ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 13

Тема. Розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини

Мета уроку: формування знань учнів про взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Вивчення ознаки паралельності прямої і площини.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і тетраедра, схема «Аксіоми стереометрії».

Хід уроку

І. Аналіз виконання тематичного оцінювання № 1.

II. Перевірка домашнього завдання

Зібрати зошити наприкінці уроку для перевірки їх ведення і вико­нання домашнього завдання.

III. Узагальнення та систематизація знань учнів

Взаємне розміщення прямої і площини в просторі

Запитання до класу.

1)  Згадайте і сформулюйте теорему про належність площині прямої, дві точки якої належать площині.

2)  Як можуть розміщуватися пряма і площина в просторі?

При обговоренні цього питання доречно скористатися схемою «Взаємне розміщення прямої і площини» з уроку № 3, с. 21.

IV. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Поняття прямої, паралельно! площині, та ознака паралельності прямої і площини

Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Паралельність прямої а і площини α позначається так: а || a. Наочне уявлення про пряму, яка паралельна площині, дають лінії перетину стіни і стелі — ці лінії паралельні площині підлоги. Відрізок називається пара­лельним площині, якщо він є частиною прямої, паралельної площині.

Сформулюємо та доведемо ознаку паралельності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Доведення ознаки записується на дошці і в зошитах.

Дано: а || b; b α (рис. 51).

Довести: а || a.

Доведення

Припустимо, що пряма а не належить площині a. Тоді а і a мають спільну точку А.

Якщо А Î b , то а і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Якщо А Î b , то а і b мимобіжні, що суперечить умові.

Отже, а || a.

Виконання вправ

1. Дано зображення куба АВСD1А1B1С1D1. Доведіть, що:

а) пряма АВ паралельна площині DСС1;

б) пряма АВ паралельна площині DСВ1.

2. У трикутній піраміді SАВС точки М і N — середини ребер SА і SВ відповідно. Доведіть, що МN || (АВС).

3. Дано площину a і поза нею точку А. Провести через точку А пря­му, паралельну даній площині a.

Розв'язання

Аналіз. За умовою А Î a (рис. 52). Щоб пряма а, яка проходить через точку А, була паралельна площині a, достатньо, щоб вона була паралельна прямій b, яка належить площині a . Звідси випливає план розв'язання:

1) в площині a проводимо довільну пряму b;

2) через пряму b і точку А проводимо площину b;

3)  через точку А проводимо пряму а: а || b.

Доведення. Згідно з ознакою паралельності прямої і площини маємо: а || a.

Дослідження. Пряма b проведена в площині a довільно, таких прямих нескінченна множина, отже, задача має нескінченну множину розв'язків.

4. Дано пряму а і точку А, яка не лежить на ній. Провести площину, яка проходить через точку А і паралельна прямій а.

5. Дано паралельні прямі а і b. Провести через пряму а площину, яка паралельна прямій b.

6. Задача № 15 із підручника (с. 19).

7. Дано мимобіжні прямі а і b та точку С, яка не лежить на них. Про­вести через точку С площину, паралельну прямим а і b.

V. Домашнє завдання

§ 2, п. 9; контрольні запитання № 5, 6; задачі .№ 14, 16 (с. 19).

VI. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Як можуть розташовуватися пряма і площина у просторі?

2) Сформулюйте ознаку паралельності прямої і площини.