Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВН0СТІ

32. Розв'язування тригонометричних рівнянь І методом розкладання на множники. Застосування обмеженості тригонометричних функцій

Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину вдалося розкласти на множники, то розв’язування цього рівняння можна звести до розв’язування кількох простіших рівнянь.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння sin 3х + 3 sin 2х = 3 sin х.

Розв’язання. Застосувавши формули синуса подвійного та потрійного аргументів, отримуємо:

3 sin х - 4 sin³ х + 6 sin х cos х = 3 sin х.

Звідси 2 sin х (3 cos х - 2 sin² х) = 0;

2 sin х (3 cos х - 2 (1 - cos² х)) = 0;

2 sin х (2 cos² х + 3 cos х- 2) = 0.

Переходимо до сукупності рівнянь

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння 1 + sin х + cos х + sin 2х + cos 2х = 0.

Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді (1 + cos 2х) + sin 2х + (sin х + cos х) = 0.

Тепер можна записати: 2 cos² х + 2 sin х cos х + (sin х + cos х) = 0; 2 cos х (sin х + cos х) + (sin х + cos x) = 0; (2 cos x + 1) (sin x + cos x) = 0.

Отримуємо сукупність рівнянь

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки при будь-якому значенні х виконуються нерівності то коренями даного рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже, дане рівняння рівносильне системі

Друге рівняння системи має єдиний корінь х = 0. Він також задовольняє перше рівняння системи.

Відповідь: 0.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння x² - 2x sin + 1 = 0.

Розв’язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно х. Оскільки для існування коренів рівняння дискримінант D = 4 sin² - 4 має бути невід’ємним, то отримуємо: sin² ≥ 1.

Звідси sin = 1 або sin = -1. Тепер зрозуміло, що задане в умові рівняння рівносильне сукупності двох систем рівнянь:

Відповідь: 1; -1.

ВПРАВИ

32.1. Розв’яжіть рівняння:

32.2. Розв’яжіть рівняння:

32.3. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 5х = cos 4х;  2) sin 10х - cos 2х = 0.

32.4. Розв’яжіть рівняння cos 5х + sin 3х = 0.

32.5. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 2х + 2 sin х = cos х + 1;

2) 1 + cos 8х = cos 4х;

3) 2 sin 2х + cos 3х - cos х = 0;

4) sin 4х + 2 cos² х = 1;

5) cos х - cos 3х = 3 sin² х;

6) sin х + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.

32.6. Розв’яжіть рівняння:

32.7. Розв’яжіть рівняння:

32.8. Розв’яжіть рівняння:

32.9. Розв’яжіть рівняння:

1) cos 3х + sin х sin 2х = 0; 3)2 cos (х + 20°) cos х = cos 40°;

2) sin 3х cos 2х = sin 5х; 4) cos 3х cos 6х = cos 4х cos 7х.

32.10. Розв’яжіть рівняння:

32.11.Розв’яжіть рівняння:

32.12. Розв’яжіть рівняння:

32.13. Розв’яжіть рівняння 4y² - 4у cosx + 1 = 0.

32.14. Розв’яжіть рівняння х² + 8х sin (ху) +16 = 0.

32.15. Розв’яжіть систему рівнянь:

32.16. Розв’яжіть систему рівнянь:

32.17. Розв’яжіть рівняння:

32.18. Розв’яжіть рівняння:

32.19. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 3х + sin х - sin 2х = 2 cos² х - 2 cos х;

2) (cos х - sin х)² - 0,5 sin 4х = sin⁴ х - cos⁴ х.

32.20. Розв’яжіть рівняння:

32.21. Розв’яжіть рівняння:

32.22. Розв’яжіть рівняння:

32.23. Розв’яжіть рівняння:

32.24. Розв’яжіть рівняння:

1) sin³ х + cos⁹ х -1; 2) cos⁴ x - sin⁷ x = l.

32.25. Розв’яжіть рівняння:

32.26. Розв’яжіть рівняння:

32.27. Розв’яжіть рівняння

32.28. Розв’яжіть рівняння

32.29. Розв’яжіть рівняння:

32.30. Розв’яжіть рівняння (sin(x - y) + 1)(2cos(2x - y) + 1) = 6.

32.31. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь?

32.32. При яких значеннях параметра а рівняння х² - 2а sin (cos х) + 2 = 0 має єдиний корінь?

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

32.33. Зливок сплаву міді та цинку масою 36 кг містить 45 % міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього зливку, щоб отриманий новий сплав містив 60 % міді?

32.34. Є брухт сталі двох сортів із вмістом нікелю 5 % і 40 %. Скільки тонн брухту кожного сорту потрібно взяти, щоб отримати 140 т сталі з 30%-м вмістом нікелю?