідь: (рис. 148) а); б); в); г).

Рис. 148

3. Знайдіть множину значень функцій:

а) у = -3х; б) ; в) ; г) y = 5х – 3.

Відповідь: а) (-; 0); б) (3; +); в) (-; 0); г) (-3; +).

4. Який висновок можна зробити відносно показника х, якщо:

а) 5х = 10;  б) 5х = 3;  в) 0,01х = 2;  г) 100х = 2.

Відповідь: а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) 0 < х < 1.

Високий рівень

1. Знайдіть область визначення функцій:

 а) ;   б) ; в) ;  г) .

Відповідь: а) х ≠  + πn, nZ;   б) х ≠  + 2πn, nZ;

в) -  + 2πn  х   + 2πn, nZ;   г) πn  х <  + πn, nZ.                          

2. Побудуйте графіки функцій:

a) у =; б) у = ; в) ; г) .

Відповідь: (рис. 149) а); б); в); г).

Рис. 149

3. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:

а) ; б) ; в) y = nsinx;  г) .

Відповідь: а) найбільшого немає, найменше 1;  б) найбільше 2, найменше 1; в) найбільше n, найменше ; г) найбільше 1, найменше  – 1.

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

Показникова функція часто використовується для описання різних процесів у природі і техніці.

Так, радіоактивний розпад виражається формулою

де m(t) — маса радіоактивної речовини в момент часу t;

т0 — маса радіоактивної речовини в момент часу t = 0;

Т   — період напіврозпаду (проміжок часу, за який почат­кова кількість речовини зменшується удвічі).

За допомогою показникової функції виражається тиск повітря в залежності від висоти підйому, приріст деревини, кількість бактерій, які розмножуються в деякому середовищі тощо.

Більш детальніше про практичне використання показникової функції ви прочитаєте в підручнику. А зараз розв'яжемо задачу.

При радіоактивному розпаді кількість речовини зменшується вдвічі за добу. Скільки речовини залишиться від 250 г через: а) 1,5 доби; б) 3,5 доби?

Розв'язання

За умовою задачі т0 = 250 г, Т = 1 доба. За законом радіоак­тивного розпаду маємо:

, .

Знайдемо m(1,5) і m(3,5):

а) = 250 · (0,5)1,5  88,4 (г);

б)  = 250 · (0,5)3,5  22,1 (г).

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ IV § 1. «Запитання і завдання для повторення» № 13—16, 25.