АЛГЕБРА
Уроки для 7 класів

Варіант 1

Варіант 2

№ 1. Розкладіть на множники:

1) х3 – 9х;

2) 12 – 75с2;

3) -n2 – 8n – 16;

4) 4m3 – 32с3;

5) 3тп + 24n – 9m – 72.

№ 1. Розкладіть на множники:

1) а3 – 16а;

2) 10х2 – 50;

3) -m2 + 6m – 9;

4) 2n3 + 54k3;

5) ас4 – с4 + ас3 – с2.

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1) 2х3 – 50х = 0;

2) 9х3 + 6х2 + х = 0.

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1) 6х3 – 24х = 0;

2) 25х3 – 10х2 + х = 0.

№ 3. Розкладіть на множники:

1) а + b + а2 – b2;

2) х2 – 2ху + у2 – m2;

3) (2m – 3)2 – (m + 2)2.

№ 3. Розкладіть на множники:

1) х2 – у2 + х – у;

2) х2 – 4ху + 4у2 – 1;

3) (4m – 3)2 – (m + 2)2.

№ 4. Доведіть, що:

1) при кожному цілому к значення виразу (k + 5)( k 2 – к + 1) - k(k + 2)2 + 3
 ділиться на 8;

2) значення виразу 825 – 6412 ділиться на 7.

№ 4. Доведіть, що:

1) при будь-якому цілому л значення виразу (2n + 3)2 – (2n – 3)(2n + 5)
 ділиться на 8;

2) 220 + 225 – 411 ділиться на 29.

№ 5. Знайдіть найменше значення виразу:

1) х2 + 8х + 16; 2) х2 + 8х + 17.

При яких значеннях х вираз набуває найменшого значення?

№ 5. Знайдіть найменше значення виразу:

1) x2 – 6х + 9;  2) x2 – 6x + 12.

При яких значеннях х вираз набуває найменшого значення?

№ 6. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непарним числом

№ 6. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, взятих через 1, ділиться на 4

Варіант 1

Варіант 2

№ 1. 1) х(х – 3)(х + 3);

    2) 3(4 – 25с2) = 3(2 – 5с)(2 + 5с);

    3) -(n2 + 8n + 16) = -(n + 4)2;

    4) 4(m3 – 8с3) = 4(m – 2с)(m2 + 2сm + 4с2);

    5) 3(mn + 8n – 3m – 24) = 3(m(n – 3) + 8(n – 3)) = 3(n – 3)(m + 8).

№ 1. 1) а(а2 – 16) = а(а – 4)(а + 4);

   2) 2(9х2 – 25) = 2(3х – 5)(3х + 5);

   3) -(m2 – 6m + 9) = -(m – 3)2;

   4) 2(n3 + 27k3) = 2(n + 3k)(n2 – 2kn + 9k2);

    5) с2(ас2 – с2 + а – 1) = с2(с2(а – 1) + (а –1)) = с2(а – 1)(с2 + 1).

№ 2. 1) 2х(х – 5)(х + 5) = 0;

      х = 0 або х = 5 або х = -5;

       2) х(3х + 1)2 = 0; х = 0 або х = -.

№ 2. 1) 6х(х2 – 4) = 0;

            6х(х – 2)(х + 2) = 0;

        х = 0 або х = 2, або х = -2;     

        2) х(25х2 – 10х + 1) = 0;  

          х(5х – 1) = 0; х = 0 або х = .

№ 3. 1) (а + b) + (а + b)(а – b) = (а + b)(1 + а – b);

2) (x – у)2 – m2 = (х – у – m)(х – у + m);

3) ((2m – 3) – 2(m + 2))(2m – 3 + m + 2) = (m – 5)(3m – 1).

№ 3. 1)(х – у)(х + у) + (х – у) = (х – у)(х + у + 1);

 2) (х – 2у)2 – 1 = (х – 2у – 1)(х – 2у + 1);

 3) (4m – 3 – (m + 2))(4m – 3 + m + 2) = (3m – 5)(5m – 1).

№ 4. 1) k 3 + 5k2 – k2 – 5k + k + 5 – k3 – 4k2 – 4k + 3 = -8k + 8 = 8(-k + 1) ділиться на 8;

2) 825 – 6412 = 825 – 824 = 824(8–1) = 824 ∙7  ділиться на 7

№ 4. 1) (2n + 3)2 – (2n – 3)(2n + 5) = 4n2 + 12n + 9 – (4n2 – 6n + 10n – 15) =

= 4n2 + 12n + 9 – 4n2 – 4n +15 = 8n + 24 = 8(n + 3) ділиться на 8;

2) 220 + 225 – 411  = 220 + 225 – 222 = 220(1 + 25 – 22) = 220(1 + 32 – 4) =

= 220 ∙ 29 ділиться на 29

№ 5. 1) х2 + 8х + 16 = (х + 4)2 ≥ 0, найменше значення дорівнює 0, при

       х + 4 = 0, тобто х = -4;

2) х2 + 8х + 17 = (х2 + 8х + 16) + 1 = (х + 4) +1 ≥ 1, найменше значення  

    дорівнює 1 при (х + 4)  = 0, тобто х + 4 = 0, х = -4.

№ 5. 1) х2 – 6х + 9 = (х – 3)2 ≥ 0, найменше значення дорівнює 0 при х = 3;

2) х2 – 6х + 12 = (х2 – 6х + 9) + 3 = (х – 3) + 3 ≥ 3, найменше значення дорівнює 3 при х = 3.

№ 6. Нехай менше число х, тоді наступне — (х +1), а різниця квадратів

(х + 1)2 – х2 = х2 + 2х + 1 – х2 = 2х + 1 – непарне число (від ділення на 2 дає остачу 1)

№ 6. Нехай менше число х, тоді число через 1 дорівнює (х + 2), а різниця квадратів

 (х + 2)2 – х2 = (х + 2 – х)(х + 2 + х) = 2 ∙ (2х + 2) = 2 ∙ 2 ∙ (х + 1) = 4(х +1) ділиться на 4