Фізика - збірник задач із розв’язками для підготовки до ЗНО - С.І. Семенюк - Богдан 2017

4. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ. ОПТИКА

4.1. Механічні коливання і хвилі

4.1.1 (26.ос.07р.). Установіть відповідність між назвами формул (рівнянь), що стосуються коливань, та власне самими формулами (рівняннями).

1. Період коливань тіла, що здійснює коливання на пружині.

2. Рівняння гармонічних коливань.

3. Потенціальна енергія пружини, на якій тіло здійснює горизонтальні коливання.

4. Період коливань математичного маятника.

4.1.2 (23.пт.07р ). Правильно продовжіть твердження: прикладом вільних коливань є коливання...

А. гілочки, з якої тільки-но злетіла пташка.

Б. годинникового маятника.

В. занавіски біля відкритої кватирки.

Г. поплавка на поверхні води.

Розв’язання.

Вільні коливання виникають тоді, коли коливальну систему вивели з положення рівноваги і залишили у вільному стані.

Відповідь. А.

4.1.3 (19.oc.11p). Під час резонансу відбувається істотне, порівняно з вільними коливаннями, зростання:

A. частоти коливань; Б. періоду коливань;

B. амплітуди коливань; Г. фази коливань.

Відповідь. В.

4.1.4 (32.дс.14р.). Математичний маятник знаходиться в потязі, що рухається зі сталою швидкістю. Частота вільних коливань маятника дорівнює 2 Гц. Визначте, з якою швидкістю повинен рухатися потяг, щоб амплітуда коливань маятника стала максимальною. Довжина залізничної рейки 6 м.

Розв’язання.

Під час переїзду вагона потяга через місце з’єднання рейок, вагон отримує маленький поштовх, який є для маятника зовнішньою періодичною змушуючою силою. Резонанс — явище різкого збільшення амплітуди вимушених коливань системи, коли частота дії змушуючої сили дорівнює частоті власних коливань системи. Отже, щоб амплітуда коливань маятника стала максимальною, необхідно щоб виконувалась умова резонансу:

Перевіримо одиниці вимірювання:

Числове значення:

{v} = 2 ∙ 6=12.

Відповідь. 12 м/с.

4.1.5 (27.пт.13р.). Амплітуда коливань тіла на пружині дорівнює 0,5 м. Визначте шлях, який пройшло це тіло за п’ять періодів коливань. Відповідь запишіть у метрах.

Розв’язання.

Амплітуда коливань хm — найбільше відхилення тіла від положення рівноваги. Під час коливань, за один період, тіло проходить 4 такі відстані. Тоді за N періодів тіло пройде відстань l = N ∙ 4m = 4Nx_m.

Перевіримо одиниці вимірювання:

[l] = 1 ∙ 1 ∙ м = м.

Числове значення:

{l} = 4 ∙ 5 ∙ 0,5 = 20 ∙ 0,5 = 10.

Відповідь. 10 м.

4.1.6 (19.oc.10р.). Маятник настінного годинника здійснює коливання з частотою 2 Гц. Скільки разів за хвилину потенціальна енергія маятника набуває максимального значення?

Варіанти відповідей:

А. 4.

Б. 60.

В. 120.

Г. 240.

Розв’язання.

Частота коливань: v = , кількість коливань маятника за один період N = vt. За одне коливання маятник набуває максимального значення потенціальної енергії два рази, отже, N' = 2N = 2vt.

Пеpевіримо одиниці вимінювання:

[N’] = 1 ∙ Гц ∙ с = 1 ∙ ∙ с = 1.

Числове значення:

{N'} = 2 ∙ 2 ∙ 60 = 240.

Відповідь. Г.

4.1.7 (34.ос.08р.). Період вертикальних коливань тягарця на пружині дорівнює 3,6 с. Визначте (у секундах), яким буде період коливань, якщо масу тягарця збільшити у 8 разів, а жорсткість пружини збільшити у 2 рази.

4.1.8 (19.ос.09р.). Посудина з водою, у дні якої є невеликий отвір, здійснює вертикальні коливання на пружині. Початковий період коливань дорівнює 4 с. Вода потроху витікає. Визначте, яким буде період коливань, коли маса посудини з водою зменшиться в 4 рази.

Варіанти відповідей:

А. 16 с.

Б. 1с.

В. 4 с.

Г. 2 с.

4.1.9 (14 .пт. 16р.). На двох однакових пружинах підвішено дві кулі з однаковим радіусом: перша виготовлена з деревини, густина якої 500 кг/м³, друга — з металу, густина якого 8000 кг/м³. Укажіть правильне співвідношення періодів малих вертикальних коливань куль на пружинах.

Варіанти відповідей:

А. Т₁ = 4Т₂.

Б. Т₁ = Т₂.

В. Т₂ = 2T₁.

Г. Т₂ = 4T₁.

4.1.10 (22.пт.07р.). Під дією сили 2 Н пружина розтягується на 1 см. До цієї пружини прикріплено вантаж із масою 2 кг. Знайдіть період коливань даного пружинного маятника.

Варіанти відповідей:

А. 0,628 с.

Б. 1с.

В. 2 с.

Г. 6,28 с.

4.1.11(19 .пт.08р.). Маятник, який можна вважати математичним, здійснив за певний інтервал часу 100 коливань. Довжину нитки маятника збільшили у 4 рази. Визначте кількість коливань маятника за такий же інтервал часу.

Варіанти відповідей:

А. 25.

Б. 50.

В. 200.

Г. 400.

4.1.12 (28.ОС.11Р.). Гармонічні коливання відбуваються за законом х = де всі величини виражено в одиницях СІ. Установіть відповідність між фізичними величинами, що характеризують коливання, та їхніми значеннями в одиницях СІ.

1. Амплітуда. 2. Початкова фаза.

3. Період. 4. Циклічна частота.

А. 0,5.

Б. .

В. 2.

Г. 0,4.

Д. 4п.

4.1.13(14.ос.14р ). Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом Т = 2с. Протягом половини періоду коливань через рівні проміжки часу виміряли (у см) зміщення де тіла й одержали такі значення: 1; 0.7; 0: - 0.7; - 1. У якому рядку записано послідовність моментів часу (у секундах), що відповідає вказаній послідовності значень зміщення тіла? Вважайте, що = 1,4.

Варіанти відповідей:

A. 0; 0.5; 1: 1,5: 2. Б. 0: 0,25; 0,5; 0,75; 1.

B. 90; 135; 180; 225; 270. Г. 0; 45; 90; 135; 180.

4.1.14 (28.пт.09р.). Установіть відповідність між рівняннями гармонічних коливань та числовими значеннями частоти коливань.

Розв’язання.

Аргумент гармонічної функції (синус чи косинус) — миттєва фаза коливань, вона дорівнює (t) = t = 2vt. Порівнюючи тільки аргументи, обчислимо значення кожної частоти v:

1) 2vt = t, v = = 0,5 Гц; 2) 2vt = 80t, v = 40 = 40 Гц; 3) 2vt = 200t, v = 100 = 0,1 кГц; 4) 2vt = 0,2t, v = 0,1 = 0,1 Гц.

Відповідь. 1Д, 2Г, ЗА, 4В.

4.1.15 (18.ос. 10р.). Координата тіла, що здійснює гармонічні коливання вздовж осі Ох, змінюється за законом х = 0,9sin (3t). де псі величини виражено в одиницях СІ. Визначте частоту коливань прискорення тіла.

Варіанти відповідей:

4.1.16 (18.пт.10р). Тіло здійснює гармонічні коливання з частотою 100 Гц. Амплітуда коливань дорівнює 5 ∙ 10^-3м. Визначте максимальне значення прискорення тіла. Вважайте, що п² = 10.

Варіанти відповідей:

А. 500 м/с².

Б. 2000 м/с².

В. 1800 м/с².

Г. 100 м/с².

4.1.17 (12 .ос. 15р.). Точка здійснює гармонічні коливання за законом х = Acos (t + ₀). У певний момент часу зміщення точки становить x₁ = 5 см, її швидкість v₁ = 20 см/с, а прискорення а₁ = - 80 см/с². Визначте циклічну частоту коливань.

Варіанти відповідей:

А. 2 рад/с.

Б. 10 рад/с.

В. 8 рад/с.

Г. 4 рад/с.

4.1.18 (18.пт.08р). На рисунку А зображено графік залежності координати тіла від часу при гармонічних коливаннях. Визначте, який із графіків на рисунку Б виражає залежність імпульсу тіла, що коливається, від часу.

Рис. А

Рис. Б

Варіанти відповідей:

А. Графік 4.

Б. Графік 3.

В. Графік 2.

Г. Графік 1.

Розв'язання.

Імпульс тіла p_x(t) = mv_x(t). На рисунку А синусоїда, тому рівняння коливань тіла для зміщення х = x_msin (t). Тоді рівняння коливань швидкості тіла: v_s = x' = x_mcos (t). Отже, рівняння коливань імпульсу тіла p_x(t) = m_хmcos (l) = p_mcos (t) — косинусоїда.

Відповідь. В.

4.1.19 (108.33.09р.). На рисунку А зображено графік залежності координати тіла від часу при гармонічних коливаннях. Визначте, який із графіків на рисунку Б виражає залежність імпульсу тіла, що коливається, від часу.

Рис. А

Рис. Б

Варіанти відповідей:

А. Графік 1.

Б. Графік 2.

В. Графік 3.

Г. Графік 4.

Розв’язання.

Імпульс тіла р_х(0 = mv_x(t). На рисунку А — косинусоїда, тому рівняння коливань тіла для зміщення х = х_mcos (t). Тоді рівняння коливань швидкості тіла: v_x = x' = - x_msin (t).

Отже, рівняння коливань імпульсу тіла р_х(t) = -m_хmsin (t) = - p_msin (t) — синусоїда, причому відображена від осі часу.

Відповідь. Б.

4.1.20 (22.oc.11р.). Тіло з масою 0,5 кг коливається так, що проекція прискорення а_х його руху змінюється з часом відповідно до рівняння а_х = Визначте проекцію на вісь Оx сили, що діє на тіло, у момент часу c.

Варіанти відповідей:

А. 0 Н.

Б. 1,5 Н.

В. 2,5 Н.

Г. 3 Н.

4.1.21 (28.пт.07р ). Установіть відповідність між графіками коливальних рухів та значеннями максимальної швидкості коливань. Значення швидкості можна вважати однаковими, якщо вони відрізняються менше, ніж на 10%.

А. 0,02 м/с.

Б. 1 м/с.

В. 2,5 м/с.

Г. 0,5 м/с.

Д. 0,04 м/с.

4.1.22 (20.ос.12р.). Під час незгасаючих коливань математичного маятника в момент проходження ним положення рівноваги мінімальною є:

A. вага маятника; Б. частота коливань маятника;

B. кінетична енергія маятника; Г. потенціальна енергія маятника.

Розв’язання.

Коли тіло математичного маятника проходить положення рівноваги, то воно має максимальну швидкість, тобто максимальну кінетичну енергію, а відтак згідно із ЗЗЕ — мінімальну потенціальну енергію.

Відповідь. Г.

4.1.23 (35.пт.10р.). Математичний маятник відхилили від положення рівноваги на кут, що дорівнює 0,1 радіана, й відпустили. Який шлях пройде важок маятника за 5,5 с? Довжина маятника дорівнює 1 м. Вважайте, що g = 10 м/с², ² = 10. Відповідь запишіть у метрах.

4.1.24 (34.пт.11р.). Тягарець, підвішений до гумової стрічки, здійснює вертикальні коливання. На рисунку поруч з лінійкою зображено гумову стрічку без тягарця і крайні відхилення тягарця від положення рівноваги у процесі коливань. Визначте максимальну швидкість тягарця під час таких коливань. Вважайте, що для гумової стрічки виконується закон Гука; g = 9,8 м/с². Ціна поділки лінійки становить 0,5 см. Відповідь запишіть у см/с.

4.1.25 (15 .пт.14р.). Кулька, підвішена на пружині, здійснює вертикальні коливання. Розглянемо три точки траєкторії руху: верхню точку, середню та нижню. У якій із цих точок сили, що діють на кульку, урівноважують одна одну?

Варіанти відповідей:

A. У верхній. Б. У середній.

B. У нижній. Г. У жодній із зазначених точок.

4.1.2G (13.ос.15p.). Тягарець із масою 500 г здійснює вертикальні коливання на пружині з жорсткістю 200 Н/м. Визначте амплітуду коливань, якщо на відстані 4 см від положення рівноваги швидкість тягарця становить 0,6 м/с.

Варіанти відповідей:

А. 7 см.

Б. 6 см.

В. 5 см.

Г. 8 см.

4.1.27 (22.пт.12р ). Залежність координати пружинного маятника, що здійснює коливання вздовж осі Ох, від часу мас вигляд х(t) =

Визначте кінетичну енергію маятника, якщо в момент часу t = 2 с потенціальна енергія пружини дорівнює 10 мДж.

Варіанти відповідей:

А. 0 мДж.

Б. 10 мДж.

В. 20 мДж.

Г. 30 мДж.

4.1.28(33.дc.15р.). Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює 60 мкДж, а максимальна сила, що діє на нього, — 3 мН. Чому дорівнює період коливань тіла (у секундах), якщо його маса становить 3 г? Уважайте, що = 3,14. Результат округліть до сотих.

4.1.29 (19.oc.07p.). Частота хвилі 4 Гц, а швидкість її поширення дорівнює 16 м/с. Визначте її довжину.

Варіанти відповідей:

А. 0,25 м.

Б. 0,5 м.

В. 1 м.

Г. 4 м. Д. 64 м.

4.1.30 (17.oc.08p ). Плавучий буй за 45 с піднявся на гребенях хвиль 15 разів. Визначте швидкість хвиль, якщо відстань між їхніми гребенями дорівнює 3 м.

Варіанти відповідей:

А. 0,33 м/с.

Б. 1 м/с.

В. 3 м/с.

Г. 9 м/с.

4.1.31 (18.ос.09р.). У повітрі поширюється звукова хвиля з частотою 1,7 кГц. Визначте довжину хвилі, якщо швидкість звуку в повітрі дорівнює 340 м/с.

Варіанти відповідей:

А. 5 см.

Б. 20 см.

В. 58 см.

Г. 580 см.

4.1.32 (35.пт.12р.). Камертон має частоту коливань 510 Гц. Скільки довжин хвиль укладається на відстані, яку звук, створений камертоном, пройде за 4 с?

Розв’язання.

Камертон — прилад для відтворення звуку еталонної висоти, який застосовується для настроювання музичних інструментів та при співі. Найпоширеніший камертон — це U-подібний вібратор-ідіофон (ідіофон від грец. — свій звук) зі стабільним строєм та частотою коливань, що дорівнює 440 Гц (ля 1-ї октави).

Швидкість звуку Тоді відстань, яку проходить звук за вказаний час, l = vt = v ∙ t. Отже, кількість довжин хвиль, які укладаються на вказаній відстані, буде

Перевіримо одиниці вимірювання:

[N] = Гц с = с^-1 с = 1.

Числове значення:

{N} = 510 4 = 2040.

Відповідь. 2040.

4.1.33 (18.ос. 12р.). Поверхнею озера зі швидкістю 1 м/с поширюється хвиля, профіль якої мас вигляд синусоїди, зображеної на рисунку. Визначте період вертикальних коливань поплавка на поверхні озера.

Варіанти відповідей:

А. 1,2 с.

Б. 0,8 с.

В. 0,4 с.

Г. 0,2 с.

Розв’язання.

Обчислимо період хвилі, а відтак період вертикальних коливань поплавка на поверхні озера:

Перевіримо одиниці вимірювання:

Числове значення:

Відповідь. Б.

4.1.34 (19.oc.12p.). Звукова хвиля переходить із повітря у воду. Визначте, як змінюються характеристики хвилі. Швидкість звуку в повітрі дорівнює 340 м/с, а у воді — 1500 м/с.

Варіанти відповідей:

A. Частота збільшується, довжина хвилі зменшується.

Б. Частота збільшується, довжина хвилі не змінюється.

B. Частота зменшується, довжина хвилі збільшується.

Г. Частота не змінюється, довжина хвилі збільшується.

Розв'язання.

Оскільки хвиля — поширення коливань у пружному середовищі, то джерело коливань наперед задає характеристику хвилі, а саме, її частоту (період), яка співпадає з частотою коливань (періодом) джерела. Отже, під час переходу звукової хвилі з одного середовища в інше середовище, незмінною залишається частота хвилі. Оскільки швидкість хвилі під час переходу з повітря у воду збільшується v, то довжина хвилі теж зростає .

Відповідь. Г.

4.1.35 (35.oc.11p ). Маятник з дуже легким маркером на кінці закріплено на рухомому іграшковому автомобілі. Маятник коливається у площині zOy, перпендикулярній до напрямку руху автомобіля. Довжина маятника дорівнює 0,1 м. Маркер залишив на столі слід, зображений на рисунку. Визначте швидкість автомобіля (у м/с). Вважайте, що g = 10 м/с², = 3,14. Відповідь округліть до сотих.

4.1.36 (29.пт.12р ). Поперечна хвиля поширюється вздовж натягнутого шнура (див. рисунок). Установіть відповідність між характеристиками руху точок на шнурі та точками, позначеними на шнурі буквами.

1. Швидкість напрямлена вниз, прискорення — вгору.

2. Швидкість і прискорення напрямлені вгору.

3. Швидкість і прискорення напрямлені вниз.

4. Швидкість напрямлена вгору, прискорення — вниз.

А. Точка А. Б. Точка Б. В. Точка В.

Г. Точка Г. Д. Точка Д.

Розв’язання.

Оскільки, хвиля — це поширення коливань у пружному середовищі, то вказані точки на хвилі рухаються у перпендикулярному напрямку до напряму поширення хвилі. Отже, хвиля, що поширюється шнуром, — поперечна.

На рисунку зображено вигляд хвилі через проміжок часу t на якому видно, куди рухається (напрям швидкості) кожна з указаних точок. Крім того, на кожну точку хвилі завжди діє сила (квазіпружна сила), яка намагається повернути її до положення рівноваги, а згідно із II законом Ньютона напрям сили співпадає з напрямком прискорення точки Отже, прискорення кожної точки хвилі завжди напрямлене до положення рівноваги, коли шнур був у спокої.

Напрям поширення хвилі

Про характер зміни значень координат точок на хвилі, а також їхніх швидкостей і прискорень дивіться на рисунку, який зображено нижче.

Поздовжня хвиля — це хвиля стиснень і розріджень, а поперечна — це хвиля зсуву. Тому в газах і рідинах можуть передаватися тільки поздовжні хвилі (тиск і гази, і рідини передавати можуть), а от поперечні — ні, тому що зсув шару рідини чи газу не викликає деформацію. У твердих тілах може передаватися як деформація стиску, так і деформація зсуву. Тому тверді тіла можуть передавати і ті, й інші хвилі.

Хвилі на поверхні води за формою схожі на поперечні, хоча, насправді, частинки в них рухаються по еліптичних або колових траєкторіях.

Відповідь. 1Г, 2В, 3А, 4Д.