Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 2

Паралельність площин

41. Сторони АС і ВС трикутника ABC паралельні площині α. Доведіть, що пряма АВ паралельна площині αа.

42. Площини αа і β паралельні, М ͼ α, N ͼ α, Р ͼ β, К ͼ β, МР ║ ΝΚ, МР = 5 cм, ΜΝ = 8 cм,  ΖΜΝΚ = 120°. Знайдіть відрізок МК.

43. Діагоналі трапеції ABCD (ВС ║ AD) паралельні площині β. Через точки В і С проведено паралельні прямі, які перетинають площину β в точках В₁ і С₁ відповідно. Доведіть, що чотирикутник ВВ₁С₁С — паралелограм.

44. Сторона ВС трикутника ABC лежить у площині α. Площина β, паралельна площині α, перетинає сторони АВ і АС у точках В₁ і С₁ відповідно. Знайдіть відрізок ВС, якщо В₁С₁ = 12 см, АС₁ : С₁С = 3 : 5.

45. Площина а паралельна площині β і прямій а, яка не лежить у площині β. Доведіть, що пряма а паралельна площині β.

46. Площини α і β паралельні. Через точку М, яка знаходиться між цими площинами, проведено дві прямі. Одна з них перетинає площини α і β в точках С₁ і D₁, а друга — у точках С₂ і D₂ відповідно. Знайдіть кут MD₁D₂, якщо C₁MC₂ = 56°, С₁C₂M = 43°.

47. Площини α і β паралельні. Із точки D, яка не належить цим площинам і не знаходиться між ними, проведено два промені. Один із них перетинає площини α і β в точках Е₁ і F₁а другий — у точках Е₂ і F₂ відповідно, точка Е₂ лежить між точками D і F₂. Знайдіть відрізок DF₂, якщо F₁F₂ = 12 см, DE₂ = 2 см, E₁E₂ = E₂F₂.

48. Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD. Площина, паралельна площині ASD, перетинає ребра SC, SB і АВ у точках Е, К і Р відповідно. Відомо, що SE : ЕС = 2 : 1, АВ= 18 см. Знайдіть відрізки ВР і АР.

49. Побудуйте переріз призми АВСА₁В₁С₁ площиною, яка проходить через пряму АВ і точку D, що належить ребру A₁С₁·

50. Точка М — середина ребра ВС піраміди SABC. Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через точку М і паралельна площині ASC, та обчисліть периметр перерізу, якщо SA = 24 cm, SC = 10 см, АС = 26 см.

51. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. На його ребрі AD позначили точку K так, що АK: KD = 3 : 4. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точку К і паралельна площині А₁В₁С. Знайдіть периметр побудованого перерізу, якщо AD = 21 см, AD = 28 см, АВ = 10 см.

52. На ребрах ВВ₁, СС₁ і CD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ позначили відповідно точки Μ, N і Е (рис. 51). Побудуйте переріз куба площиною MNE.

Рис. 51

53. Побудуйте переріз прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ площиною, яка проходить через точки М, РІК, що належать відповідно ребрам С₁D₁, ВС і DD₁.

54. На ребрах А₁В₁ і A₁C₁ призми АВСА₁В₁С₁ позначили точки М і K відповідно. На грані ABC позначили точку Р (рис. 52). Побудуйте переріз призми площиною МРК.

Рис. 52

55. Точки D і D₁ лежать по різні боки від площини β. Точки F, F₁ Е і Е₁ лежать у площині β (рис. 53). Відомо, що DE ║ D₁E₁, DF ║ D₁F₁, DF : D₁F₁ = 3 : 2, EF= 15 см.

1) Доведіть, що прямі DD₁, EE₁ і FF₁ перетинаються в одній точці.

2) Знайдіть відрізок E₁F₁.

Рис. 53