Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 21 Формули суми і різниці тригонометричних функцій

Суму і різницю синусів або косинусів можна подати у вигляді добутку тригонометричних функцій.

Мають місце такі формули:

Усі ці тотожності називають формулами перетворення суми тригоно­метричних функцій у добуток (різницю вважають окремим видом суми). Дві останні формули правильні тільки за умови, що tg a і tg β визначені.

Доведемо формулу

Припустимо, що a = x + y i β = x - y. Тоді sin а + sin β= sin(x+ у) + sin(x - у) = sin x cos у + cos x sin у + sin x cos у — cos x sin у = 2sin x cos y.

З рівностей a = x + y i β = x - yзнаходимо, що

Тому

Цю тотожність називають формулою суми синусів двох кутів.

Інші з наведених вище шести формул можна довести простіше, напри­клад, так.

Приклад 1. Доведіть тотожність:

Доведення.

Існують також формули, які дають змогу перетворювати добуток тригоно­метричних функцій на суму.

Доведемо першу з цих формул. Перетворимо праву частину:

Аналогічно можна довести й інші формули. Зробіть це самостійно.

Приклад 2. Перетворіть у суму добуток 2sin а sin 2а sin 3а.

Розв’язання. 2sin а sin 2а sin За = 2 · 0,5 · (соs(-а) — соs За)sin За = соs а sin 3а — соs 3а sin 3а = 0,5(sin 4а + sin 2а) - 0,5sin 6а = 0,5sin 4а + 0,5sin 2а - 0,5sin 6а.

Часто для спрощення тригонометричних виразів та обчислення їх зна­чень застосовують спеціальні прийоми. Розглянемо один із них.

Приклад 3. Обчисліть значення виразу

Розв’язання. Помножимо і поділимо задану суму на 2sin.

Маємо:

Використаємо формули перетворення добутку в суму.

Отримаємо:

Формули, які дають змогу перетворювати добуток тригонометричних функцій у суму, використовують також для дослідження функцій, зокрема, для визначення їх періоду.

Приклад 4. Знайдіть найменший додатний період функціїf (х) = 2соs²х соs 3х.

Розв’язання. Подамо вираз, що задає функцію f(х) у вигляді суми три­гонометричних функцій у першому степені. Маємо:

Найменший додатний період кожної з функцій у₁ = 0,5соs х, у₂ = соs 3х,

у₂ = 0,5соs 5х дорівнює відповідно Т₁ = 2, Т_{2 =}, Т₃ = ,. Число 2ділиться націло на кожне з чисел 2, і , тому Т = 2 — найменшийдодатний період функції f(x) = 2соs²х соs 3х.

Перевірте себе

1. Чому дорівнює сума синусів кутів а і β? А їх різниця?

2. За якою формулою знаходять суму косинусів двох кутів? А різницю?

3. Доведіть формулу перетворення суми синусів двох кутів у добуток.

4. Доведіть формулу перетворення суми косинусів двох кутів у добуток.

5. За якими формулами добуток тригонометричних функцій перетво­рюють у суму? Доведіть одну з них.

Виконаємо разом

1. Доведіть тотожність:

Розв’язання. Перетворимо ліву частину тотожності:

tg 2a = tg 2a. Тотожність доведено.

2. Запишіть у вигляді добутку вираз 1 - 2cos a.

Розв’язання.

3. Спростіть вираз sin (60° - a) sin(60° + a) sin a.

Розв’язання. Скористаємося формулами перетворення добутку тригоно­метричних функцій у суму і отримаємо:

4. Відомо, що a, β, у — внутрішні кути трикутника.

Доведіть, що

Розв’язання. Якщо а, β, у — кути трикутника, то а + β + у = 180°, звідси у = 180° - (а + β). Тоді

Виконайте усно

Перетворіть у добуток (1092-1093).

1092.

1093.

Рівень А

1094. Спростіть вираз:

Запишіть у вигляді добутку вираз (1095-1099).

1095.

1096.

1097.

1098.

1099.

Перетворіть дані добутки на суми (1100-1101).

1100.

а) cos 20° cos 10°;

б) sin 5° cos 40°;

в) sin 10° sin 20°;

г) cos 15° cos 75°.

1101.

a) 2sin a sin 2a;

б) 2cos 3a cos 2a;

в) 2sin 4a sin a;

г) 2sin 6a cos 4a.

Доведіть тотожність (1102—1104).

1102.

1103.

1104.

a) 2sin 35° sin 55° = cos 20°;

6) 2cos 65° cos 25° = cos 40°.

1105. Перетворіть на добуток:

Рівень Б

1106. Спростіть вираз:

1107. Розкладіть на множники вираз:

1108. Доведіть:

1109. Спростіть вираз:

1110. Запишіть у вигляді суми:

Доведіть тотожність (1111-1113).

1111.

1112.

1113.

Запишіть у вигляді добутку (1114-1115).

1114.

1115.

Знайдіть найменший додатний період функції (1116-1117).

1116.

а) sin5a sin 7a + 2;

б) 2cos²a cos 3a;

в) sin²a sin 2a + 3.

1117.

а) 2cos 3a sin 7a;

б) sin²a cos 3a - 1;

в) 8sin³2a cos² 2a.

1118. Доведіть тотожність Ейлера:

1119. Доведіть тотожність Вієта:

Рівень В

Доведіть тотожність (1120-1121).

1120.

1121.

1122. Доведіть, що при будь-яких а і β виконується рівність:

Доведіть тотожність (1123-1124).

1123.

1124.

1124

Обчисліть значення виразу (1125-1126).

1125.

1126.

1127. Відомо, що а, β, у — кути трикутника. Доведіть, що:

1128. Перетворіть на добуток різницю:

«…Головним скарбом життя є здоров’я, і щоб його зберегти, потрібно багато що знати».

Авіценна

Вправи для повторення

1129. Розв’яжіть рівняння:

1130. Спростіть вираз

і знайдіть його значення при а = 4.

1131. За даними Дитячого фонду ООН (ЮНІСЕФ) в Україні 120 000 підлітків 10-19 років належать до групи ризику. З них 75 % — це діти вулиці. 45 % підлітків із групи ризику внаслідок своєї поведінки наражаються на ризик інфікування ВІЛ. Установіть:

а) скільки підлітків із групи ризику становлять діти вулиці;

б)скільки підлітків із групи ризику наражаються на ризик інфікування ВІЛ — вірус імунодефіциту людини (англ)