Фізика - збірник задач із розв’язками для підготовки до ЗНО - С.І. Семенюк - Богдан 2017

5. КВАНТОВА ФІЗИКА. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ

5.1. Елементи теорії відносності

5.1.1 (133.зз.09р.). На ракеті, що стартувала з Землі і з великою швидкістю наближається до космічної станції, увімкнули прожектор, промінь світла від якого напрямлений на космічну станцію. Порівняйте значення швидкості світла відносно Землі, станції та ракети і виберіть правильне твердження.

Варіанти відповідей:

A. Значення швидкості світла відносно Землі є найбільшим.

Б. Значення швидкості світла відносно Землі, станції і ракети є однаковими.

B. Значення швидкості світла відносно ракети є найбільшим.

Г. Значення швидкості світла відносно космічної станції є найбільшим.

Розв’язання.

Під швидкістю розуміємо її проекцію на додатний напрям осі Ох.

1) Знайдемо швидкість світла відносно Землі. Основні об’єкти розміщені у такому порядку: Земля - Ракета - Космічна станція.

Нехай нерухома ІСВ К — Земля. Пов’яжемо рухому ІСВ К' з ракетою v_K'.K = v (вона рухається в додатному напрямку осі Ох, від Землі), тоді швидкість кванта світла (він рухається у додатному напрямку, від Землі) відносно рухомої ІСВ К' (ракети) буде v_св.К' = _v1 = с, а швидкість кванта світла відносно нерухомої ІСВ К (Земля) позначимо через v_св.К = v₂. Тоді з релятивістського закону додавання швидкостей знайдемо цю швидкість:

2) Знайдемо швидкість світла відносно космічної станції. Основні об’єкти розміщені у такому порядку: Космічна станція - Ракета - Земля.

Нехай тепер нерухома ІСВ К— Космічна станція. Пов’яжемо рухому ІСВ К' з ракетою v_K,K = -v. тут вона рухається до станції (рухається у від’ємному напрямку), тоді швидкість кванта світла (він рухається у від’ємному напрямку, до станції) відносно рухомої ІСВ К' (ракети) буде V_CВ.К = v₃ = - с, а швидкість кванта світла відносно нерухомої ІСВ К (космічної станції) позначимо через v_св.К = v₄. Тоді з релятивістського закону додавання швидкостей знайдемо цю швидкість:

= - с, знак «-» означає, що квант світла рухається у напрямку, який протилежний напрямку осі Ох.

Відповідь. Б.

5.1.2 (20.oc.15p.). Максимальна швидкість електрона, який вилітає внаслідок розпаду нерухомого ядра, дорівнює 0,5с, де с — швидкість світла у вакуумі. Визначте максимально можливу швидкість відносно Землі електрона, який вилітає внаслідок розпаду такого самого ядра, що рухається відносно Землі зі швидкістю 0,5с.

Варіанти відповідей:

А. 0,5с.

Б. 1,25с.

В. с.

Г. 0,8с.

5.1.3 (23.oc.11p.). У вакуумі ядро випромінює два електрони в протилежних напрямках зі швидкістю 0,8с, де с — швидкість світла у вакуумі. Який вираз описує збільшення відстані між електронами в системі відліку, пов’язаній з ядром?

Варіанти відповідей:

А. 2d.

Б. 0,98сt.

В. d.

Г. 1,6d.

Розв’язання.

Спосіб 1, простий.

Координата 1-го електрона у ІСВ, пов’язаній з ядром К, через час t: x₁ = v₁t = 0,8ct. Координата 2-го електрона у ІСВ, пов’язаній з ядром К, через час t: х₂ = - v₂t = - 0,8ct. Тоді відстань, на якій знаходиться 1-й електрон відносно 2-го через час І: І = х₁ - х₂ = 0,8ct - (- 0,8сt ) = 1,6ct.

Спосіб 2, складний. Опишемо його для того, аби було зрозуміліше, як працювати з подібними завданнями.

Знайдемо швидкість 2-го електрона відносно 1-го. Під швидкістю розуміємо її проекцію на додатний напрям осі Ох.

Нехай нерухома ІСВ К — ядро. Пов’яжемо рухому ІСВ К’ з 1-м електроном: v_K'.K = 0,8с (рух в додатному напрямку), тоді швидкість 2-го електрона (він рухається у від’ємному напрямку) відносно нерухомої ІСВ К (ядра) буде v_e.К = - 0,8с, а швидкість 2-го електрона відносно рухомої ІСВ K' (1 -го електрона) позначимо через v_e.K'. Тоді з релятивістського закону додавання швидкостей

виразимо швидкість 2-го електрона відносно 1-го:

(*), підставимо значення v_е.К. =

Отже, v_e.K' ≈ 0,98с — швидкість, з якою 2-й електрон віддаляється відносно 1-го електрона (в рухомій ІСВ К’ і вона напрямлена протилежно до напрямку осі Ох.

Позначимо через х' координату 2-го електрона у ІСВ К' у момент часу V, а через х — координату 2-го електрона, але у ІСВ К (ядра) в момент часу t. Тоді справедливим буде співвідношення: х' = v_e.K' ∙ t' (**), де V— час, виміряний у ІСВ К'. Перетворення Лоренца, які зв’язують координати події в ІСВ К

з координатами тієї ж події в ІСВ К':

Якщо підставити, з перетворень Лоренца, значення для виразів х' і t' та значення відносної швидкості з формули (*) у співвідношення (**), то після нескладних математичних перетворень отримаємо очевидний результат, а саме х = v_e.K ∙ t, де х — координата 2-го електрона у ІСВ К.

Оскільки х' (х' < 0) — координата 2-го електрона у ІСВ 1-го електрона, тобто відстань між 1-м і 2-м електроном, у рухомій ІСВ К', дорівнюватиме |х'|, отже, можна записати: |x'| = 1₀. Тоді відстань між 1-м і 2-м електроном, але у нерухомій ІСВ К (ядро) — l. 3 формули для лоренцового скорочення довжини для відрізка отримаємо:

Зауваження. Саме з перетворень Лоренца отримуємо співвідношення для довжини, часу і швидкості. Позначимо через х₁' та х'₂ (х(x'₁ < х'₂) — відповідно початок та кінець відрізка у ІСВ К', а через х₁ та х₂ (х₁ < х₂) — початок та кінець відрізка у ІСВ К. Лоренцове скорочення довжини для відрізка в різних ІСВ: — довжина відрізка, виміряна в рухомій ІСВ К', у якій він не рухається; 1 = х₂ - х₁ —довжина відрізка, виміряна в нерухомій ІСВ К, відносно якої він рухається з швидкістю v = (Зс. Отже, в ІСВ К, відносно якої відрізок рухається, довжина його менша, ніж у ІСВ К', відносно якої відрізок перебуває в стані спокою.

Ефект уповільнення часу: , де t₀ = t'₂- t'₁— (власний час) тривалість події в ІСВ К', тобто тривалість події, виміряна годинником, що рухається разом з ІСВ К'; t = t₂ - t₁— тривалість події у лабораторній ІСВ К, тобто тривалість події, виміряна нерухомим годинником. Отже, годинник, який рухається відносно ІСВ К, йде повільніше від годинника, що перебуває у стані спокою!

Релятивістський закон додавання швидкостей для тіла, що рухається з великою швидкістю

Відповідь. Г.

5.1.4 (20.дс.15р ). Яку швидкість повинно мати тіло, щоб уздовж лінії руху його повздовжні розміри для спостерігача в нерухомій лабораторній системі відліку зменшилися на 20%? Уважайте, що швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі с = 3 ∙ 10⁸ м/с.

Варіанти відповідей:

А. 0,9с.

Б. 0,8с.

В. 0,7с.

Г. 0,6с.

Розв’язання.

Лоренцове скорочення довжини для відрізка в різних ІСВ: Тоді згідно з умовою: 0,64 = 1 - ², ² = 0,36, = 0,6, v = с = 0,6с.

Відповідь. Г.

5.1.5 (135.33.09р.). Визначте масу протона у системі відліку, відносно якої він рухається зі швидкістю 0,8с. Маса спокою протона m_н0.

Варіанти відповідей:

Розв’язання.

Залежність маси тіла від його швидкості: де m₀ — маса тіла в рухомій ІСВ К' (тіло з нею жорстко зв’язане), відносно якої тіло нерухоме, тобто перебуває у спокої; m — маса тіла відносно нерухомої ІСВ К, відносно якої тіло рухається зі швидкістю v = с. Тоді маса протона відносно ІСВ К:

Відповідь. В.

5.1.6 (22.пт.08р.). Визначте, до якої швидкості треба розігнати електрон, щоб його маса стала вдвічі більшою, ніж його маса спокою. Вважайте, що

Варіанти відповідей:

А. ≈ 0,3 ∙ 10⁸ м/с.

Б. ≈ 0,8 ∙ 10⁸м/с.

В. ≈ 2,6 ∙ 10⁸ м/с.

Г. ≈ 2,8 ∙ 10⁸ м/с.

5.1.7 (24.ос.10р.). Обчисліть енергію спокою тіла з масою 60 кг. Швидкість світла у вакуумі становить 3 ∙ 10⁸ м/с.

Варіанти відповідей:

А. 3,2 ∙ 10²⁰ Дж.

Б. 5,4 ∙ 10¹⁸ Дж.

В. 1,8 ∙ 10¹⁰ Дж.

Г. 1,8 ∙ 10⁸ Дж.

Розв’язання.

Якщо швидкість тіла рівна нулю, то його енергія дорівнює енергії спокою тіла: Е₀ = m₀с².

Перевіримо одиниці вимірювання:

Числове значення:

{E₀} = 60 ∙ (3 ∙ 10⁸)² = 60 ∙ 9 ∙ 10¹⁶ = 540 ∙ 10¹⁶ = 5,4 ∙ 10¹⁸.

Відповідь. Б.

5.1.8 (23.oc.09p ). Тіло отримало внаслідок теплопровідності кількість теплоти Q і внаслідок випромінювання втратило енергію Q. Визначте, як змінилася маса спокою тіла. Швидкість світла у вакуумі дорівнює с.

Варіанти відповідей:

А. Зменшилася на

Б. Зменшилася на

В. Збільшиться на

Г. Збільшиться на

5.1.9 (22.пт.11р ). Загальна потужність випромінювання Сонця дорівнює 4 ∙ 10²⁶ Вт. На скільки мегатонн за кожні 3 хвилини зменшується маса Сонця внаслідок випромінювання? Швидкість світла дорівнює 3 ∙ 10⁸ м/с.

Варіанти відповідей:

А. 360 Мт.

Б. 600 Мт.

В. 800 Мт.

Г. 3600 Мт.