ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 17

Тема. Існування площини, паралельної даній площині

Мета уроку: вивчення теореми про існування єдино! площини, яка паралельна даній площині і проходить через дану точку, що не належить даній площині.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірка правильності розв'язування задачі № 25.

Розв'язання задачі № 25

Через дану точку А проведемо дві довільні прямі а і b, паралельні площині а (рис. 61). Прямі а і b визначають площину b . Площина b паралельна площині a.

Будь-яка пряма с, яка проходить через точ­ку А і паралельна площині a, лежить в площи­ні a, бо в супротивному випадку пряма с пере­тинала б площину b, а отже, і площину a.

Запитання до класу щодо розв'язання задачі № 25.

1)  На підставі чого можна стверджувати, що прямі а і b визначають площину b?

2)  Скільки площин можна провести через прямі а і b?

3)  Поясніть, чому площина b паралельна площині a.

4)  На підставі чого можна стверджувати, що пряма с, якщо перетинає площину b , то перетинає і площину a?

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Теорема про існування площини, що паралельна даній площині

Перед вивченням нового матеріалу доцільно поставити учням питан­ня: як ви вважаєте, скільки площин, паралельних даній площині, мож­на провести через дану точку?

При обговоренні звернути увагу учнів на розгляд двох випадків: 1) дана точка належить даній площині; 2) дана точка лежить поза даною площиною.

Далі повідомляється тема і формулюється теорема.

Теорема.

Через точку поза даною площиною можна провести пло­щину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення розіб'ємо на дві частини.

1. Доведемо, що через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній площині.

Наводимо зразок запису доведення першої частини на дошці.

Дано: a, А  a (рис. 62).

Довести: існує b, b || a , А Î b.

Доведення

Проводимо в площині а дві прямі а і b, які перетинаються.

Через точку А проведемо прямі а1 і b1 такі, що а1 || а, b1 || b (теоре­ма 2.1).

Через прямі а1 і b1 проведемо площину b, яка паралельна a (теоре­ма 2.4).

Звертаємо увагу учнів на те, що безпосередньо з доведення існування площини b не випливає, що b — єдина, бо прямі а і b вибрані довільно, тому може статися, що другій парі таких прямих буде відповідати друга площина b1, паралельна а.

2. Доведемо, що через точку поза даною площиною проходить тільки одна площина, паралельна даній площині. Наводимо зразок запису доведення другої частини на дошці.

Дано: a, А  a, b, b || a, А  b (рис. 63).

Довести: b — єдина.

Доведення

Припустимо, через точку А проходить b1 така, що b1 || a.

Візьмемо точку С таку, що С Î b1, С  b.

Візьмемо точку В, В Î a.

Через точки А, B, С проведемо γ, яка перетинає a по прямій b, b — по а,   b1 — по с.

Тоді а || b, с || b. Отже, через точку А проходять дві різні прямі а і с, які паралельні прямій b, що суперечить теоремі 2.1.

Виконання вправ

1.   Через пряму а, яка паралельна площині a, проведіть площину, па­ралельну даній площині a. Скільки площин можна провести?

2.   Задача № 23 із підручника (с. 20).

3.   Доведіть, що якщо площина γ перетинає одну з паралельних пло­щин a або b, то вона перетинає і другу площину.

4.   Доведіть, що через будь-які мимобіжні прямі можна провести єди­ну пару паралельних площин.

III. Домашнє завдання

§2, п. 11; контрольне запитання № 9; задача № 24 (с. 20).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

Скільки площин, паралельних даній площині, можна провести через точку, яка:

а) належить даній площині;

б) не належить даній площині?