Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

27. Рівняння cos х = b

28. Рівняння sin х = b

29. Рівняння tg х = b і ctg x = b

30. Функції у = arccos x, у = arcsin x, у = arctg x і у = arcctg x

31. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних

32. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники. Застосування обмеженості тригонометричних функцій

33. Тригонометричні нерівності

• У цьому параграфі ви ознайомитеся з функціями, оберненими до тригонометричних функцій.

• Ви дізнаєтеся, які рівняння і нерівності називають найпростішими тригонометричними рівняннями та нерівностями; ознайомитеся з формулами коренів найпростіших тригонометричних рівнянь; оволодієте різними методами розв'язування тригонометричних рівнянь; навчитеся розв'язувати тригонометричні неpівності.

27. Рівняння cos x = b

Оскільки областю значень функції у = cos х є проміжок [-1; 1], то при |b| > 1 рівняння cos х = b не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому bтакому, що | b| ≤ 1, це рівняння має корені, причому їх безліч.

Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпретації: графіки функцій у = cos х і у = b де | b | ≤ 1, мають безліч спільних точок (рис. 27.1).

Рис. 27.1

Зрозуміти, як розв’язувати рівняння cos х = b у загальному випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, розв’яжемо рівняння cos x = . На рисунку 27.2 зображено графіки функцій у = cos х і у = .

Рис. 27.2

Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [-; ], тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона частина кривої на рисунку 27.2). Пряма у = перетинає графік функції у = cos х на проміжку [-; ] у двох точках М₁ і М₂, абсциси яких є протилежними числами. Отже, рівняння cos х = на проміжку [-; ] має два корені. Оскільки

то цими коренями є числа

Функція у = cos х є періодичною з періодом 2. З огляду на це кожен з інших коренів рівняння cos x = відрізняється від одного зі знайдених коренів - або на число виду 2n, n ∈ ℤ.

Отже, корені розглядуваного рівняння можна задати формулами

Зазвичай ці дві формули замінюють одним записом:

Повернемося до рівняння cos х = b, де |b| < 1. На рисунку 27.3 показано, що на проміжку [-; ] це рівняння має два корені а і -а, де а є [0; ] (при b = 1 ці корені збігаються та дорівнюють нулю).

Рис. 27.3

Тоді всі корені рівняння cos х = b мають вигляд

х = ±а + 2n, n ∈ ℤ.

Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння cos х = b. Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.

Означення. Арккосинусом числа b, де |b| < 1, називають таке число а з проміжку [0; ], косинус якого дорівнює b.

Для арккосинуса числа b використовують позначення arccos b.

Наприклад, оскільки оскільки arcos , оскільки є [0; ] і cos = 0; arccos(-1) = , оскільки є [0; ] і cos = -1.

Узагалі, arccos b = а, якщо а є [0; ] і cos а = b.

Звернемо увагу, що з усіх чисел, косинус яких дорівнює даному числу, арккосинус — це єдине число, що належить проміжку [0; ].

Наприклад, але оскільки

Тепер формулу коренів рівняння cos х = b, |b| < 1, можна записати в такому вигляді:

х = ± arccos b + 2n, n ∈ ℤ     (1)

Зазначимо, що окремі випадки рівняння cos х = b (для b = 1, b = 0, 6 = -1) було розглянуто раніше (див. п. 17). Нагадаємо отримані результати:

Такі самі результати можна отримати, використовуючи формулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто, тому радимо запам’ятати наведені формули.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати:

Далі отримуємо:

Відповідь:

Відповідь:

3) Перепишемо дане рівняння так:

Отримуємо:

Тоді

Відповідь:

4) Маємо: х² = 2n, n ∈ ℤ; х² = 2, n ∈ ℤ.

Оскільки х²≥ 0, то 2n ≥ 0, тобто n ∈ ℕ U {0}.

Тепер можна записати:

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Визначте кількість коренів рівняння cos х = b на проміжку залежно від значення параметра b.

Розв’язання. Зобразимо графік функції y = cos х на проміжку (рис. 27.4). Кількість коренів визначається кількістю точок

перетину прямої у = b з виділеною червоним кольором частиною графіка функції у = cos х.

Рис. 27.4

Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить червоній кривій, а точка — не належить.

Розглядаючи різні положення прямої у = b, отримуємо такі результати:

якщо b < -1, то коренів немає; якщо b = -1, то один корінь;

якщо то два корені;

якщо то один корінь;

якщо b > 1, то коренів немає.

Відповідь: якщо b < - 1 або b > 1, то коренів немає; якщо b = -1 або то один корінь; якщо то 2 корені.

?

1. При яких значеннях b має корені рівняння cos х = b?

2. Скільки коренів має рівняння cos х = b при | b | < 1?

3. Що називають арккосинусом числа b?

4. Запишіть формулу коренів рівняння cos х = b при | b | < 1.

ВПРАВИ

27.1. Розв’яжіть рівняння:

27.2. Розв’яжіть рівняння:

27.3. Розв’яжіть рівняння:

27.4. Розв’яжіть рівняння:

27.5. Розв’яжіть рівняння:

27.6. Розв’яжіть рівняння:

27.7. Скільки коренів рівняння належать проміжку

27.8. Знайдіть усі корені рівняння які задовольняють нерівність - < х < 4.

27.9. Розв’яжіть рівняння:

27.10. Розв’яжіть рівняння:

27.11. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння cos 2х = -4а² + 4а - 2?

27.12. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння

27.13. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння

27.14. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння

27.15. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку залежно від значення параметра а.

27.16. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку залежно від значення параметра а.

27.17. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь на проміжку

27.18. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь на проміжку

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

27.19. Спростіть вираз:

27.20. Знайдіть область визначення функції: