Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

29. Рівняння tg x = b і ctg x = b

Оскільки областю значень функції у = tg х є множина ℝ, то рівняння tg x = b має розв’язки при будь-якому значенні b.

Для того щоб отримати формулу коренів рівняння tg x = b, звернемося до графічної інтерпретації.

На рисунку 29.1 зображено графіки функцій у = tg х і у = b.

Рис. 29.1

Розглянемо функцію у = tg х на проміжку тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції (червона крива на рисунку 29.1). На цьому проміжку рівняння tg x= b при будь-якому b має єдиний корінь а.

Оскільки функція у - tg х є періодичною з періодом , то кожен з інших коренів рівняння tg x = b відрізняється від знайденого кореня на число виду n, n ∈ ℤ.

Тоді множину коренів рівняння tg х = b можна задати формулою

х = а + n, n ∈ ℤ.

Отримана формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння tg х = b. Корінь а має спеціальну назву — арктангенс.

Означення. Арктангенсом числа b називають таке число а з проміжку тангенс якого дорівнює b.

Для арктангенса числа b використовують позначення arctg b. Наприклад,

Узагалі, arctg b = а, якщо

Зазначимо, що, наприклад,

Проте оскільки

Тепер формулу коренів рівняння tg х = b можна записати так:

х = arctg b + n, n ∈ ℤ

Оскільки областю значень функції у = ctg х є множина ℝ, то рівняння ctg x = b має розв’язки при будь-якому значенні b.

На рисунку 29.2 зображено графіки функцій у = ctg х і у = b.

Рис. 29.2

Розглянемо функцію у = ctg х на проміжку (0; я), тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції (червона крива на рисунку 29.2). На цьому проміжку рівняння ctg х = b при будь-якому b має єдиний корінь а.

Оскільки функція у = ctg х є періодичною з періодом , то кожен з інших коренів рівняння ctg х = b відрізняється від знайденого кореня на число виду n, n ∈ ℤ.

Тоді множину коренів рівняння ctg х = b можна задати формулою

х = а + n, n ∈ ℤ.

Корінь а має спеціальну назву — арккотангенс.

Означення. Арккотангенсом числа b називають таке число а з проміжку (0; ), котангенс якого дорівнює Ь.

Для арккотангенса числа b використовують позначення arcctg b. Наприклад,

Узагалі, arcctg b = а, якщо а є (0; ) і ctg а = b.

Зазначимо, що, наприклад,

Проте arcctg (-1) ≠ , оскільки

Тепер формулу коренів рівняння ctg х = b можна записати так:

х = arcctg b + n, n ∈ ℤ

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Маємо:

Відповідь:

2) Маємо:

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Визначте, при яких значеннях параметра b рівняння (х - b) tg х = 0 на проміжку має єдиний корінь.

Розв’язання. Множина коренів рівняння tg х = 0 визначається формулою х = n, n ∈ ℤ. Розглядуваному проміжку на лежить лише один корінь х = 0.

Рівняння х - b = 0 має єдиний корінь х = b.

Якщо b = 0, то початкове рівняння має єдиний корінь х = 0.

Якщо то початкове рівняння на заданому проміжку має два корені: х = 0 і х = b.

Зрозуміло, що коли то початкове рівняння має тільки один корінь.

Відповідь:

?

1. При яких значеннях b має корені рівняння tg х = b? ctg х = b?

2. Скільки коренів має рівняння tg х = b? ctg х = b?

3. Що називають арктангенсом числа b? арккотангенсом числа b?

4. Запишіть формулу коренів рівняння tg х = b; ctg х = b.

ВПРАВИ

29.1. Розв’яжіть рівняння:

29.2. Розв’яжіть рівняння:

29.3. Розв’яжіть рівняння:

29.4. Розв’яжіть рівняння:

29.5. Розв’яжіть рівняння:

29.6. Розв’яжіть рівняння:

29.7. Розв’яжіть рівняння:

29.8. Розв’яжіть рівняння:

29.9. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

29.10. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

29.11. При яких значеннях параметра а рівняння на проміжку має єдиний корінь?

29.12. При яких значеннях параметра а рівняння (х - a)(tg х + 1) = 0 на проміжку має єдиний корінь?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

29.13. Графіки яких із даних функцій симетричні відносно осі ординат:

29.14. Знайдіть функцію, обернену до даної: