Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Леонард ЕЙЛЕР (1707-1783)

Видатний швейцарський, російський і німецький математик, фізик, астроном, інженер тощо. Майже в усіх галузях математики та її застосувань є терміни, пов’язані з його ім’ям.

Надав сучасного вигляду тригонометрії, зокрема, розширив поняття тригонометричних функцій та ввів відповідні позначення, обґрунтував знаки тригонометричних функцій у різних координатних чвертях і формули зведення.

Саме математика насамперед захищає нас від обману чуттів і вчить, що одна справа — як влаштовані предмети, які сприймаються чуттями, а інша — якими вони здаються; ця наука дає найнадійніші правила; хто керується ними, тому не страшний обман чуттів.

Л. Ейлер

НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ

• Обернені тригонометричні функції

• Найпростіші тригонометричні рівняння і нерівності

• Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь і нерівностей

• Тригонометричні рівняння і нерівності з параметрами

• Рівняння і нерівності, які містять обернені тригонометричні функції

• Формулювати означення обернених тригонометричних функцій

• Обґрунтовувати формули коренів тригонометричних рівнянь

• Розв’язувати тригонометричні рівняння та нерівності, зокрема з параметрами

Навчальний проект №4. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬІ НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРАМИ

§ 22 Обернені тригонометричні функції

Під час дослідження у галузі механіки, електротехніки, геодезії, оптики, геометрії виникає потреба розв’язувати рівняння та нерівності, у яких невідома змінна стоїть під знаком однієї з тригонометричних функцій (тригонометричні рівняння і нерівності). Щоб розв’язувати такі рівняння і нерівності, використовують обернені тригонометричні функції. З’ясуємо, що це за функції.

З теореми про обернену функцію випливає, що функція оборотна, якщо вона монотонна на всій області визначення. Тригонометричні функції на всій області визначення немонотонні, а тому, взагалі кажучи, необоротні. Але можна визначити проміжки, на яких тригонометричні функції монотонні, а отже, мають обернені функції. Розглянемо ці функції та їх властивості.

Функція у = arcsin х. Функція у = sinxна відрізку [-0,5; 0,5] зростає, а тому на цьому відрізку має обернену функцію. її називають арксинусом і позначають у = arcsin x. Оскільки графіки двох взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х, то графік функції у = arcsin х можна отримати з графіка функції у = sinх, х∈ [-0,5; 0,5] за допомогоюперетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 140).

Мал. 140

Властивості функції у = arcsin x.

D(y) = [-1; 1].

2.

3. Функція непарна: arcsin(-x) = -arcsin x.

4. На всій області визначення функція зростає.

З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:

Арксинусом числа а називають такий кут або число з відрізка

синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Обчисліть:

Розв’язання.

Функція у = arccos х. Функція у = cos x на відрізку [0; ] спадає, а тому на цьому відрізку має обернену функцію. Її називають арккосинусом і позначають у = arccos х. Графік функції у = arccos х можна отримати з графіка функції у = cos x, х ∈ [0; ] за допомогою перетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 141).

Властивості функції у = arccos х.

1. D(y) =[-1;1].

2. Е(у) = [0; ].

3. Функція ні парна, ні непарна: arccos(-х) = — arccos х.

Мал. 141

4. На всій області визначення функція спадає.

З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності: cos (arccos х) = х, х ∈ [-1; 1] і arcco s (cos х) = х, х ∈ [0; ].

Арккосинусом числа а називають такий кут або число з відрізка [0; ], косинус якого дорівнює а.

Приклад 2. Обчисліть:

Розв’язання.

Можна було цей приклад розв’язати, використовуючи формулу, а саме:

Функція у = arctg x. Функція у = tg x на проміжку (-; ) зростає, а томуна цьому проміжку має обернену функцію. Її називають арктангенсом і позначають у = arctg x. Графік функції у = arctg x можна отримати з графіка функції у = tg x, х ∈ (-; ) — за допомогою перетворення симетрії відносно прямої у = х (мал. 142).

Властивості функції у = arctg х

1. D(у) = R.

2. Е(у) = (-; .

3. Функція непарна: arctg(-x) = -arctg x.

4. Функція зростає на всій області визначення.

З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:

Мал. 142

Арктангенсом числа а називають такий кут або число з інтервалу

що його тангенс дорівнює а.

Приклад 3. Обчисліть: а) аrctg 1; б) аrctg(-).

Розв’язання.

Функція у = аrcctg x. Функція у = ctg x на проміжку (0; ) спадає, а тому на цьому проміжку має обернену функцію. Її називають арккотангенсом і позначають у = arcctg x. Графік функції у = arcctg x можна отримати з графіка функції у = ctg x, х ∈ (0;), симетричним відображенням відносно прямої у = х (мал. 143).

Властивості функції у = arcctg x;.

1. D(у) = R.

2. Е(у) = (0; ).

3. Функція ні парна, ні непарна: arcctg(-x) = k — arcctg х.

4. Функція спадає на всій області визначення.

З властивостей взаємно обернених функцій випливають рівності:

Мал. 143

Арккотангенсом числа а називають такий кут або число з інтервалу (0; ), що його котангенс дорівнює а.

Приклад 4. Обчисліть:

Розв’язання.

оскільки

Можна було цей приклад розв’язати,використовуючи формулу, а саме:

Наближені значення обернених тригонометричних функцій можна знаходити за допомогою калькулятора або користуючись таблицею наближених значень тригонометричних функцій (див. форзац 4).

Наприклад, аrсsin0,4226 ≈ 25°, arctg0,8391 ≈ 40°.

Хочете знати ще більше?

Відомо багато співвідношень для обернених тригонометричних функцій, зокрема: arcsin х + arccos х = при x ∈ [-1; 1]; arctg x +arcctg x = для всіх x ∈ R.

Покажемо, як ці формули використовують для розв’язування рівнянь.

Приклад. Розв’яжіть рівняння arcsin х ∙ arccos х = .

Розв’язання. Оскільки arccos х = — arcsin х, то рівняння матиме вигляд 18arcsin 2х — 9karcsin х + =0. Зробимо заміну arcsin х = t, |t| ≤ .

Маємо: 18t2 -9t + =0, звідки t = ; t = .

Якщо arcsin х = , то х = ; якщо arcsin х = , то х = .

Відповідь:;.

Перевірте себе

1. Які властивості має функція у = arcsin х?

2. Сформулюйте означення арксинуса числа а.

3. Назвіть властивості функції у = arccos х.

4. Дайте означення арккосинуса числа а.

5. Які властивості мають функції у = arctg x і у = arcctg x?

6. Дайте означення арктангенса і арккотангенса числа а.

Виконаємо разом

1. Чи правильно, що arcsin = ?

Розв’язання. Ні, неправильно. Хоч

Тому arcsin

2. Порівняйте значення виразів arcctg 1 і arcctg 1,2.

Розв’язання. Оскільки функція у = arcctg x спадна і 1 < 1,2, то arcctg 1 > arctg 1,2.

3. Обчисліть:

Розв’язання.

б) Знайдемо спочатку значення тангенса даного виразу, тобто

Нехай arctg = ф, a arctg = β, тоді tg a = , tg β = .

Оскільки 0 < < 1, то 0 <arctg <або 0 < ф <. Аналогічно 0 < β < .

Тоді 0< ф + β < .

Використаємо формулу тангенса суми:

Оскільки

Отже,

4. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Оскільки функція у = arcsin х зростаюча на D(y) = [- 1; 1], то нерівність arcsin< рівносильна системі:

Відповідь:

Виконайте усно

Обчисліть (1132-1134).

1132.

а) arcsin 0;

б) arcsin 1;

в) arcsin (-1);

г) arcsin.

1133.

а) arccos 0;

б) arccos 1;

в) arccos (-1);

г) arccos.

1134.

а) аrctg 0;

б) arcctg 0;

в) arctg 1;

г) arcctg 1.

1135. Знайдіть область визначення функції:

1136. Якого найменшого значення набуває функція:

а) у = 2аrсsin x;

б) у = 0,5аrсcos х;

в) arctg x?

1137. Скільки коренів має рівняння аrсsin x = а, якщо:

а) а = 0,5;

б) а = ;

в) а = З?

Рівень А

Обчисліть (1138-1141).

1138.

1139.

1140.

1141.

Обчисліть, користуючись калькулятором або таблицями (1142-1143).

1142.

1143.

Порівняйте (1144-1145).

1144.

1145.

1146. Використовуючи малюнок 144, знайдіть кількість коренів рівняння:

а) arccos х = х;

б) arccos х = х² + 1.

Обчисліть (1147-1151).

1147.

Мал. 144

1148.

1149.

1150.

1151.

1152. Знайдіть область визначення функції:

1153. Знайдіть область визначення та область значень функції

1154. Розв’яжіть рівняння

Рівень Б

Обчисліть (1155-1161).

1155.

1156.

1157.

1158.

1159.

1160.

1161.

1162. Установіть відповідність між виразами (1-4) та їх значеннями (А-Д).

1163. Знайдіть область визначення функції:

1164. Побудуйте графіки функцій:

1165. Розв’яжіть рівняння двома способами: 1) графічно; 2) використовуючи властивість функцій:

Розв’яжіть рівняння (1166-1167).

1166.

1167.

Розв’яжіть нерівність (1168-1169).

1168.

1169.

Рівень В

1170. Обчисліть:

1171.

1172.

1173. Побудуйте графік функції:

Розв’яжіть рівняння (1174-1179).

1174.

1175.

1176.

1177.

1178.

1179.

Вправи для повторення

1180. Відкрита задача. Знайдіть значення виразу … , якщо sin а = -0,6 і

1181. Доведіть тотожність

1182. Розв’яжіть рівняння