ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 56

Тема. Площа ортогональної проекції многокутника

Мета уроку: вивчення теореми про площу ортогональної проекції многокутника, формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв'язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 42, 45 на дошці.

2. Фронтальне опитування.

1) Дайте означення кута між двома площинами, які перетинаються.

2) Чому дорівнює кут між:

а) паралельними площинами;

б) перпендикулярними площинами?

3) У яких межах може змінюватися кут між двома площинами?

4) Чи правильно, що площина, яка перетинає паралельні площини, перетинає їх під однаковими кутами?

5) Чи правильно, що площина, яка перетинає перпендикулярні площини, перетинає їх під однаковими кутами?

3. Перевірка правильності розв'язання задач № 42, 45, яке відтвори­ли учні на дошці.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Учням пропонується самостійно прочитати в підручнику доведення теореми 4.1 із п. 34, а потім викликаються до дошки учні, які відтворю­ють доведення теореми.

Завдання учням

1.   Доведіть, що площа проекції трикутника, у якого одна сторона зна­ходиться в площині проекції, дорівнює добутку його площі на ко­синус кута між площиною многокутника і площиною проекції. 

2.   Доведіть теорему для випадку, коли многокутником є трикутник, у якого одна сторона паралельна площині проекцій.

3.   Доведіть теорему для випадку, коли многокутником є трикутник, у якого жодна із сторін не паралельна площині проекцій.

4.   Доведіть теорему для будь-якого многокутника.

Розв'язування задач

1.   Знайти площу ортогональної проекції многокутника, площа якого дорів­нює 50 см2, а кут між площиною многокутника і його проекцією — 60°.

2.   Знайти площу многокутника, якщо площа ортогональної проекції цього многокутника дорівнює 50 см2, а кут між площиною много­кутника і його проекцією дорівнює 45°.

3.   Площа многокутника дорівнює 64 см2, а площа ортогональної прое­кції — 32 см2. Знайдіть кут між площинами многокутника і його проекцією.

4.   Чи може площа ортогональної проекції многокутника дорівнювати площі цього многокутника?

5.   Ребро куба дорівнює а. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через вершину основи під кутом 30° до цієї основи і пе­ретинає всі бічні ребра. (Відповідь. )

6.   Задача № 48 (1, 3) із підручника (с. 58). 

7.   Задача № 49 (2) із підручника (с. 58).

8.   Сторони прямокутника дорівнюють 20 і 25 см. Його проекція на площину подібна йому. Знайти периметр проекції. (Відповідь. 72 см або 90 см.)

III. Домашнє завдання

§4, п. 34; контрольне запитання № 17; задачі № 48 (2), 49 (1) (с. 58).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції многокут­ника.

2) Чи може площа ортогональної проекції многокутника бути біль­шою площі многокутника?

3) Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено пло­щину α під кутом 45° до площини трикутника і перпендикуляр CO до площини α. АС = 3 см, ВС = 4 см. Укажіть, які з наведе­них тверджень правильні, а які — неправильні:

а) кут між площинами АВС і α дорівнює куту СМО, де точ­ка М — основа висоти СМ трикутника АВС;

б) СО = 2,4 см;

в) трикутник АОС є ортогональною проекцією трикутника АВС на площину α;

г) площа трикутника АОВ дорівнює 3 см2.

(Відповідь. а) Правильне; б) неправильне; в) неправильне; г) правильне.)