Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

26. Формули для перетворення суми, різниці та добутку тригонометричних функцій

Спочатку розглянемо формули, які дають змогу перетворити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток.

Запишемо формули додавання для синуса:

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у,     (1)

sin (х - у) = sin х cos у - cos х sin у.     (2)

Додавши почленно ліві й праві частини цих рівностей, отримаємо:

sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos у.     (3)

Введемо позначення:

х + у = a,

x - у = β.

Звідси

Зазначимо, що а і β можуть набувати будь-яких значень.

Тоді рівність (3) можна переписати так:

Цю тотожність називають формулою суми синусів.

Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2): sin (х + у) - sin (х - у) - 2 cos х sin у.

Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отримаємо тотожність, яку називають формулою різниці синусів:

Запишемо формули додавання для косинуса:

cos (х + у) = cos х cos у - sin х sin у,

cos (х - у) = cos x cos у + sin х sin у.

Додаючи і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отримуємо:

cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у;  (4)

cos (х + у) - cos (х - у) = -2 sin х sin у.  (5)

Звідси, увівши позначення х + y = а і х - y = (3, отримаємо відповідно формули суми і різниці косинусів:

Перетворимо в добуток вираз tg а + tg β. Маємо:

Рівність

називають формулою суми тангенсів.

Аналогічно можна довести такі три рівності:

їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми котангенсів, різниці котангенсів.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що коли а + β + γ = , то

sin² а + sin² β + sin² у = 2 + 2 cos а cos β cos у.

Розв’язання.

У ході доведення формул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності:

sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos y,

cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у;

cos (х + у) - cos (х - у) = -2 sin х sin у.

Перепишемо їх так:

ЦІ тотожності називають формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

ПРИКЛАД 2 Доведіть рівність

Розв’язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на 2 sin .

Отримуємо:

Застосуємо формулу sin a cos β = (sin (а - β) + sin (а + β)):

?

1. Запишіть формулу: 1) суми синусів; 2) різниці синусів; 3) суми косинусів; 4) різниці косинусів.

2. Запишіть формулу: 1) суми тангенсів; 2) різниці тангенсів; 3) суми котангенсів; 4) різниці котангенсів.

3. Запишіть формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

ВПРАВИ

26.1. Спростіть вираз:

26.2. Спростіть вираз:

26.3. Перетворіть у добуток вираз:

26.4. Перетворіть у добуток вираз:

26.5. Спростіть вираз:

1) sin а (1 + 2cos 2а); 2) cos 2а + 2 sin (а + 30°) sin (а - 30°).

26.6. Спростіть вираз:

1) 2 sin 2а sin а + cos За;

26.7. Доведіть тотожність:

26.8. Доведіть тотожність:

26.9. Доведіть тотожність:

26.10. Доведіть тотожність:

26.11. Доведіть тотожність:

26.12. Доведіть тотожність:

26.13. Спростіть вираз:

26.14. Спростіть вираз:

1) sin² а + sin² β + cos (а + β) cos (а - β);

2) cos² (45° - а) - cos² (60° + а) - sin (75° - 2а) cos 75°.

26.15. Доведіть рівність

26.16. Доведіть, що коли а + β + γ = , то має місце тотожність:

26.17. Доведіть, що коли а + β + γ = , то має місце тотожність cos² а + cos² β + cos² у = 2 + 2 sin а sin β sin у.

26.18. Доведіть, що коли а + β + γ = , то має місце тотожність:

26.19. Доведіть рівність:

26.20. Доведіть рівність

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

26.21. Знайдіть функцію, обернену до функції:

26.22. Вартість товару підвищили на 30 %, а потім знизили на 30 % Як остаточно змінилася — збільшилася чи зменшилася — вартість товару та на скільки відсотків?