Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Г. П. Бевз - Освіта 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 25 Найпростіші тригонометричні нерівності

Тригонометричною називають нерівність, у якій невідомі містяться тільки під знаком тригонометричних функцій. Приклади тригонометричних нерівностей:

Розв’язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду: sin x > а, cos х < а, tg x < а, ctg х > а і т. д.

Розв’язують такі нерівності на одиничному колі або використовуючи графіки тригонометричних функцій.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність sin x > .

Розв’язання. Знайдемо на колі точки, для яких sinх = , тобто точки,у яких ордината дорівнює . Для цього проведемопряму у = , яка перетне коло в точках Р_х1 і Р_x2 .

Мал. 161

Точки кола, які задовольняють нерівність sinх > , лежать на дузі кола Р_x1 Р_x2 , яка розміщена вище від прямої у = (мал. 161).

Оскільки точка Р_x1 лежить у І чверті і значення синуса в ній дорівнює, то х₁ = . Тоді х₂ = - =. Отже, дану нерівність задовольняє кожне з чисел проміжку (; ). Враховуючи періодичність функції у = sin х, всю множину розв’язків можна записати у вигляді

n ∈ Z. Або у вигляді подвійної нерівності

Дану нерівність sin х > можна розв’язати і графічно. Для цього требапобудувати в одній системі координат графіки функцій у = sin х і у = (мал. 162). Ті значення х, при яких sin x більший за , утворюють безлічпроміжків. Вони і становлять відповідь.

Мал. 162

Оскільки функція у = sinх набуває значень від -1 до 1, то нерівності sin х > 1 і sin x < -1 розв’язків не мають, а нерівності sin х ≤ 1 і sin x ≥ -1 виконуються для довільного значення х.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність соs х ≤ .

Розв’язання. Знайдемо точки одиничного кола, у яких соs х =. Дляцього проведемо пряму х =2.

Виділимо ту частину дуги кола, для точок якої соs х ≤ (мал. 163).

Знайдемо значення у крайніх точках цієї дуги. Точці, яка лежить у І чверті, відповідає значення , а значення у другій точці дорівнює 2 - = . Тоді, враховуючи періодичність функції косинус, можемо записати відповідь:

або

Мал. 163

Очевидно, що нерівності cos x > 1 і cos x < -1 розв’язків не мають, а нерівності cos x ≤ 1 і cos x ≥ -1 виконуються для всіх значень х.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність tg x > 1.

Розв’язання. Щоб розв’язати цю нерівність на одиничному колі, проведемо лінію тангенсів — пряму, яка проходить через точку (1; 0) паралельно до осі ординат (мал. 164).

Мал. 164

Позначимо на лінії тангенсів точку 1 і через неї та центр кола проведемо пряму, яка перетне коло в точках, для яких тангенс дорівнює 1. Точки, для яких tg x ≥ 1, належать виділеним дугам. Точці в І чверті відповідає кут чи число . Враховуючи періодичність тангенса, можемо записати

відповідь:

Цю нерівність можна розв’язати і графічно (мал. 165).

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність ct g x ≤.

Розв’язання. Проведемо лінію котангенсів (пряму, яка проходить через точку (0; 1), паралельну осі абсцис) і відмітимо на колі точки, для яких ctg х < (мал. 166). Оскільки ctg x = , якщо х = , то, враховуючи періодичність котангенса, отримаємо відповідь:

Мал. 165

Мал. 166

Дану нерівність можна розв’язати і графічно (мал. 167).

До розв’язування розглянутих вище найпростіших тригонометричних нерівностей зводиться розв’язування складніших нерівностей. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність:|cos x| <.

Розв’язання. Оскільки обидві частини нерівності невід’ємні, то піднесемо кожну з них до квадрата. Маємо: cos²x < або <, звідки cos 2x <і

Остаточно:

Мал. 167

Приклад 6. Розв’яжіть нерівність: 4 sin²х - 3sin x cos х +3cos²х > 2. Розв’язання. Оскільки 2 = 2∙(sin²x + cos²х), то

1) Перевіримо, чи будуть розв’язками нерівності точки, де соs²х = 0. За цієї умови sin²х = 1, а нерівність 4 > 2 — правильна.

Отже, х = + k, k ∈ Z— розв’язок заданої нерівності.

2) Якщо соs² х ≠ 0, то поділимо обидві частини нерівності на соs²х. Маємо: 2tg²x — Зtg x + 1 > 0, звідки tg х < 0,5 або tg х > 1.

Розв’яжемо отримані нерівності (мал. 168). Враховуючи результат пункту 1, маємо:

Мал. 168

Перевірте себе

1. Які нерівності називають тригонометричними?

2. Наведіть приклади тригонометричних нерівностей.

3. Як розв’язати нерівність sin х > а, |а|<1?

4. Скільки розв’язків має нерівність sin х > 1, соs х < -1?

Виконаємо разом

1. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. а)cos x ≥ - . Розв’яжемо дану нерівність на одиничному колі. Проведемо пряму х =-і виділимо ту частину кола, точки якої задовольняють дану нерівність (мал. 169). Оскільки arccos= , то

Тоді

Знайдемо точки на одиничному колі,які задовольняють дану нерівність (мал. 170). Маємо:

Мал. 169

Мал. 170

Отже,

З малюнка 171 видно, що:

Розв’яжемо дану подвійну нерівність:

або

Звідси

або

Мал. 171

Мал. 172

2. Розв’яжіть нерівність:

Розв'язання. а) tg² х + 2tg x - 3 ≥ 0. Зробимо заміну tg x = t й отримаємо нерівність t² + 2t - 3 ≥ 0. Розв’яжемо цю квадратичну нерівність:

t² + 2t - 3 = 0, звідки t₁ = -3, t₂ = 1, тому t ∈ (- ∞; - 3] ⋃ [1; + ∞).

Маємо:

Розв’яжемо отриману сукупність нерівностей на одиничному колі (мал. 172).

Тоді:

б) Нерівність (x² - 7х + 6) < 0 рівносильна сукупності:

Остаточно маємо:

Виконайте усно

1287. Укажіть множину розв’язків нерівності sin x ≤ 1.

1288.Укажіть множину розв’язків нерівності: cos x < -1; cos x ≥ -1.

1289. Знайдіть розв’язки нерівності:

a) sin x > 1;

б) cos х < -1;

в) sin x < -1;

г) cos x > 1.

1290. Розв’яжіть нерівність:

a) cos х < 0;

б) cos x > 0;

в) sin x < 0;

г) sin x > 0.

1291.Яка з нерівностей не має розв’язків і чому:

a) 2sin² x ≥ 1;

б) 3cos x ≥ 6;

в) |cos x| ≥ 1;

г) tg² x ≥ 4?

Рівень А

Розв’яжіть нерівність (1292-1307).

1292.

1293.

1294.

1295.

1296.

1297.

1298.

1299.

1300.

1301.

1302.

1303.

1304.

1305.

1306.

1307.

1308. Знайдіть область визначення функції:

Рівень Б

Розв’яжіть нерівності (1309-1316).

1309.

1310.

1311.

1312.

1313.

1314.

1315.

1316.

Розв’яжіть нерівність графічно (1317-1319).

1317.

1318.

1319.

Розв’яжіть нерівності (1320-1321).

1320.

1321.

Рівень В

Знайдіть область визначення функції (1322-1323).

1322.

1323.

Розв’яжіть нерівність (1324-1325).

1324.

1325.

Розв’яжіть систему нерівностей (1326-1327).

1326.

1327.

1328. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність

1329. При яких значеннях параметра а нерівність виконується для довільного дійсного числа:

Вправи для повторення

1330. Розв’яжіть рівняння:

1331. Доведіть, що для довільних дійсних чисел х і у виконується нерівність: х² + 2у² + 2ху + 6у + 10 > 0.

1332. У сплаві міді й цинку масою 36 кг міститься 45 % міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб новий сплав містив 60 % міді?