Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 1

Теорема про три перпендикуляри

101. На рисунку 29 зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що пряма АО перпендикулярна до прямої D₁C.

Рис. 29

102. Із точки F, яка не належить площині рівностороннього трикутника ABC, опущено перпендикуляр FM на площину ABC (рис. 30). Побудуйте перпендикуляр, опущений з точки F на пряму АВ.

Рис. 30

103. Через вершину прямого кута С трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр CM завдовжки Знайдіть відстань від точки М до прямої АВ, якщо АС = ВС = 8 см.

104. Через центр О правильного трикутника зі стороною 6 см до його площини проведено перпендикуляр ОМ завдовжки 3 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника.

105. Через вершину прямого кута С трикутника ABC (рис. 31) проведено до його площини перпендикуляр DC завдовжки п. Знайдіть відстань від точки D до прямої АВ, якщо АС = α, Β = β.

Рис. 31

106. Через точку О перетину діагоналей паралелограма ABCD до його площини проведено перпендикуляр ОМ завдовжки 4 см. Знайдіть відстань від точки М до прямих, які містять сторони паралелограма, якщо АВ =12 см, ВС = 20 см, BAD = 30°.

107. У трикутник ABC вписано коло із центром О. Через точку О проведено пряму DO, перпендикулярну до площини ABC. Точка D віддалена від цієї площини наЗнайдіть відстань від точки D до сторін трикутника, якщо АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см.

108. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см. Через центр О кола, вписаного в цю трапецію, проведено перпендикуляр ОК до площини трапеції, ОК = 8 см. Знайдіть відстань від точки К до сторін трапеції.

109. Через вершину С трикутника ABC до його площини проведено перпендикуляр КС. Пряма, яка проходить через точку К і середину відрізка АВ, перпендикулярна до прямої АВ. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

110. Точка D не належить площині трикутника ABC і знаходиться на відстанісм від кожної з прямих, що містять його· сторони. Проекцією точки D на площину ABC є точка О, яка належить даному трикутнику. Знайдіть відстань від точки D до площини ABC, якщо ACB =90°, АС = 15 см, ВС = 20 см.

111. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ відомо, що AD : АВ =1 : 2. На ребрі АВ позначили точку М так, що пряма MD перпендикулярна до прямої А₁С. Знайдіть відношення AM : АВ.

112. Через вершину D прямокутника ABCD проведено пряму DE, перпендикулярну до площини прямокутника. Відстань від точки Е до прямої ВС дорівнює 9 см. Знайдіть відстань від точки Е до прямої АВ.

113. Із точки М, яка не належить площині прямого кута, проведено перпендикуляри МК і MF до його сторін. Відомо, що МK = MF = 8 см, а відстань від точки М до площини кута дорівнюєсм. Знайдіть відстань від точки М до вершини кута.