ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 53

Тема. Кут між мимобіжними прямими

Мета уроку: формування поняття кута між мимобіжними прямими, а також вмінь учнів знаходити кути між мимобіжними прямими.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба, тетраедра, прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

I. Аналіз виконання тематичного оцінювання № 5

II. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення і виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Поняття кута між прямими, які перетинаються

Введемо поняття кута між прямими в просторі.

Якщо дві прямі перетинаються, вони утворюють чотири кути (по­парно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90°.

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°. Слід зазначити, що кут між прямими — це не геометрична фігура, це — величина.

Розв'язування вправ

1. ABCDA1B1С1D1 — куб. Знайдіть кут між прямими:

а) АВ1 і AD1; б) АВ1 і AD;  в) АВ1 і АВ;   г) АС і AC1.

(Відповідь: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) arcsin )

2. Прямі а і b перетинаються під кутом 30° , а прямі а і с — під кутом 60° . Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с? (Відповідь. Так)

3. ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а, AD = b, АА1 = с . Знайдіть кут між прямими:

а) А1В і АВ;  б) A1D і AD;  в) BD і АВ; г) ВА1 і DA1.

(Відповідь, a) arctg ; б) arctg; в) arctg ; г) arccos )

Кут між мимобіжними прямими

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між пря­мими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіж­ним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90°, називаються перпендикулярними.

Розв'язування вправ

1. Покажіть перпендикулярні мимобіжні прямі в оточенні.

2. Дано зображення куба (рис. 275). Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b.

Рис. 275

(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°)

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АВ1CD1.

4. Пряма SA перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SA і ВС. (Відповідь. 90°)

5. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що KMАВ. Знайдіть довжину відрізка KM.

(Відповідь. )

6. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналлю грані куба і діагоналлю куба.

Розв'язання

Знайдемо кут між діагоналлю ВD1 куба і діагоналлю DC1 грані куба (рис. 276). Добудуємо до даного куба куб ADMNA1D1M1N1 (рис. 277), тоді кут між прямими BD1 і DC1 дорівнює куту між прямими BD1 і D1M. Нехай АВ = а; тоді D1M = а, AD1 = a , ВМ = а.

Із ΔBD1M маємо:

ВМ2 = DB2 + D1M2 – 2AD1 · D1M cosBD1M, або

5а2 = 2а2 + 3а2 – 2а · a cos BD1M;  

5а2 = 5а2 – 2а2 cos <BD1M;

2а2 cos <BD1M = 0;

cos <BD1M = 0;

<BD1M = arccos 0 = 90°.

Відповідь. 90°.

7. Довести, що кут між мимобіжними прямими не залежить від вибо­ру прямих, що перетинаються.

IV. Узагальнення та систематизація знань

Враховуючи означення кута між мимобіжними прямими, можна дати узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини, ознаки пе­рпендикулярності прямої і площини, теореми про три перпендикуляри.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпе­ндикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Якщо пряма перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпен­дикулярна до площини.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції по­хилої на цю площину, перпендикулярна і до похилої. І навпа­ки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Розв'язування задач

1.   Задача № 30 із підручника (с. 56).

2.   Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини. Довести.

3.   Задача № 33 із підручника (с. 56).

4.   Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АС1BD.

5.   ABCD — ромб (рис. 278), пряма SO пер­пендикулярна до площини АВС. Дове­діть, що SCBD.

6.   SABC — трикутна піраміда, всі ребра якої рівні. Доведіть, що SAВС.

V. Домашнє завдання

§4, п. 31; контрольне запитання № 14; задача № 32 (с. 56).

VI. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1)  Що називається кутом між мимобіжними прямими?

2)  Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються?

3)  Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.

4)  Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини.

5)  Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри.