Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§8 Тригонометричні функції числового аргументу

Вимірюючи кути в радіанах, найменування одиниці вимірювання біля числа, що характеризує міру кута, зазвичай не пишуть. Кажуть: «кут дорівнює » замість «кут дорівнює радіана»; «кут дорівнює 100» замість «кут дорівнює 100 радіанів» і т. д. Виходячи із цього, запис sin слід розуміти як синус кута, що дорівнює рад, tg 4,2 — як тангенс кута, що дорівнює 4,2 рад.

Уведення радіанної міри кута дає змогу зображати будь-яке число точкою одиничного кола. Розглянемо, як це можна зробити.

Домовилися, що точка А — кінець початкового радіуса — зображає число 0 (мал. 60). Для зображення будь-якого іншого дійсного числа а будують рухомий радіус ОВ, який утворює з початковим радіусом ОА кут а рад. Точка В — кінець рухомого радіуса — зображає на одиничному колі число а.

Зокрема, на малюнку 60 точка В зображає число 2,5 (∠АОВ = 2,5 рад). Очевидно, що цією точкою зображається не лише число 2,5, а й усі числа виду 2,5 + 2k, де k — ціле число. Точка С зображає число ≈1,57, бо ∠AOC = рад ≈ 1,57 рад. Цією самою точкою зображаються всі числа виду + 2k, дe k —ціле число.

Мал. 60

Водночас, маючи точку на одиничному колі, можна знайти множину чисел, які вона зображає. Одне з таких чисел, очевидно, дорівнює радіан- ній мірі одного з кутів (наприклад, найменшого додатного), що їх утворює рухомий радіус, проведений до цієї точки, з початковим радіусом. Додавши до знайденого в такий спосіб числа 2k, де k ∈ Z, одержимо вираз, що задає множину шуканих чисел. Надаючи k певного значення, діставатимемо відповідне число. Очевидно, що будь-яка точка одиничного кола зображає безліч дійсних чисел, що їх можна знайти описаним способом.

Досі ми розглядали тригонометричні функції, аргументом яких був кут, точніше, міра кута. Але в багатьох процесах, які можна описати тригонометричними функціями, змінною є не лише кут, а й час, температура, довжина тощо. У зв’язку із цим домовились абстрагуватися від природи аргументу й розглядати тригонометричні функції просто числа, розуміючи, наприклад, під синусом числа 3,7 синус кута, що дорівнює 3,7 рад; під тангенсом числа -0,8 тангенс кута, що дорівнює -0,8 рад, тощо.

З такого розуміння тригонометричних функцій числового аргументу випливає, що синус і косинус певного числа дорівнюють відповідно ординаті й абсцисі точки, що зображає це число на одиничному колі, а його тангенс і котангенс — ординаті й абсцисі відповідних точок лінії тангенсів і лінії котангенсів.

Із цього випливає, що синус і косинус числового аргументу існують за будь-якого дійсного х.

Беручи до уваги, що доходимо висновку, що функція тангенс не існує, якщо cosx = 0. Це справедливо для всіх чисел, які зображаються на одиничному колі кінцями вертикального діаметра, тобто чисел

Кожне з них можна утворити множенням на додатне чи від’ємне непарне число. Справді, і т. д. Відомо, що непарні числа записують у вигляді 2k + 1, де k — ціле число. Отже, множину чисел, для яких тангенс не має змісту, можна записати у вигляді (2k+ 1), де k — ціле число. Часто трапляється і такий запис цієї множини: + k, де k — ціле число. Щоб пересвідчитися, що обидва вирази позначають одну й ту саму числову множину, достатньо, наприклад, розкрити дужки у виразі (2k + 1).

Оскільки йшлося про множину чисел, косинус яких дорівнює 0, то можна сказати, що розв’язком рівняння cosx = 0 є числа виду x = (2k + 1), k ∈ Z.

Зважаючи, що доходимо висновку: числова функція котангенс не існує для тих х, за яких sinx = 0. Ці числа зображаються кінцями горизонтального діаметра одиничного кола і дорівнюють 0; ±; ±2; ±3 і т. д., тобто це числа виду k, де k — ціле число.

Аналогічно розв’язок рівняння sinx = 0 такий: х = k, k ∈ Z.

Для будь-якого значення х, за якого існує відповідна тригонометрична функція, справджуються рівності:

sin(-x) = -sinx,   cos(-x) = cosx,

tg(-x) = -tgx,   ctg(-x) = -ctgx,

а також:

sin(x + 2 k) = sinx, cos(x + 2 k) = cosx,

tg(x + 2 k) = tgx, ctg(x + 2 k) = ctgx, де k ∈ Z.

Дізнайтеся більше

Розширення уявлень про тригонометричні функції, уведення поняття тригонометричних функцій числового аргументу привело до їх обґрунтування на новій, аналітичній основі. Відповідно тригонометричні функції визначаються незалежно від геометрії за допомогою степеневих рядів та інших понять математичного аналізу. Зокрема, для всіх дійсних чисел x:

де n! (читається «єн факторі ал») треба розуміти як добуток n перших натуральних чисел. Тобто n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n; 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 тощо.

Основоположником аналітичної теорії тригонометричних функцій вважається видатний німецький математик Леонард Ейлер (1707-1783). Тригонометричні функції знаходять широке застосування у фізиці, техніці, особливо при вивченні коливальних рухів і періодичних процесів.

Пригадайте головне

1. Як зобразити на одиничному колі дане число? Проілюструйте на прикладі.

2. Як знайти найменше додатне число, що зображає дана на одиничному колі точка?

3. Як розуміти запис: sin2; cos(-1,5); sin0; tg(-1); ctg8?

4. Чи є такі числа, синус яких знайти не можна?

5. Які точки одиничного кола зображають числа, тангенс яких не існує?

Розв'яжіть задачі

168. Накресліть одиничне коло й позначте на ньому числа:

169. Накресліть одиничне коло й позначте правий кінець його горизонтального діаметра буквою А, а лівий — буквою B. Скільки чисел зображає точка А? Запишіть два з них. Скільки чисел зображає точка B? Запишіть три з них.

170. Накресліть одиничне коло. Позначте верхній кінець його вертикального діаметра буквою А, а нижній — буквою В. Скільки чисел зображає точка А? Запишіть одне з них. Скільки чисел зображає точка B? Запишіть одне з них.

171. Запишіть вираз, що задає множину чисел, які на одиничному колі зображає: 1) правий кінець його горизонтального діаметра;

2) лівий кінець його горизонтального діаметра.

172. Запишіть вираз, що задає множину чисел, які на одиничному колі зображає: 1) верхній кінець його вертикального діаметра;

2) нижній кінець його вертикального діаметра.

173. Накресліть одиничне коло і проведіть рухомий радіус, який утворює з додатною піввіссю абсцис кут 140°. Знайдіть найменше додатне число, яке зображає на одиничному колі кінець цього радіуса.

174. Накресліть одиничне коло. Виберіть на ньому в довільному місці точку А. Скільки чисел позначає ця точка? Знайдіть наближене

значення одного з них. Запишіть вираз, який задає множину таки? чисел у загальному вигляді.

175. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, ще для кілько? точок одиничного кола.

176. Запишіть вирази, що задають множину чисел, які зображаються точками перетину одиничного кола з бісектрисою:

1) першого і третього координатних кутів;

2) другого і четвертого координатних кутів.

Знайдіть по два додатні й по два від’ємні числа, що зображаються кожною із зазначених точок.

177. Який знак має вираз:

178. Використовуючи одиничне коло, знайдіть наближене значення:

179. Накресліть одиничне коло й позначте на ньому точки, що зображають числа, синус яких дорівнює -1. Запишіть кілька таких чисел. Укажіть загальну формулу, що задає множину всіх таких чисел.

180. Накресліть одиничне коло й позначте на ньому точки, що зображають числа, косинус яких дорівнює 0. Запишіть кілька таких чисел. Задайте множину таких чисел двома формулами або однією.

181. Чи може тангенс від’ємного числа бути додатним? Якщо так, то зобразіть кілька таких чисел на одиничному колі й знайдіть їх наближені значення.

182. Визначте знак виразу:

183. Чи можлива рівність sina = sin(-a)? Якщо так, то запишіть вираз, який у загальному вигляді задає множину відповідних значень а.

184. Що більше:

185. Позначте на одиничному колі число 2. Зобразіть на цьому ж колі додатне число а < , синус якого дорівнює sin2. Знайдіть а.

186. Знайдіть додатне число х < 2 таке, що sinx = sin1.