Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 17 Формули зведення

Кожну тригонометричну функцію кутів ±а; ± а, 3 ± а, 2 ± а можна виразити через тригонометричну функцію кута а. Покажемо це спо­чатку для синусів і косинусів.

Нехай а — довільний кут, виражений у раді­анах. На одиничному колі йому відповідає певна точка А, а куту - а — точка В (мал. 115). Опустивши перпендикуляри АК на вісь х і BL — на вісь у, дістанемо два рівних трикутники АОК і BOL (бо ∠ АОК = ∠ BOL і OA = ОВ). Тому OL = ОК і BL= АК, тобто

Кутам + а і- а на одиничному колі відповідають точки, симетричні відносно осі у (мал. 116). їх ординати рівні, абсциси — протилежні. Тому

Кутам -aiaтакож відповідають точки оди­ничного кола, симетричні відносно осі у (мал. 117). Тому sin( - a) = sin а, сов( - а) = -cos а.

Кутам + а і а також - а і - а , + а і + а ) відповідають точки одиничного кола, симетричні відносно початку координат (мал. 118). їх ординати і абсциси — протилежні. Тому sin(; + а) = -sin а, cos(; + а) = -cos а,

Мал. 115

Мал. 116

Мал. 117

Мал. 118

Кутам 2 - а і а відповідають точки одинич­ного кола, симетричні відносно осі х (мал. 119). Їх абсциси рівні, а ординати — протилежні. Тому sin(2 - a) = -sin a, cos(2 - а) = cosа.

Кутам 2 + а і а відповідає одна й та сама точка одиничного кола. Томуsin(2 + a) = sin a, соs(2 + а) = cos a.

З попередніх міркувань маємо 16 формул.

Ще 16 подібних формул можна довести для тангенса і котангенса:

Отже,

Мал. 119

Усі ці 32 формули називають формулами зведення, бо вони дають мож­ливість кожну тригонометричну функцію довільного кута (а отже, і числа) звести до тригонометричної функції гострого кута. Запам’ятовувати кожну з цих формул немає потреби, краще користуватися загальним правилом.

Щоб зрозуміліше сформулювати правило, домовимося синус вважати кофункцією косинуса і навпаки, а тангенс — кофункцією котангенса і навпаки.

Будемо говорити також, що кут зводжуваної функції відкладається від горизонтального діаметра, якщо він має вигляд ± а або 2 ± а, чи відвертикального діаметра, якщо він має вигляд ± а або ± а.

Правило зведення можна сформулювати так: Якщо кут зводжуваної тригонометричної функції відкладається від вертикального діаметра, то її замінюють кофункцією, якщо ж — від горизонтального діаметра, то її назву не змінюють. Знак ставимо такий самий, як у значенні зводжуваної функції за умови, що кут а — гострий.

Приклад. Нехай треба спростити вираз cos ().

Перед результатом треба поставити знак «мінус», бо коли кут а гострий,то кут - а належить III чверті і його косинус — від’ємний. Кут- авідкладається від вертикального діаметра, тому назву функції косинус (cos) треба замінити на синус (sin). Отже, cos () - а ) = -sin a.

Примітка. Користуючись правилом зведення, ми тільки для зручності приймаємо, що кут a— гострий. Насправді ж у кожній із формул зведення під змінною а можна розуміти і міру довільного кута, зокрема й від’ємного, і будь-яке дійсне число.

Перевірте себе

1. Що таке формули зведення?

2. Сформулюйте правило зведення.

3. Які знаки мають тригонометричні функції в кожній із чвертей?

4. Яку функцію називають кофункцією для синуса? А тангенса?

5. Чи можна у формулу зведення підставляти значення а = - ? А 120°?

Виконаємо разом

1. Доведіть тотожність:

Розв’язання. а) Перетворимо праву і ліву частини тотожності.

Враховуючи, що ( - а) — кут І чверті, а ( + а) — II чверті, отримаємо:

Отже, тотожність правильна.

б) Аналогічно до першої тотожності:

sin(а - ) = -sin( - а) = -sin a і sin(а + ) = sin( + а) = -sin a. Тотожність правильна.

2. Дану тригонометричну функцію зведіть до найменшого додатного аргументу:

Розв’язання. а) sin 845° = sin(9 · 90° + 35°) = cos 35° або sin 845° = sin(2 · 360° + 125°) = sin(125°) = sin(90° + 35°) = cos 35°;

3. Спростіть вираз:

Спрощення виразу зручно розпочинати із застосування формул зведення:

Виконайте усно

886. Які функції числа а мають бути в порожніх клітинах таблиці?

887. Зведіть до найменшого додатного аргументу функції:

а) sin 94°;

б) cos 105°;

в) tg 192°;

г) cos 269°;

ґ) ctg 79°;

д) sin 282°.

Спростіть вираз (888-889).

888.

а) sin(90° + а);

б) cos(90° + а);

в) tg(90° + а);

г) ctg(90° + а).

889.

а) sin(180° - а);

б) cos(180° - а);

в) tg(180° - а);

г) ctg(180° - а).

Рівень А

Спростіть вираз (890-895).

890.

а) sin(360° - а);

б) tg(360° - а);

в) cos(270° + а);

г) tg(270° - а).

891.

а) sin(270° - а);

б) cos(270° - а);

в) cos(360° + а);

г) ctg(360° - а).

892.

а) sin(90° - 2a);

б) cos(90° + За);

в) tg (180° - 2х);

г) ctg (180° + Зх).

893.

894.

895.

Зведіть функцію до найменшого додатного аргументу (896—897).

896.

897.

а) sin 199°;

б) sin;

в) соs 299°;

г) соs ;

ґ) tg 399°;

д) tg;

е) сtg 499°;

є) сtg.

Спростіть вираз (898-900).

898.

899.

900.

Знайдіть значення виразу (901-903).

901.

а) sin 300°;

б) соs 240°;

в) tg 225°;

г) ctg 330°.

902.

а) sin(-210°);

б) соз(-225°);

в) tg(-240°);

г) ctg(-315°).

903.

а) sin 405°;

б) соs720°;

в) tg750°;

г) ctg 1110°.

Спростіть вираз (904-906).

904.

905.

906.

Рівень Б

Спростіть вираз (907-908).

907.

908.

Доведіть тотожність (909-910).

909.

910.

Зведіть функцію до найменшого додатного аргументу (911-914).

911.

912.

913.

914.

Спростіть вираз (915-916).

915.

916.

Доведіть тотожність (917-919).

917.

918.

919.

920.

Рівень В

Зведіть функцію до найменшого додатного аргументу (921-922).

921.

922.

923. Доведіть тотожність:

Обчисліть (924-925).

924.

925.

926. Знайдіть значення виразу:

927. Доведіть, що коли а, , у — кути трикутника, то:

Вправи для повторення

928. У скільки разів і на скільки порядків число 4 · 10⁷ більше за 8 · 10⁶?

929. Розв’яжіть рівняння:

930. На малюнку 120 зображено гра­фік залежності потужності одного з вітрогенераторів від швидкості вітру. Зростаючою чи спадною є ця функція? Знайдіть: а) потужність вітрогенератора, якщо швидкість вітру дорівнює 4 м/с; 8 м/с; б) швидкість вітру, при якому потужність вітрогенератора дорівнює 200 Вт; 700 Вт.

Мал. 120