ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 11

Тема. Розв'язування задач

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати ознаку паралельності та ознаку мимобіжності двох прямих до розв'язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, модель тетраедра.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1) Як можуть розташовуватися дві різні прямі в просторі?

2) Які прямі в просторі називаються паралельними?

3) Сформулюйте ознаку паралельності прямих.

4) Які прямі називаються мимобіжними?

5) Сформулюйте ознаку мимобіжності прямих.

2. Перевірку виконання задачі № 27 можна провести шляхом бесіди, користуючись рис. 36 із підручника, за такими питаннями:

1) Чому DC ║ D1C1 ?

2) На підставі чого можна стверджувати, що DC = D1C1 ?

3) Згідно з якою ознакою чотирикутник CDD1C1 є паралелограмом?

4) Яке взаємне розміщення прямих AD1 і АВ? Чому?

5) Яке взаємне розміщення прямих DC і AD1? Чому?

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач

1. Точка S не лежить у площині трикутника АВС, точки Μ, Ν і Ρ — середини відрізків SA, SB і SC відповідно, точка Κ лежить на відрізку BN. Яке взаємне положення прямих: a) NS і АВ; б) РК і ВС; в) MN і АВ; г) МР і АС; д) KN і АС; е) KN і АС; є) MS і ВС? Відпо­відь обґрунтуйте.

2. Через точку А, що не лежить на прямій а, проведено дві прямі, які не мають спільних точок з прямою а. Доведіть, що хоча б одна з прямих і пряма а будуть мимобіжними прямими.

3. Через вершину А ромба ABCD проведена пряма а, паралельна діаго­налі BD, а через вершину С — пряма b, яка не лежить в площині ромба. Доведіть, що: а) прямі а і CD перетинаються; б) прямі a і b — мимобіжні прямі.

4. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні АС : СВ = m : n. Пара­лельні прямі, які проходять через точки А, С, В, перетинають деяку площину в точках A1, С1, В1. Знайдіть відношення A1B1 : А1С1, якщо відомо, що відрізок АВ не перетинає даної площини.

5. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α . Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетина­ють площину α в точках В1 і С1. Знайдіть довжину відрізка СС1, якщо: а) АС : СВ = m : n і  ВВ1 = а; б) АС1 : C1Β1 = m : n і ВВ1 = b; в) АВ : ВВ1 = m : n і АС = с.

6. Через вершину D паралелограма ABCD проведено площину, яка не перетинає його, а через точки А, В, С — паралельні прямі, які пе­ретинають цю площину в точках А1, В1, С1 відповідно. Знайдіть ВВ1, якщо АА1 = а, СС1 = с.

7. Задача № 8* із підручника (с. 18).

8. Нехай О — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD, а α — площина, яка перетинає паралелограм. Через точки А, В, С, D, О проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках Α1, B1, С1 D1, O1 відповідно. Доведіть, що:

а) АА1 + ВВ1 + СС1 + DD1 = 4 · ОО1; б) АА1 + СС1 = ВВ1 + DD1.

9. Задача № 12* із підручника (с. 19).

Розв'язання

Точки Μ, Ν, К, L, S, Ρ — середини відрізків АВ, ВС, AC, AD, BD, CD відповідно (рис. 41). Чотирикутник MLPN — паралелограм (оскільки MN ║ AC, MN = AC, LP ║ AC, LP = AC), отже, ΜΡ і LN — його діагоналі, які перетина­ються в точці О і діляться в цій точці пополам.

Чотирикутник LSNK — паралелограм (оскільки LS || АВ, LS =  АВ, NK || АВ, NK = АВ), отже, його діагоналі SK і LN перетинаються в точці О і діляться в цій точці пополам. Тобто, прямі, які з'єднують сере­дини відрізків   АВ і CD, AC і BD, AD і ВС, перетинаються в одній точці.

III. Домашнє завдання

Підготуватися до тематичної атестації та розв'язати наступну задачу.

Дано трикутник АВС і площину α , яка не перетинає його. Через вершини трикутника АВС і точку Μ — середину медіани AD цього три­кутника — проведені паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А1, B1, C1 і М1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка ММ1, якщо АА1 = а, BB1 = b, СС1 = с.

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Вкажіть можливі випадки розташування двох прямих у просторі.

2) Сформулюйте ознаку паралельності прямих у просторі.

3) Сформулюйте ознаку мимобіжності прямих у просторі.